Analyse Dimensionnelle et Unités

Chap. 1

Dimension d'une grandeur physique

1. Dimension d'une grandeur physique

La dimension d'une grandeur physique exprime sa nature fondamentale en termes des grandeurs de base (fondamentales) du système international (SI). Elle est indépendante de l'unité choisie.

a) Grandeurs fondamentales du SI

Il existe 7 grandeurs fondamentales avec leurs symboles et dimensions associées :

Grandeur physique	Symbole	Dimension (notation)
Longueur	$L$	$[L]$
Masse	$M$	$[M]$
Temps	$T$	$[T]$
Courant électrique	$I$	$[I]$
Température	$\Theta$	$[\Theta]$
Quantité de matière	$N$	$[N]$
Intensité lumineuse	$J$	$[J]$

b) Dimension d'une grandeur quelconque

Toute grandeur physique $G$ peut s'exprimer comme un produit des grandeurs fondamentales élevées à des puissances réelles :

[G] = [L]^{\alpha} [M]^{\beta} [T]^{\gamma} [I]^{\delta} [\Theta]^{\epsilon} [N]^{\zeta} [J]^{\eta}

où $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta, \eta$ sont les exposants caractéristiques de la grandeur.

c) Unité d'une grandeur physique

L'unité est la mesure choisie pour exprimer la grandeur. Elle est liée à la dimension mais dépend du système d'unités (ex. SI).

L'unité d'une grandeur dérivée s'obtient en combinant les unités fondamentales selon sa dimension.
Exemple : la vitesse a pour dimension $[L][T]^{-1}$ , son unité SI est donc le mètre par seconde (m/s).

d) Analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle consiste à exprimer la dimension d'une grandeur en fonction des dimensions fondamentales, ce qui permet :

Vérifier l'homogénéité des relations physiques (toutes les termes doivent avoir la même dimension).
Trouver la dimension d'une grandeur inconnue à partir d'une relation.
Contrôler la cohérence des équations physiques.

e) Homogénéité d'une expression

Une expression physique est homogène si tous ses termes ont la même dimension. C’est une condition nécessaire pour la validité d’une relation physique.

À retenir : Toute relation physique doit être homogène en dimension.

2. Résumé des compétences clés

Connaître la définition de la dimension et de l'unité d'une grandeur physique.
Savoir exprimer la dimension d'une grandeur en fonction des 7 grandeurs fondamentales.
Savoir vérifier l'homogénéité d'une expression physique.
Connaître les 7 unités fondamentales du SI et leurs symboles.
Savoir déduire l'unité d'une grandeur dérivée à partir de sa dimension.

Chap. 2

Homogénéité d'une expression

1. Dimension et unité d'une grandeur physique

Dimension : caractéristique physique générale d'une grandeur (ex. longueur, masse, temps).
Unité : mesure spécifique choisie pour exprimer une grandeur (ex. mètre, mile, angström).
Une grandeur sans dimension est purement numérique, comme un rapport de deux longueurs.
Exemple : un angle plan est sans dimension, même s'il s'exprime en radians, degrés ou grades.

La dimension renseigne sur la nature physique d'une grandeur, indépendamment de l'unité choisie.

2. Analyse dimensionnelle

Toute grandeur physique peut s'exprimer en fonction de 7 grandeurs fondamentales :

Grandeur fondamentale	Symbole dimensionnel
Masse	$M$
Longueur	$L$
Temps	$T$
Intensité électrique	$I$
Température	$\Theta$
Intensité lumineuse (visuelle)	$I_v$
Quantité de matière	$N$

Chaque dimension fondamentale a une unité associée dans le Système International (SI).
Symbole dimensionnel (ex. $L$ ) ≠ symbole d'unité (ex. mètre).

3. Équation aux dimensions

Notation : la dimension d'une grandeur $X$ s'écrit entre crochets, $[X]$ .
Exemple : pour une distance $d$ , $[d] = L$ .
Pour une vitesse $v$ , définie comme longueur divisée par temps :
$[v] = \frac{L}{T} = L T^{-1}$
Une grandeur sans dimension a $[X] = 1$ .
Pour déterminer la dimension d'une grandeur, on peut :
1. Utiliser sa définition.
2. Utiliser une relation la reliant à d'autres grandeurs de dimensions connues.

4. Homogénéité d'une expression

Une expression est homogène si tous ses termes ont la même dimension.
Cette condition est essentielle pour la validité physique d'une formule.
L'homogénéité permet de vérifier la cohérence dimensionnelle d'une relation et d'éviter les erreurs.

Une expression physique correcte doit être homogène en dimension.

Chap. 3

Les unités du système international

1. Principes d'homogénéité dimensionnelle

Somme ou différence : les grandeurs doivent avoir la même dimension.
Égalité : les deux membres doivent être de même dimension.
Argument d'une fonction transcendante (sin, cos, tan, exp, ln...) est sans dimension.

Exemple : la vitesse $v$ a pour dimension $[v] = L \cdot T^{-1}$ , soit une longueur divisée par un temps.

Vérification d'homogénéité : une expression non homogène est nécessairement fausse.
Il est recommandé de vérifier l'homogénéité à la fin de tout calcul littéral.
Attention : une formule homogène n'est pas forcément correcte.

2. Exemple d'analyse dimensionnelle : poussée d'Archimède

On cherche $\Pi_A$ en fonction du volume $V$ , de la masse volumique $\mu$ et de l'accélération de pesanteur $g$ :

\Pi_A = k \cdot V^\alpha \cdot \mu^\beta \cdot g^\gamma

$k$ est une constante sans dimension.
On détermine $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ par analyse dimensionnelle en égalant les dimensions des deux membres.

3. Les 7 unités de base du Système International (SI)

Dimension	Symbole	Unité SI	Symbole unité	Définition (essentiel)
Masse	$M$	kilogramme	kg	Définie par la valeur numérique fixée de la constante de Planck $h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}$ J·s
Longueur	$L$	mètre	m	Définie par la vitesse de la lumière dans le vide $c = 299\,792\,458$ m·s $^{-1}$
Temps	$T$	seconde	s	Définie par la fréquence $\Delta \nu_{Cs} = 9\,192\,631\,770$ Hz du césium 133
Intensité électrique	$I$	ampère	A	(Définition non fournie dans la portion de cours)

À retenir : chaque grandeur physique s'exprime en fonction d'unités de base du SI, qui sont définies par des constantes physiques universelles.

Chap. 4

Unités dérivées et autres unités

1. Définitions des unités fondamentales du SI

Ampère (A) : unité de courant électrique définie par la valeur numérique fixée de la charge élémentaire $e = 1,602176634 \times 10^{-19}$ C (coulomb), avec $1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A} \cdot \mathrm{s}$ .
Kelvin (K) : unité de température thermodynamique définie par la constante de Boltzmann $k = 1,380649 \times 10^{-23}$ J·K $^{-1}$ , avec $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{s}^{-2}$ .
Candela (cd) : unité d’intensité lumineuse définie par l’efficacité lumineuse $K_{cd} = 683$ lm·W $^{-1}$ d’un rayonnement monochromatique de fréquence $540 \times 10^{12}$ Hz.
Mole (mol) : unité de quantité de matière contenant exactement $6,02214076 \times 10^{23}$ entités élémentaires (constante d’Avogadro $N_A$ ).

2. Principales unités dérivées du SI

Grandeur	Relation de définition	Expression en unités de base SI	Nom et symbole
Surface $S$	$S = L^2$	m $^2$	mètre carré (m $^2$ )
Volume $V$	$V = L^3$	m $^3$	mètre cube (m $^3$ )
Vitesse $v$	$v = \frac{L}{T}$	m·s $^{-1}$	mètre par seconde (m·s $^{-1}$ )
Accélération $a$	$a = \frac{v}{T}$	m·s $^{-2}$	mètre par seconde carrée (m·s $^{-2}$ )
Fréquence $f$ ou $\nu$	$f = \frac{1}{T}$	s $^{-1}$	hertz (Hz)
Masse volumique $\rho$	$\rho = \frac{m}{V}$	kg·m $^{-3}$	kilogramme par mètre cube (kg·m $^{-3}$ )
Force $F$	$F = m a$	kg·m·s $^{-2}$	newton (N)
Énergie $E$ , Travail $W$ , Chaleur $Q$	$E = F d$ ou $E_c = \frac{1}{2} m v^2$	kg·m $^2$ ·s $^{-2}$	joule (J)
Puissance $P$	$P = \frac{E}{\Delta t}$	kg·m $^2$ ·s $^{-3}$	watt (W)
Pression $p$	$p = \frac{F}{S}$	kg·m $^{-1}$ ·s $^{-2}$	pascal (Pa)

3. Unités liées à l’électricité et à la température

Grandeur	Relation de définition	Expression en unités de base SI
Charge $q$	$q = I \cdot T$	A·s
Tension $U$ (ddp, fem)	$U = \frac{P}{I}$	kg·m $^2$ ·s $^{-3}$ ·A $^{-1}$
Résistance $R$	$R = \frac{U}{I}$	kg·m $^2$ ·s $^{-3}$ ·A $^{-2}$
Conductance $G$	$G = \frac{1}{R} = \frac{I}{U}$	A $^2$ ·s $^3$ ·m $^{-2}$ ·kg $^{-1}$
Capacité d’un condensateur $C$	$C = \frac{q}{U}$	A $^2$ ·s $^4$ ·m $^{-2}$ ·kg $^{-1}$
Capacité thermique molaire $C_m$	$\Delta U = n C_m \Delta T$	J·mol $^{-1}$ ·K $^{-1}$
Capacité thermique massique $c$	$\Delta U = m c \Delta T$	J·kg $^{-1}$ ·K $^{-1}$

4. Grandeurs angulaires

Angle plan $\alpha$ : rapport entre la longueur de l’arc $L$ et le rayon $R$ du cercle, $\alpha = \frac{L}{R}$ (sans unité).
Pulsation $\omega$ : $\omega = 2 \pi \nu$ , avec $\nu$ la fréquence (en Hz).

À retenir : Les unités dérivées du SI s’expriment toujours en fonction des unités de base (mètre, kilogramme, seconde, ampère, kelvin, mole, candela) selon des relations dimensionnelles précises.

Chap. 5

Préfixes et constantes physiques fondamentales

1. Préfixes utilisés avec les unités

Les préfixes permettent de multiplier ou diviser les unités par des puissances de 10, facilitant ainsi l'expression de très grandes ou très petites quantités.

Multiples	Abréviation	Coefficient multiplicateur	Sous-multiples	Abréviation	Coefficient multiplicateur
déca	da	$10^{1}$	décí	d	$10^{-1}$
hecto	h	$10^{2}$	centi	c	$10^{-2}$
kilo	k	$10^{3}$	milli	m	$10^{-3}$
méga	M	$10^{6}$	micro	$\mu$	$10^{-6}$
giga	G	$10^{9}$	nano	n	$10^{-9}$
téra	T	$10^{12}$	pico	p	$10^{-12}$
péta	P	$10^{15}$	femto	f	$10^{-15}$
exa	E	$10^{18}$	atto	a	$10^{-18}$

2. Autres unités couramment utilisées (hors SI)

Certaines unités non-SI sont encore utilisées pour des raisons pratiques ou historiques, avec leur relation au SI :

Grandeur	Unité et symbole	Relation avec le SI
Longueur	angström (Å)	$1\,\text{Å} = 10^{-10}\,\text{m}$
Énergie	calorie (cal)	$1\,\text{cal} = 4,184\,\text{J}$
Énergie (nucléaire)	électron-volt (eV)	$1\,\text{eV} = 1,602 \times 10^{-19}\,\text{J}$
Pression	mmHg	$1\,\text{mmHg} = 133,322\,\text{Pa}$
	atmosphère (atm)	$1\,\text{atm} = 760\,\text{mmHg} = 1,013 \times 10^{5}\,\text{Pa}$
	bar	$1\,\text{bar} = 10^{5}\,\text{Pa}$
Moment dipolaire	debye (D)	$1\,\text{D} = \frac{1}{3} \times 10^{-29}\,\text{C}\cdot\text{m}$
Activité nucléaire	becquerel (Bq)	$1\,\text{Bq} = 1$ désintégration/s
Angle	degré (°)	$360^\circ = 2\pi\,\text{rad}$

3. Unité angulaire : le radian

Définition : Le radian est l'angle qui intercepte sur la circonférence d'un cercle un arc de longueur égale au rayon $R$ .
Symbole : rad
Dimension : sans unité (adimensionnel)

4. Quelques constantes physiques fondamentales (valeurs dans le SI)

Constante	Valeur	Unité
Constante d’Avogadro $N_A$	$6,022\,140\,76 \times 10^{23}$	mol $^{-1}$
Constante molaire des gaz parfaits $R$	$8,314\,41$	J·K $^{-1}$ ·mol $^{-1}$
Constante de Boltzmann $k$	$1,380\,649 \times 10^{-23}$	J·K $^{-1}$
Pression atmosphérique normale $P_0$	$1,013\,25 \times 10^{5}$	Pa
Accélération de la pesanteur $g_0$	$9,806\,55$	m·s $^{-2}$
Constante de gravitation $G$	$6,6720 \times 10^{-11}$	m $^{3}$ ·kg $^{-1}$ ·s $^{-2}$
Charge élémentaire $e$	$1,602\,176\,634 \times 10^{-19}$	C
Constante de Faraday $F$	$9,648\,456 \times 10^{4}$	C·mol $^{-1}$
Permittivité diélectrique du vide $\varepsilon_0$	$8,854\,187\,82 \times 10^{-12}$	F·m $^{-1}$
Vitesse de la lumière dans le vide $c$	$2,997\,924\,58 \times 10^{8}$	m·s $^{-1}$
Constante de Planck $h$	$6,626\,070\,15 \times 10^{-34}$	J·s
Masse de l’électron $m_e$	$9,109\,389 \times 10^{-31}$	kg
Masse du proton $m_p$	$1,672\,623 \times 10^{-27}$	kg
Masse du neutron $m_n$	$1,674\,928 \times 10^{-27}$	kg

À retenir : Les préfixes facilitent la manipulation des unités en multipliant par des puissances de 10, et les constantes fondamentales sont des références universelles indispensables en physique.

Dimension d'une grandeur physique

1. Dimension d'une grandeur physique

a) Grandeurs fondamentales du SI

b) Dimension d'une grandeur quelconque

c) Unité d'une grandeur physique

d) Analyse dimensionnelle

e) Homogénéité d'une expression

2. Résumé des compétences clés

Homogénéité d'une expression

1. Dimension et unité d'une grandeur physique

2. Analyse dimensionnelle

3. Équation aux dimensions

4. Homogénéité d'une expression

Les unités du système international

1. Principes d'homogénéité dimensionnelle

2. Exemple d'analyse dimensionnelle : poussée d'Archimède

3. Les 7 unités de base du Système International (SI)

Unités dérivées et autres unités

1. Définitions des unités fondamentales du SI

2. Principales unités dérivées du SI

3. Unités liées à l’électricité et à la température

4. Grandeurs angulaires

Préfixes et constantes physiques fondamentales

1. Préfixes utilisés avec les unités

2. Autres unités couramment utilisées (hors SI)

3. Unité angulaire : le radian

4. Quelques constantes physiques fondamentales (valeurs dans le SI)

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1. Circuits électriques

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