Mathématiques 4e

1. Nombres relatifs

• Définition : nombres positifs ou négatifs, avec un signe (+ ou -).
• Représentation : sur une droite graduée.
• Comparaison : un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif.
• Addition et soustraction :
  • Addition de deux nombres relatifs : même signe → addition des valeurs absolues, signe commun ; signes différents → soustraction des valeurs absolues, signe du plus grand en valeur absolue.
  • Soustraction : $a - b = a + (-b)$.
• Multiplication et division :
  • Même signe → résultat positif.
  • Signes différents → résultat négatif.

2. Fractions

• Définition : quotient de deux entiers, $\frac{a}{b}$ avec $b \neq 0$.
• Simplification : diviser numérateur et dénominateur par un même nombre.
• Addition/soustraction : mettre au même dénominateur.
• Multiplication : multiplier numérateurs et dénominateurs.
• Division : multiplier par l’inverse.

3. Calcul littéral

• Expression littérale : expression avec des lettres représentant des nombres.
• Simplification : réduire les termes semblables.
• Calcul numérique : remplacer les lettres par des nombres puis calculer.
• Développement : utiliser la distributivité : $a(b+c) = ab + ac$.
• Factorisation : mettre en facteur commun.

1. Grandeurs proportionnelles

• Deux grandeurs sont proportionnelles si on multiplie les valeurs de l’une par un même nombre pour obtenir celles de l’autre.
• Coefficient de proportionnalité : nombre par lequel on multiplie.

2. Représentation graphique

• Droite passant par l’origine dans un repère orthogonal.

3. Calculs

• Produit en croix : pour résoudre $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, on a $a \times d = b \times c$.
• Utilisation dans les pourcentages, vitesses, échelles.

1. Figures planes

• Triangles : classification selon les côtés (équilatéral, isocèle, scalène) et les angles (acutangle, rectangle, obtusangle).
• Quadrilatères : carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze.
• Cercles : centre, rayon, diamètre.

2. Propriétés des triangles

• Somme des angles = 180°.
• Théorème de Pythagore (triangle rectangle) : $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
• Réciproque du théorème de Pythagore.
• Théorème de Thalès : dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté, alors les segments sont proportionnels.

3. Symétrie

• Symétrie axiale : image d’un point par rapport à un axe.
• Symétrie centrale : image d’un point par rapport à un centre.

1. Statistiques

• Moyenne : somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
• Médiane : valeur qui partage la série en deux parties égales.
• Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
• Diagrammes : diagramme en bâtons, histogramme, diagramme circulaire.

2. Probabilités

• Expérience aléatoire : expérience dont le résultat est incertain.
• Événement : ensemble de résultats possibles.
• Probabilité : nombre entre 0 et 1, calculé par $P(E) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.
• Événements complémentaires : $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$.

1. Notion de fonction

• Une fonction associe à chaque nombre $x$ un unique nombre $f(x)$.
• Représentation par un tableau de valeurs ou un graphique.

2. Fonction linéaire

• Forme : $f(x) = ax$.
• Représentation : droite passant par l’origine.
• Proportionnalité entre $x$ et $f(x)$.

3. Fonction affine

• Forme : $f(x) = ax + b$.
• Représentation : droite non nécessairement passant par l’origine.
• $a$ est le coefficient directeur (pente), $b$ l’ordonnée à l’origine.

1. Priorités opératoires

• Calculer d’abord les parenthèses, puis les multiplications/divisions, enfin les additions/soustractions.

2. Équations

• Résoudre une équation du type $ax + b = c$.
• Méthode : isoler $x$ en effectuant les mêmes opérations des deux côtés.

3. Inéquations

• Résoudre des inégalités simples.
• Attention au changement de sens de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.

1. Périmètres et aires

• Formules principales :

2. Volumes

• Formules principales :

À retenir : maîtriser les bases du calcul avec les nombres relatifs, la proportionnalité, la géométrie plane, les fonctions linéaires et affines, ainsi que les notions de statistiques et probabilités est essentiel pour réussir en 4e.