Mesures et Incertitudes

1. Grandeurs physiques

Une grandeur physique est une caractéristique d’un objet que l’on peut mesurer ou calculer.

2. Expression d’une grandeur physique

Une grandeur physique s’exprime sous la forme :

$$\text{Grandeur} = \text{valeur numérique} \times \text{unité}$$

Exemple :

$$U = 3,6 \text{ V}$$

• $U$ : symbole de la grandeur (ici la tension)
• $3,6$ : valeur numérique
• V : unité (volt)

3. Système d’unités

Le système international d’unités (SI) est le système standard utilisé pour exprimer toutes les grandeurs physiques. Chaque grandeur physique possède une unité de base ou dérivée.

À retenir : Toute grandeur physique s’exprime par une valeur numérique associée à une unité précise.

1. Unités dérivées du Système international

Ces unités s’expriment en fonction des unités de base :

À retenir : Le Système international repose sur 7 unités de base, toutes les autres unités sont dérivées par combinaison de ces unités fondamentales.

1. Précision, justesse et fidélité

• Fidélité : capacité à obtenir des résultats proches les uns des autres (répétabilité).
• Justesse : capacité à obtenir des résultats proches de la valeur vraie (exactitude).

a) Illustration avec un tireur et une cible

• Erreur aléatoire : cause la dispersion des mesures (basse fidélité).
• Erreur systématique : cause un décalage constant par rapport à la valeur vraie (mauvaise justesse).

Diminuer l'erreur aléatoire augmente la fidélité.
Diminuer l'erreur systématique augmente la justesse.

2. Sources d'erreurs en mesure

• Mesurande $M$ : grandeur physique que l'on souhaite mesurer.
• Valeur vraie : valeur exacte du mesurande si la mesure était parfaite.
• Erreur de mesure : différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie.

a) Types d'erreurs

3. Incertitude de mesure

• L'incertitude $U(M)$ caractérise la dispersion probable des valeurs du mesurande.
• Le résultat d'une mesure s'exprime sous la forme :

$$M = m_{\text{mesure}} \pm U(M) \quad \text{(avec unité)}$$

• Le résultat n'est jamais une valeur unique, mais un intervalle de confiance.

4. Évaluation statistique de l'incertitude (approche de type A)

• Répéter plusieurs mesures du même mesurande.
• Calculer la moyenne et l'écart-type pour estimer la dispersion.
• L'incertitude est liée à cette dispersion statistique.

L'incertitude permet d'exprimer la fiabilité d'une mesure en tenant compte des erreurs aléatoires et systématiques.

1. Moyenne arithmétique

La meilleure estimation de la grandeur mesurée $m$ est la moyenne arithmétique des $n$ mesures $m_i$ :

$$\overline{m} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} m_i = \frac{m_1 + m_2 + \dots + m_n}{n}$$

2. Incertitude type (type A)

L'incertitude type $U(m)$ liée à la moyenne est calculée à partir de l'écart type expérimental $\sigma_{exp}$ :

$$\sigma_{exp} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (m_i - \overline{m})^2}$$ $$U(m) = \frac{\sigma_{exp}}{\sqrt{n}}$$

3. Évaluation de l'incertitude sur une mesure unique (type B)

Quand une seule mesure est disponible, l'incertitude type s'évalue à partir d'informations complémentaires :

• notice technique de l'appareil,
• mesures antérieures,
• valeurs de référence.

a) Cas courants d'incertitude type pour un appareil de mesure

À retenir : L'incertitude type quantifie la dispersion probable autour de la mesure moyenne, elle est essentielle pour exprimer la fiabilité d'une mesure.

1. Chiffres significatifs

• Ce sont les chiffres utiles qui reflètent la précision réelle de la mesure.
• L’incertitude $U(m)$ doit toujours être exprimée avec un seul chiffre significatif.
• L’incertitude est arrondie par excès (on arrondit toujours vers le chiffre supérieur).

2. Présentation des résultats

• La valeur mesurée $\overline{m}$ doit être arrondie pour que son dernier chiffre significatif soit à la même position que celui de l’incertitude.
• Le résultat s’écrit sous la forme :
  $m = (\overline{m} \pm U(m)) \text{ unité}$

3. Exemple

Pour une longueur mesurée :
$\overline{l} = 11,024 \text{ cm} \quad \text{et} \quad U(l) = 0,06 \text{ cm}$

• Le dernier chiffre significatif de $U(l)$ est le "6" en 3ᵉ position après la virgule.
• On arrondit donc $\overline{l}$ au 3ᵉ chiffre après la virgule, soit $11,02$ cm.
• Résultat final :
  $l = (11,02 \pm 0,06) \text{ cm}$

À retenir : L’incertitude s’écrit avec un seul chiffre significatif arrondi par excès, et la valeur mesurée est arrondie pour que son dernier chiffre significatif corresponde à celui de l’incertitude.