Modélisation des Machines Électromécaniques

1. Caractéristiques principales

• Invention : Fin du XIXe siècle, largement utilisée tout au long du XXe siècle.
• Applications historiques :
  • Traction (fort couple à basse vitesse)
  • Vitesse variable
  • Systèmes embarqués alimentés par batteries
• Situation actuelle :
  • Remplacée par des machines alternatives pour les fortes puissances
  • Présente dans les petites puissances et la robotique (ex. actionneurs automobiles : climatisation, sièges, rétroviseurs)
• Avantages :
  • Large plage de variation de vitesse (de 1 à 100)
  • Régulation précise du couple en moteur ou générateur
  • Vitesse nominale indépendante de la fréquence du réseau, facilement adaptable
• Inconvénients :
  • Moins robuste que les moteurs asynchrones
  • Coût matériel et maintenance élevés (entretien régulier du collecteur et des balais)

La machine à courant continu est un convertisseur électromécanique réversible, offrant une régulation fine du couple et une large plage de vitesses, mais nécessite un entretien régulier et reste coûteuse.

2. Synthèse des points clés

1. Constitution d’un moteur à courant continu

Un moteur à courant continu est constitué de plusieurs éléments essentiels :

2. Principe de fonctionnement

Le moteur à courant continu fonctionne selon la loi de Laplace :

Un conducteur parcouru par un courant $I$ dans un champ magnétique $\overrightarrow{B}$ subit une force électromagnétique $\overrightarrow{\mathrm{dF}}$.

Formule de la loi de Laplace :

$$\overrightarrow{\mathrm{dF}} = I \cdot \overrightarrow{\mathrm{dI}} \wedge \overrightarrow{B}$$

• $\overrightarrow{\mathrm{dI}}$ : vecteur élémentaire du conducteur (direction du courant)
• $I$ : intensité du courant (A)
• $\overrightarrow{B}$ : champ magnétique (T)
• $\overrightarrow{\mathrm{dF}}$ : force élémentaire (N)

Mécanisme : L’induit, plongé dans le champ magnétique créé par l’inducteur, est parcouru par un courant via les charbons et le collecteur. La force électromagnétique générée provoque la rotation de l’induit autour de son axe.

3. Notions clés

• Entrefer : distance entre l’induit et l’inducteur, importante pour le champ magnétique.
• Collecteur et charbons : assurent la commutation et l’alimentation électrique de l’induit.
• Champ magnétique $B$ : produit par l’inducteur, nécessaire à la force électromagnétique.

La force électromagnétique sur un conducteur parcouru par un courant dans un champ magnétique est la base du fonctionnement du moteur à courant continu.

1. Principe de fonctionnement

• La force électromagnétique exercée sur un conducteur parcouru par un courant dans un champ magnétique est donnée par la loi de Laplace :

  $$\mathrm{d}\vec{F} = I \, \mathrm{d}\vec{l} \wedge \vec{B}$$

  où $I$ est le courant, $\mathrm{d}\vec{l}$ un élément de longueur du conducteur, et $\vec{B}$ le champ magnétique.

• Le sens de la force est déterminé par la règle des 3 doigts (pouce, index, majeur) de la main droite :

  • Pouce : direction de la force $\vec{F}$
  • Index : direction du champ magnétique $\vec{B}$
  • Majeur : direction du courant $I$

• Dans un moteur à courant continu, la force sur les spires génère un couple de rotation du rotor.

• Le collecteur, constitué de lames, permet d'inverser le sens du courant dans les spires au passage des points neutres (où la force est nulle), assurant ainsi un mouvement de rotation continu.

2. Solutions constructives

a) Le stator (inducteur)

• Constitué de plusieurs paires de pôles magnétiques (ex : 2 paires = 4 pôles).
• Chaque paire de pôles est alimentée par des balais qui transmettent le courant au rotor.
• Les pôles peuvent être réalisés par :
  • Bobinages électromagnétiques (pour fortes puissances)
  • Aimants permanents (pour petites puissances)

b) Le rotor (induit)

• Composé d'un enroulement de spires conductrices regroupées en faisceaux.
• Chaque faisceau est positionné pour que ses côtés soient soumis alternativement aux pôles nord et sud.
• Les faisceaux sont reliés en série via les lames du collecteur.
• Le nombre de spires influence directement l'intensité de la force électromagnétique et donc le couple moteur.

La loi de Laplace exprime la force électromagnétique qui permet la conversion électromécanique dans les machines à courant continu, assurant la rotation du rotor grâce à l'interaction entre courant et champ magnétique.

1. Solutions constructives du stator et rotor

• Rotor métallique feuilleté : facilite la circulation du flux magnétique entre pôles et réduit les pertes par courants de Foucault grâce aux feuilles séparées par un vernis isolant.

• Réduction des pertes mécaniques : le rotor est guidé en rotation par rapport au stator via des roulements à billes, limitant les frottements.

2. Alimentation du rotor

• Sur de nombreux moteurs à courant continu (MCC), l'alimentation du rotor se fait par des charbons (balais) en contact avec les lames du collecteur.

• Les charbons sont maintenus en contact par des ressorts et poussoirs, assurant un contact constant malgré l'usure.

• Les charbons sont reliés à l'alimentation électrique via des fils connectés aux cosses.

3. Caractéristiques influençant la qualité des MCC

4. Avantages et inconvénients des MCC

À retenir : Le rotor feuilleté réduit les pertes par courants de Foucault, et l'alimentation par charbons assure le contact électrique malgré l'usure, mais nécessite un entretien régulier.

1. Modélisation électrique de la Machine à Courant Continu (MCC)

Deux modèles électriques principaux caractérisent la MCC selon le régime :

• Résistance $R$ : due aux spires bobinées du rotor, calculée par $R = \frac{pL}{s}$.
• Force électromotrice (FEM) $E$ : générée par la variation du flux magnétique $\phi$ à travers la bobine.
• Flux magnétique $\phi$ : $\phi = \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$, et si $\mathbf{B}$ uniforme, $\phi = B \cdot S \cdot \cos(\Omega, t)$.

La modélisation électrique concerne uniquement le rotor (induit). Le stator peut être à aimants permanents ou bobiné, alimenté en série ou séparément.

2. Force électromotrice (FEM) dans la MCC

• La FEM $E$ apparaît aux bornes d'une bobine en mouvement dans un champ magnétique, selon la loi de Faraday.
• Elle est proportionnelle au flux magnétique d'excitation $\Phi$ (fourni par l'inducteur) et à la vitesse de rotation $\Omega$.

La relation fondamentale est :

$$E = k \cdot \Phi \cdot \Omega$$

où $k$ est une constante dépendant du nombre de pôles $p$, du nombre de spires $N$, et de la construction de la machine.

3. Avantages et inconvénients des modélisations

La modélisation choisie dépend du contexte : analyse rapide en régime stable ou étude précise des transitoires.

4. Points clés à retenir

• La MCC est modélisée par une résistance $R$ et une FEM $E$ en régime statique.
• En régime dynamique, une inductance $L$ est ajoutée pour tenir compte des variations de courant.
• La FEM $E$ est proportionnelle au flux magnétique $\Phi$ et à la vitesse $\Omega$.
• Le modèle statique est adapté pour les régimes établis, le modèle dynamique pour les transitoires.

À retenir : $U = E + R \cdot I$ en régime permanent, et $U = E + R \cdot I + L \frac{dI}{dt}$ en régime transitoire.

1. Force électromotrice (FEM) induite

• Formule d'Arnold :
  $E = \frac{p \cdot a \cdot N \cdot \Phi \cdot n}{60}$
  avec :

  • $E$ : FEM induite (V)
  • $p$ : nombre de paires de pôles
  • $a$ : nombre de paires de voies d'enroulements
  • $N$ : nombre de conducteurs actifs de l'induit
  • $\Phi$ : flux inducteur par pôle (Wb)
  • $n$ : vitesse de rotation (tr/s)

• Forme vectorielle :
  $\mathbf{E} = \mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Phi} \cdot \boldsymbol{\Omega}$
  avec :

  • $\mathbf{E}$ : FEM induite (V)
  • $\boldsymbol{\Omega}$ : vitesse angulaire (rad/s)
  • $\boldsymbol{\Phi}$ : flux par pôle (Wb)
  • $k$ : constante de construction de la machine

• Cas du moteur à excitation indépendante ou à aimants permanents :
  Le flux $\Phi$ est constant, donc :
  $\mathbf{E} = \mathbf{K} \cdot \boldsymbol{\Omega}$
  où $K$ est la constante électromécanique du moteur (V·s/rad), aussi appelée $K_e$ (constante de FEM).

Le nombre de voies d'enroulement correspond aux sections de bobines parcourues entre deux balais consécutifs de polarité opposée.

2. Couple électromagnétique

• La puissance électromagnétique $P_{em}$ produit le couple électromagnétique $C_{em}$, qui est la puissance transformée en couple mécanique sur l'arbre (hors pertes).

• Expression du couple électromagnétique :
  $C_{em} = \frac{P_{em}}{\Omega} = \frac{E \cdot I}{\Omega} = k \cdot \Phi \cdot I$
  avec :

  • $C_{em}$ : couple électromagnétique (N·m)
  • $P_{em}$ : puissance électromagnétique (W)
  • $E$ : FEM induite (V)
  • $I$ : courant dans l'induit (A)
  • $\Omega$ : vitesse angulaire (rad/s)
  • $k$ : constante de construction
  • $\Phi$ : flux par pôle (Wb)

• Cas du moteur à excitation indépendante ou à aimants permanents :
  Le flux $\Phi$ est constant, donc :
  $C_{em} = K \cdot I$
  où $K$ est la constante électromécanique du moteur (N·m/A), aussi appelée $K_c$ ou $K_i$ (constante de couple).

À retenir :
La FEM induite et le couple électromagnétique sont proportionnels au flux magnétique et à la vitesse ou au courant, avec des constantes électromécaniques caractéristiques du moteur.

1. Force électromotrice (f.e.m.) et couple électromagnétique

• Force électromotrice induite : $E = K \cdot \Omega$
  avec $K$ la constante électromécanique, $\Omega$ la vitesse angulaire du rotor.

• Courant de démarrage :
  Au démarrage, $\Omega = 0 \Rightarrow E = 0$, donc
  $I_d = \frac{U}{R}$
  où $U$ est la tension d'alimentation et $R$ la résistance de l'induit.
  Ce courant est important car $R$ est faible, provoquant une pointe de courant.

• Couple utile au démarrage :
  $C_{od} = K \cdot \Phi \cdot \left(\frac{U}{R} - I_d\right)$
  avec $\Phi$ le flux magnétique. Ce couple élevé facilite le démarrage.

2. Relations fondamentales

• La machine à courant continu est réversible : en mode générateur, les relations sont valables avec un changement de signe du courant.

3. Variation de la vitesse $\Omega$

Deux leviers principaux pour modifier $\Omega$ :

1. Variation de la tension $U$ aux bornes de l'induit (charge constante, $C = K \cdot I = \text{constante}$)

   • $R \cdot I$ reste constant
   • $E = U - R \cdot I$ varie donc $\Rightarrow \Omega = \frac{E}{K}$ varie
   • Couple constant, puissance mécanique $P_{em} = E \cdot I$ varie
   • Variation de vitesse à couple constant

2. Variation du flux d'excitation $\Phi$

   • $\Omega = \frac{U - R \cdot I}{K \cdot \Phi}$
   • Diminution de $\Phi$ entraîne augmentation de $\Omega$
   • Mais le couple $C = K \cdot \Phi \cdot I$ diminue
   • Variation de vitesse à puissance constante ($P_{em} = C \cdot \Omega$ avec $\Omega \uparrow$ et $C \downarrow$)

Attention : Ne jamais couper le flux $\Phi$ lorsque l'induit est sous tension, sinon la vitesse $\Omega$ tend vers l'infini (emballement).

4. Puissances en régime permanent

• Puissance électrique absorbée : $P_{in} = U \cdot I$
• Puissance mécanique utile : $P_{em} = E \cdot I$
• Pertes Joule dans l'induit : $P_{J} = R \cdot I^2$
• Pertes ferromagnétiques dans le rotor (hystérésis, courants de Foucault) : $P_{fe}$

À retenir : La constante électromécanique $K$ relie les grandeurs électriques (f.e.m. $E$, courant $I$) aux grandeurs mécaniques (couple $C$, vitesse $\Omega$), et la machine à courant continu est un système réversible avec des relations symétriques en mode moteur ou générateur.

1. Puissance utile et pertes en régime permanent

• Puissance utile (électromagnétique), en négligeant pertes fer et mécaniques :

  $$Pu = P_{em} = C_{em} \cdot \Omega = E \cdot I = U \cdot I - R \cdot I^2$$

  avec

  • $P_{em}$ : puissance électromagnétique (W)
  • $C_{em}$ : couple électromagnétique (N·m)
  • $\Omega$ : vitesse angulaire (rad/s)
  • $E$ : force électromotrice induite (V)
  • $U$ : tension d'induit (V)
  • $I$ : courant d'induit (A)
  • $R$ : résistance d'induit (Ω)

• Pertes mécaniques : frottements aux paliers, contacts balais-collecteur, ventilation (souvent négligées pour simplification).

2. Rendements du moteur

• $P_{exc}$ est nulle si excitation par aimants permanents.

3. Modèle électromécanique en régime permanent

Relations fondamentales (temps et Laplace) :

$$\begin{cases} U(t) = E(t) + R \cdot I(t) + L \cdot \frac{dI(t)}{dt} \\ E(t) = K \cdot \Omega(t) \\ C_m(t) = K \cdot I(t) \end{cases} \quad \xrightarrow{\mathcal{L}} \quad \begin{cases} U(p) = E(p) + R \cdot I(p) + L \cdot p \cdot I(p) \\ E(p) = K \cdot \Omega(p) \\ C_m(p) = K \cdot I(p) \end{cases}$$

• $K$ : constante moteur (V·s/rad ou N·m/A)
• $L$ : inductance d'induit (H)
• $p$ : variable de Laplace

À retenir :
En régime permanent, la puissance utile s'exprime par $Pu = C_{em} \cdot \Omega = U \cdot I - R \cdot I^2$, et le rendement dépend de la prise en compte ou non de la puissance d'excitation.

1. Équation mécanique

• Inertie totale ramenée à l'arbre moteur : $J = J_1 + J_2$ (kg·m²)
• Coefficient de frottement visqueux : $f$ (N·m·s/rad)
• Équation en domaine de Laplace (avec $p$ variable de Laplace) : $$C_r(p) - f \cdot \Omega(p) = J \cdot p \cdot \Omega(p)$$
• $\Omega(p)$ : vitesse angulaire en Laplace
• $C_r(p)$ : couple résistant en Laplace

2. Schéma bloc du système

• Système en boucle fermée avec perturbation $C_r$
• Deux fonctions de transfert (FT) du premier ordre :
  • Mécanique : $$\frac{\Omega(p)}{C_m(p) - C_r(p)} = \frac{1/f}{1 + \frac{J}{f} p}$$
  • Électrique : $$\frac{I(p)}{U(p) - E(p)} = \frac{1/R}{1 + \frac{L}{R} p}$$
• Constante de temps électrique : $$\boxed{T_e = \frac{L}{R}}$$

3. Fonction de transfert globale

• Expression générale du système avec perturbation : $$\Omega(p) = \frac{K \cdot U(p) - (R + L p) \cdot C_r(p)}{K^2 + (J p + f)(R + L p)}$$
• $K$ : constante moteur (couple/force électromotrice)

4. Fonction de transfert sans perturbation

• En l'absence de couple résistant ($C_r = 0$), la FT est d'ordre 2 : $$H_{moteur}(p) = \frac{\Omega(p)}{U(p)} = \frac{K}{K^2 + (R + L p)(f + J p)}$$
• Le dénominateur admet deux racines réelles (si amortissement $z > 1$), donc on peut écrire : $$\boxed{ H_{moteur}(p) = \frac{K_m}{(1 + T_m p)(1 + T_e p)} }$$
• Constantes de temps :
  • Mécanique : $$\boxed{ T_m = \frac{J R}{K^2 + R f} }$$
  • Électrique : $T_e = \frac{L}{R}$
• Généralement, $$T_m \gg T_e$$

À retenir : Le moteur électromécanique se modélise par une FT d'ordre 2, produit de deux premiers ordres correspondant aux dynamiques mécanique et électrique, avec une constante de temps mécanique bien plus grande que la constante électrique.

1. Caractéristiques électro-mécaniques

• Couple électromagnétique $C_{em}$ et vitesse de rotation $\Omega$ définissent le point de fonctionnement d’un moteur en fonction de la charge.
• L’ensemble des couples et vitesses possibles forme un domaine fermé dans le plan $(C_{em}, \Omega)$, caractérisant la machine.

2. Fonctionnement en quatre quadrants

La machine à courant continu (MCC) est un convertisseur électromécanique réversible :

• En moteur (quadrants 1 et 3), la machine fournit un couple pour entraîner la charge.
• En générateur (quadrants 2 et 4), la machine récupère de l’énergie mécanique et la convertit en énergie électrique (freinage régénératif).
• La f.e.m. induite apparaît lorsque le rotor est entraîné, même si l’induit est alimenté.

3. Modélisation dynamique simplifiée

• La machine peut être modélisée par une fonction de transfert du premier ordre :

$$H_{moteur}(p) = \frac{K_m}{1 + T_m \cdot p} = \frac{1/K}{1 + \frac{J \cdot R}{K^2} p}$$

• Constante de temps électrique $T_e$ : caractéristique propre du moteur.
• Constante de temps mécanique $T_m$ : dépend de l’inertie $J$ de la charge entraînée.
• L’inertie $J$ influe sur la dynamique mécanique, donc sur la réponse temporelle du moteur.

À retenir : Le fonctionnement en quatre quadrants permet de décrire tous les modes possibles d’une MCC, moteur ou générateur, en fonction du signe du couple et de la vitesse.

1. Identification d'une Machine à Courant Continu (MCC)

La plaque signalétique d'une MCC indique ses caractéristiques nominales, correspondant à un fonctionnement idéal en service continu. Ces données permettent d'identifier les performances électriques et mécaniques de la machine.

a) Exemple de plaque signalétique (extrait)

b) Caractéristiques électriques et mécaniques nominales

À retenir : La plaque signalétique d'une MCC fournit les données essentielles pour son exploitation en régime nominal, notamment la tension, le courant, la puissance, la vitesse et le couple. Ces valeurs servent de référence pour le dimensionnement et la commande de la machine.