Révision RDM BTS Bâtiment

1. Contraintes et déformations

• Contrainte (σ) : force interne par unité de surface, exprimée en Pascal (Pa).

  $$\sigma = \frac{F}{S}$$

  où $F$ est la force normale (N) et $S$ la section (m²).

• Déformation (ε) : allongement relatif, sans unité.

  $$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

  où $\Delta L$ est la variation de longueur, $L_0$ la longueur initiale.

• Module d'élasticité (E) : caractérise la raideur du matériau, en Pa.
  Relation de Hooke (pour déformation élastique) :

  $$\sigma = E \cdot \varepsilon$$

2. Types de sollicitations

1. Traction et compression

• Contrainte uniforme dans la section droite : $$\sigma = \frac{F}{S}$$
• Limite d’élasticité $R_e$ : contrainte maximale avant déformation plastique.
• Résistance à la rupture $R_m$ : contrainte maximale avant rupture.

2. Flexion simple

• Moment fléchissant $M$ provoque une répartition linéaire des contraintes normales dans la section :

  $$\sigma = \frac{M \cdot y}{I}$$

  où $y$ est la distance à l’axe neutre, $I$ le moment d’inertie de la section.

• Axe neutre : zone sans déformation longitudinale.

3. Cisaillement

• Contrainte de cisaillement moyenne :

  $$\tau = \frac{T}{S}$$

  où $T$ est l’effort tranchant.

• En flexion, la contrainte de cisaillement maximale est souvent au centre de la section.

4. Torsion

• Contrainte de torsion dans un arbre circulaire : $$\tau = \frac{M_t \cdot r}{J}$$ où $M_t$ est le moment de torsion, $r$ la distance au centre, $J$ le moment polaire d’inertie.

1. Aire (S)

• Surface de la section transversale, en m².

2. Moment d’inertie (I)

• Mesure la résistance d’une section à la flexion. $$I = \int y^2 dS$$
• Unité : m⁴.

3. Moment polaire d’inertie (J)

• Résistance à la torsion pour une section circulaire : $$J = \int r^2 dS$$
• Pour un cercle plein : $$J = \frac{\pi d^4}{32}$$

1. Limite élastique et résistance ultime

• Limite élastique $R_e$ : contrainte max sans déformation permanente.
• Résistance ultime $R_m$ : contrainte max avant rupture.

2. Coefficient de sécurité (CS)

• Rapport entre la résistance admissible et la contrainte réelle : $$CS = \frac{R_{admissible}}{\sigma_{max}}$$
• En bâtiment, généralement $CS \geq 1,5$.

3. Critères de rupture

• Critère de Von Mises (pour matériaux ductiles) : combine contraintes normales et de cisaillement.
• Critère de Tresca : contrainte de cisaillement maximale.

1. Loi de Hooke

• Relation linéaire entre contrainte et déformation : $$\sigma = E \cdot \varepsilon$$

2. Allongement d’une barre en traction

• $$\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{S \cdot E}$$

3. Flèche d’une poutre en flexion simple

• Pour une poutre encastrée ou appuyée, la flèche dépend de la charge, la portée, le module d’élasticité et le moment d’inertie.

1. Résolution d’un problème de traction/compression

1. Identifier la section et la force.
2. Calculer la contrainte $\sigma = F/S$.
3. Vérifier $\sigma < R_e/CS$.

2. Résolution d’un problème de flexion

1. Déterminer le moment fléchissant $M$ en un point.
2. Calculer le moment d’inertie $I$.
3. Calculer la contrainte $\sigma = \frac{M \cdot y}{I}$.
4. Vérifier la contrainte admissible.

3. Résolution d’un problème de torsion

1. Calculer le moment polaire $J$.
2. Calculer la contrainte de torsion $\tau = \frac{M_t \cdot r}{J}$.
3. Vérifier la contrainte admissible.