Modélisation des actions mécaniques

1. Définition d'une action mécanique

• Action mécanique : cause physique du mouvement, de l'équilibre ou de la déformation d'un ensemble matériel.

2. Modélisation locale des actions mécaniques

• Actions mécaniques entre deux ensembles matériels (solide, liquide, gaz) peuvent être :
  • À distance : s'appliquent sur tout le volume, proportionnelles à un élément de volume $dv$.
  • De contact : s'appliquent sur une surface commune, proportionnelles à un élément de surface $ds$.

• Remarque : Le contact réel n'est jamais ponctuel ou linéique, mais la zone de contact peut être modélisée comme ponctuelle, linéique ou surfacique selon sa dimension relative.

3. Modélisation locale d'une action mécanique

• Une action mécanique d'un ensemble $\Sigma_1$ sur $\Sigma_2$ est la somme d'actions élémentaires locales $\overline{d\vec{F}_M}$, définies en chaque point $M$ de la surface ou du volume de $\Sigma_2$.

4. Actions de contact entre deux solides (1 et 2)

a) Notations

• $\pi$ : plan tangent au contact en $M$.
• $\vec{n}$ : vecteur normal à $\pi$, orienté de 1 vers 2.
• $\overline{d\vec{f}_{M(1 \to 2)}} = d\vec{N}_{1 \to 2} + d\vec{T}_{1 \to 2} = dN_{1 \to 2} \vec{n} + dT_{1 \to 2} \vec{t}$ : action élémentaire de contact en $M$.
• $\vec{t}$ : vecteur unitaire tangent au plan $\pi$.

b) Cas du glissement

• Condition : $\overline{V}_{2/1}^M \neq \vec{0}$ (mouvement relatif en $M$).
• Direction de glissement : $\overline{V}_{2/1}^M = \|\overline{V}_{2/1}^M\| \vec{t}$.
• Lois de Coulomb :

$$\| d\vec{T}_{1 \to 2} \| = \mu \| d\vec{N}_{1 \to 2} \|$$ $$d\vec{T}_{1 \to 2} \wedge \overline{V}_{2/1}^M = \vec{0}$$ $$d\vec{T}_{1 \to 2} \cdot \overline{V}_{2/1}^M < 0$$

• $\mu$ : coefficient de frottement (sans dimension).
• L'action tangentielle s'oppose au mouvement relatif.
• L'action élémentaire reste sur un cône de demi-angle $\varphi$ tel que $\tan \varphi = \mu$.

c) Cas de l'adhérence

• Condition : $\overline{V}_{2/1}^M = \vec{0}$ (pas de mouvement relatif).
• Direction de $d\vec{f}_{M(1 \to 2)}$ indéterminée.
• Loi de Coulomb :

$$\| d\vec{T}_{1 \to 2} \| \leq \mu_0 \| d\vec{N}_{1 \to 2} \|$$

• $\mu_0$ : coefficient d'adhérence, généralement $\mu_0 \geq \mu$.
• L'action élémentaire reste à l'intérieur d'un cône de demi-angle $\varphi_0$ tel que $\tan \varphi_0 = \mu_0$.
• L'action s'oppose au mouvement susceptible d'apparaître.

5. Propriétés des coefficients de frottement

• Ces coefficients dépendent des matériaux, de la lubrification, mais aussi de la température, rugosité, vitesse de glissement, etc.
• Ils ne dépendent pas de la surface de contact.

À retenir :
Une action mécanique locale entre deux solides en contact est modélisée par un vecteur force élémentaire décomposé en une composante normale et une composante tangentielle, soumise aux lois de Coulomb qui distinguent les cas de glissement (force tangentielle proportionnelle à la normale) et d'adhérence (force tangentielle inférieure ou égale à un seuil).

1. Actions mécaniques de contact sans frottement

• Hypothèse sans frottement : $\mu = \mu_0 = 0$
  L'action mécanique élémentaire en un point $M$ du contact est normale au plan tangent $\pi$ :
  $\overline{\mathrm{df}_{M(1\to 2)}} = \mathrm{df}_{M(1\to 2)} \cdot \vec{n}$
  (indépendamment du mouvement relatif entre les solides).

• Conditions de contact :

  • Contact maintenu : $\vec{V}_{2/1}^M \cdot \vec{n} = 0$
  • Contact rompu : $\vec{V}_{2/1}^M \cdot \vec{n} \ge 0$

2. Résistance au roulement et au pivotement

Le vecteur rotation relatif $\overrightarrow{\Omega_{2/1}}$ se décompose en :

a) Résistance au roulement

• Moment de résistance au roulement exercé par 1 sur 2 : $\overline{M_{t1\to 2}}$

• Loi de Coulomb étendue :

  $$\begin{cases} \overrightarrow{\Omega_{r2/1}} = \vec{0} \Rightarrow \|\overline{M_{t1\to 2}}\| \le \delta \|\vec{N}_{1\to 2}\| \\ \overrightarrow{\Omega_{r2/1}} \neq \vec{0} \Rightarrow \|\overline{M_{t1\to 2}}\| = \delta \|\vec{N}_{1\to 2}\|, \quad \overline{M_{t1\to 2}} \parallel \overrightarrow{\Omega_{r2/1}}, \text{ sens opposé} \end{cases}$$

• $\delta$ : coefficient de résistance au roulement (en m), expérimental
  Exemples :

  • Acier sur acier (roue de train) : $\delta = 10^{-4} \, m$
  • Pneu sur bitume (camion) : $\delta = 10^{-1} \, m$

b) Résistance au pivotement

• Moment de résistance au pivotement exercé par 1 sur 2 : $\overline{M_{n1\to 2}}$

• Loi analogue :

  $$\begin{cases} \overrightarrow{\Omega_{p2/1}} = \vec{0} \Rightarrow \|\overline{M_{n1\to 2}}\| \le \eta \|\vec{N}_{1\to 2}\| \\ \overrightarrow{\Omega_{p2/1}} \neq \vec{0} \Rightarrow \|\overline{M_{n1\to 2}}\| = \eta \|\vec{N}_{1\to 2}\|, \quad \overline{M_{n1\to 2}} \parallel \overrightarrow{\Omega_{p2/1}}, \text{ sens opposé} \end{cases}$$

• $\eta$ : coefficient de résistance au pivotement (en m), expérimental

3. Modélisation globale d'une action mécanique

• La modélisation locale (forces réparties) est complexe et rarement nécessaire pour l'étude des solides rigides.
• On utilise une modélisation globale par un torseur d'action mécanique.

a) Torseur d'action mécanique en un point $A$

$$\{T_{1\to2}\} = \begin{Bmatrix} \vec{R}_{1\to2} \\ \vec{M}_{1\to2}^A \end{Bmatrix}_A = \begin{Bmatrix} X_{12} & L_{12} \\ Y_{12} & M_{12} \\ Z_{12} & N_{12} \end{Bmatrix}_{A,[b]}$$

• $\vec{R}_{1\to2}$ : résultante des forces (N)
• $\vec{M}_{1\to2}^A$ : moment résultant en $A$ (N·m)
• Relation de changement de point : $$\vec{M}_{1\to2}^B = \vec{M}_{1\to2}^A + \overrightarrow{BA} \wedge \vec{R}_{1\to2}$$

b) Types particuliers de torseurs

4. Passage de la modélisation locale à globale

Pour un ensemble matériel $\Sigma_1$ agissant sur $\Sigma_2$ :

$$\{T_{\Sigma_1 \to \Sigma_2}\} = \begin{cases} \vec{R}_{\Sigma_1 \to \Sigma_2} = \iint_{\partial \Sigma_2} d\vec{f}_{S(M_i)} + \iiint_{\Sigma_2} d\vec{f}_{V(M_j)} \\ \vec{M}_{O(\Sigma_1 \to \Sigma_2)} = \iint_{\partial \Sigma_2} \overrightarrow{OM_i} \wedge d\vec{f}_{S(M_i)} + \iiint_{\Sigma_2} \overrightarrow{OM_j} \wedge d\vec{f}_{V(M_j)} \end{cases}$$

• $d\vec{f}_{S(M_i)}$ : effort élémentaire surfacique
• $d\vec{f}_{V(M_j)}$ : effort élémentaire volumique
• $O$ : point de référence pour le moment

5. Exemples de modélisation globale

À retenir :
Une action mécanique globale sur un solide rigide se modélise par un torseur composé d'une résultante de forces et d'un moment résultant, ce qui simplifie l'étude des systèmes mécaniques complexes.

1. Contact parfait

Un contact parfait entre deux solides signifie qu'il n'y a aucun glissement relatif au niveau de la surface de contact. Cela implique que les vitesses relatives des points en contact sont nulles.

• Conséquence : La force de contact peut transmettre une composante tangentielle sans glissement.
• Le contact parfait est modélisé par une liaison parfaite au niveau de la surface de contact.

2. Résistance au roulement

La résistance au roulement est la force qui s'oppose au mouvement de roulement d'un solide sur un autre, due aux déformations et aux micro-glissements au contact.

• Elle se manifeste par un moment résistant appelé moment de résistance au roulement $M_r$.
• Ce moment est appliqué au point de contact et s'oppose au mouvement de rotation.

a) Modélisation du moment de résistance au roulement

• Le moment de résistance au roulement est proportionnel à la force normale $N$ exercée au contact :

$$M_r = r_r \times N$$

avec $r_r$ le rayon de résistance au roulement, caractéristique du contact (dépend de la rugosité, déformation, etc.).

• $r_r$ est généralement très petit devant le rayon de la roue.

b) Effet sur les équations du mouvement

• La résistance au roulement s'intègre dans le bilan des moments extérieurs appliqués au solide.
• Elle agit comme un couple résistant, diminuant la vitesse de rotation.

3. Synthèse

À retenir : Le contact parfait interdit le glissement, tandis que la résistance au roulement modélise les pertes d'énergie dues aux déformations au contact par un moment résistant proportionnel à la force normale.

1. Modélisation globale par torseur d'action mécanique

La modélisation globale des actions mécaniques exercées sur un solide se fait à l'aide du torseur d'action mécanique. Ce torseur regroupe l'ensemble des forces et moments appliqués sur le solide en un seul objet mathématique.

a) Définition du torseur d'action mécanique

Le torseur d'action mécanique $\{ \mathcal{T} \}$ appliqué à un solide en un point $O$ est défini par :

$$\{ \mathcal{T} \} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R} \\ \vec{M}_O \end{array} \right\}_O$$

• $\vec{R} = \displaystyle \int_{S} \vec{f} \, dS + \int_{V} \vec{f}_v \, dV$ est la résultante des forces extérieures appliquées sur le solide (forces de surface et forces volumiques).
• $\vec{M}_O = \displaystyle \int_{S} \overrightarrow{OM} \times \vec{f} \, dS + \int_{V} \overrightarrow{OM} \times \vec{f}_v \, dV$ est le moment résultant des forces par rapport au point $O$.

b) Propriétés importantes

• Le torseur d'action mécanique est réductible en tout point du solide.
• Le choix du point $O$ permet de calculer le moment résultant en ce point, mais la résultante $\vec{R}$ reste la même quel que soit le point.
• Le torseur permet de représenter de manière compacte l'ensemble des actions mécaniques extérieures.

c) Expression du torseur en un point $A$

Si on connaît le torseur en un point $O$, on peut le ramener en un autre point $A$ par la formule :

$$\{ \mathcal{T} \}_A = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R} \\ \vec{M}_O + \overrightarrow{AO} \times \vec{R} \end{array} \right\}_A$$

d) Utilité du torseur d'action mécanique

• Simplifie l'étude des actions mécaniques en remplaçant une distribution complexe de forces par un torseur unique.
• Facilite l'application des principes fondamentaux de la mécanique (équilibre, dynamique).
• Permet de modéliser globalement les efforts transmis entre solides dans un système mécanique.

À retenir :
Le torseur d'action mécanique regroupe la résultante des forces et le moment résultant en un point donné, offrant une modélisation globale et compacte des actions mécaniques sur un solide.

1. Torseurs transmissibles dans les liaisons normalisées

Les torseurs transmissibles représentent les actions mécaniques que peut transmettre une liaison normalisée entre deux solides. Ils caractérisent les efforts (forces et moments) que la liaison peut supporter sans céder.

a) Définition

Un torseur transmissible dans une liaison est un torseur des actions mécaniques que la liaison peut transmettre entre deux pièces en contact.

• Il est localisé en un point caractéristique de la liaison (souvent un point d'application ou un centre de liaison).
• Il est contraint par la nature de la liaison (nombre et type de degrés de liberté).

b) Propriétés générales

• Le torseur transmissible est réductible à un ensemble d'efforts et moments compatibles avec les contraintes géométriques de la liaison.
• Il respecte la condition de non-permission des mouvements interdits par la liaison.
• Le torseur transmissible est équilibré par les efforts extérieurs et les réactions dans la liaison.

c) Torseurs transmissibles selon les types de liaisons normalisées

d) Expression du torseur transmissible

Le torseur transmissible en un point $O$ s'écrit :

$$\left\{ T \right\} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R} \\ \vec{M}_O \end{array} \right\}_O$$

• $\vec{R}$ : vecteur résultant des forces transmises.
• $\vec{M}_O$ : moment résultant au point $O$.

e) Règle clé

Un torseur transmissible doit être compatible avec les degrés de liberté de la liaison : il ne peut transmettre que les efforts et moments interdits par la liaison.

f) Exemple simplifié : liaison pivot

• DDL autorisé : rotation autour de l'axe $z$.
• Torseur transmissible possible :

$$\vec{R} = R_x \vec{i} + R_y \vec{j} + R_z \vec{k} \quad \text{(forces)} \\ \vec{M}_O = M_z \vec{k} \quad \text{(moment autour de l'axe de rotation)}$$

• Moments autour des axes $x$ et $y$ sont nuls car rotation libre.

Cette modélisation permet de déterminer les efforts que la liaison peut transmettre, essentielle pour dimensionner et vérifier la résistance des assemblages mécaniques.

1. Bases et systèmes de coordonnées

a) Base cartésienne

• Référentiel $\mathcal{R}$ avec origine $O$ et axes orthogonaux $(\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z)$ fixes.
• Coordonnées d’un point $M$: $(x, y, z)$.
• Vecteur position : $$\overrightarrow{OM} = x\vec{u}_x + y\vec{u}_y + z\vec{u}_z$$
• Déplacement élémentaire : $$d\overrightarrow{OM} = dx\vec{u}_x + dy\vec{u}_y + dz\vec{u}_z$$
• Surfaces élémentaires : $$dS = dx\,dy, \quad dS = dx\,dz, \quad dS = dy\,dz$$
• Volume élémentaire : $$dV = dx\,dy\,dz$$

b) Base cylindrique

• Coordonnées de $M$: $(r, \theta, z)$ dans la base $\{\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z\}$ obtenue par rotation d’un angle $\theta$ autour de l’axe $O\vec{z}$.
• Vecteur position : $$\overrightarrow{OM} = r\vec{u}_r + z\vec{u}_z$$
• Déplacement élémentaire : $$d\overrightarrow{OM} = dr\,\vec{u}_r + r\,d\theta\,\vec{u}_\theta + dz\,\vec{u}_z$$
• Surfaces élémentaires : $$dS = r\,dr\,d\theta, \quad dS = r\,d\theta\,dz, \quad dS = dr\,dz$$
• Volume élémentaire : $$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$

c) Base sphérique

• Coordonnées de $M$: $(r, \theta, \varphi)$ dans la base $\{\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\varphi\}$.
• Vecteur position : $$\overrightarrow{OM} = r\vec{u}_r$$
• Déplacement élémentaire : $$d\overrightarrow{OM} = dr\,\vec{u}_r + r\,d\theta\,\vec{u}_\theta + r\sin\theta\,d\varphi\,\vec{u}_\varphi$$
• Surfaces élémentaires : $$dS = r^2 \sin\theta\, d\theta\, d\varphi, \quad dS = r\, d\theta\, dr, \quad dS = r \sin\theta\, dr\, d\varphi$$
• Volume élémentaire : $$dV = r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi$$

2. Torseurs d’actions mécaniques transmissibles dans les liaisons normalisées

• Hypothèses : liaison parfaite (sans jeu ni frottement), surfaces de contact indéformables, actions mécaniques élémentaires normales aux plans tangents communs.

• Forme générale du torseur :

  $$\{T_{1\to2}\} = \begin{Bmatrix} \vec{R}_{1\to2} \\ \vec{M}_{O,1\to2} \end{Bmatrix}$$

À retenir : Le torseur d’action mécanique transmissible par une liaison est caractérisé par les composantes de force et moment compatibles avec les degrés de liberté restreints par la liaison.

3. Exemple : Liaison sphère-cylindre

• Actions mécaniques élémentaires normales au contact : $$d\vec{f}_{M_i} = df_{M_i} \cdot \vec{n}_{M_i}$$
• Torseur caractérisé par : $$\begin{cases} \vec{R}_{i,12} \cdot \vec{x} = 0 \\ \vec{M}_{A,1\to2} = \sum_{M_i} \overrightarrow{AM_i} \times d\vec{f}_{M_i} = 0 \end{cases}$$
• Résultat : $$\{J_{S_1 \to S_2}\} = \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ Y_{12} & 0 \\ Z_{12} & 0 \end{Bmatrix}_A(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$$

Cette synthèse regroupe les bases usuelles et les torseurs types des actions mécaniques transmissibles dans les liaisons normalisées, essentiels pour modéliser et analyser les systèmes mécaniques.