Algèbre Linéaire

1. Équations et solutions

• Équation : égalité entre deux expressions combinant des quantités connues (données, coefficients, paramètres) et inconnues (variables).

• Équation linéaire : équation où les inconnues apparaissent uniquement par addition, multipliées éventuellement par des constantes.

  Exemples
  Linéaires : $3x - y + z = 3$, $y = 3x - 2$, $y = ax + b$
  Non linéaires : $4x + 2xz = 1$, $x^2 + 6y = 4$

• Solution d’une équation : valeurs des inconnues qui rendent l’égalité vraie.

• Équations équivalentes : mêmes ensembles de solutions.

Une équation linéaire est une combinaison linéaire des inconnues égale à une constante.

2. Systèmes d’équations linéaires

Un système linéaire à $n$ équations et $p$ inconnues est de la forme :

$$(S) \quad \begin{cases} a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_2 + \cdots + a_{1,p} x_p = b_1 \\ a_{2,1} x_1 + a_{2,2} x_2 + \cdots + a_{2,p} x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{n,1} x_1 + a_{n,2} x_2 + \cdots + a_{n,p} x_p = b_n \end{cases}$$

• $a_{i,j} \in \mathbb{R}$ : coefficients connus
• $b_i \in \mathbb{R}$ : second membre connu
• $x_j$ : inconnues
• $(L_i)$ : équations du système

Terminologie selon $n$ et $p$ :

• Système homogène : tous les $b_i = 0$.
• Coefficients nuls peuvent être omis dans l’écriture.

3. Solutions d’un système linéaire

• Solution : valeurs $(x_1, \ldots, x_p)$ vérifiant simultanément toutes les équations.
• L’ensemble des solutions est l’intersection des ensembles solutions de chaque équation.
• Un système peut avoir :
  • Une solution unique (système bien posé)
  • Une infinité de solutions
  • Aucune solution (ensemble vide $\emptyset$)

Un système sous-déterminé ne peut pas avoir de solution unique.

• Système compatible : admet au moins une solution (unique ou infinie).

• Système incompatible : aucune solution.

• Système homogène est toujours compatible, car la solution nulle $(0,0,\ldots,0)$ est toujours solution.

4. Exemples et remarques

• Exemple d’équations équivalentes :
  $2x - 4y = 6$ et $6y = 3x - 9$ ont le même ensemble de solutions.

• Exemple de système à 2 équations et 3 inconnues :

  $$\begin{cases} 3x - 2y - z = 5 \\ 2y + 3z = 4 \end{cases}$$

  Ici $n=2$, $p=3$, avec certains coefficients nuls (ex. $a_{2,1} = 0$).

• Exemple d’application en électricité (équations de Kirchhoff) : système linéaire complexe à résoudre pour trouver intensités et tensions.

L’ensemble des solutions d’un système linéaire est soit vide, soit un point unique, soit un espace affine (infinité de solutions).

5. Résumé des définitions clés

Pour résoudre un système linéaire, on transforme les équations en équations équivalentes plus simples, jusqu’à déterminer l’ensemble des solutions.

1. Définitions clés

Un système linéaire est strictement échelonné si, pour ses coefficients $a_{i,j}$ :

• $a_{i,j} = 0$ pour tout $i > j$ (coefficients sous la diagonale nuls),
• $a_{i,i} \neq 0$ pour tout $i$ (coefficients diagonaux non nuls).

On parle aussi de système triangulaire supérieur.

2. Système strictement échelonné carré ($n = p$)

Forme générale :

$$\begin{cases} a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_2 + \cdots + a_{1,p} x_p = b_1 \\ a_{2,2} x_2 + \cdots + a_{2,p} x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{p,p} x_p = b_p \end{cases}$$

avec $a_{i,i} \neq 0$ pour tout $i$.

Résolution par substitution "de bas en haut" :

$$\begin{aligned} x_p &= \frac{b_p}{a_{p,p}} \\ x_{p-1} &= \frac{b_{p-1} - a_{p-1,p} x_p}{a_{p-1,p-1}} \\ &\vdots \\ x_1 &= \frac{b_1 - \sum_{j=2}^p a_{1,j} x_j}{a_{1,1}} \end{aligned}$$

Un système carré strictement échelonné admet une solution unique.

3. Système strictement échelonné surdéterminé ($n > p$)

Forme générale :

$$\begin{cases} a_{1,1} x_1 + \cdots + a_{1,p} x_p = b_1 \\ a_{2,2} x_2 + \cdots + a_{2,p} x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{p,p} x_p = b_p \\ 0 = b_{p+1} \\ \vdots \\ 0 = b_n \end{cases}$$

avec $a_{i,i} \neq 0$ pour $1 \leq i \leq p$.

• Les dernières équations sont des équations de compatibilité.
• Si au moins un $b_i \neq 0$ pour $i > p$, alors pas de solution.
• Sinon, on élimine ces équations et on résout comme dans le cas carré, avec une solution unique.

4. Système strictement échelonné sous-déterminé ($n < p$)

Forme générale :

$$\begin{cases} a_{1,1} x_1 + \cdots + a_{1,n} x_n + a_{1,n+1} x_{n+1} + \cdots + a_{1,p} x_p = b_1 \\ a_{2,2} x_2 + \cdots + a_{2,n} x_n + a_{2,n+1} x_{n+1} + \cdots + a_{2,p} x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{n,n} x_n + a_{n,n+1} x_{n+1} + \cdots + a_{n,p} x_p = b_n \end{cases}$$

avec $a_{i,i} \neq 0$ pour $1 \leq i \leq n$.

On peut réécrire :

$$a_{i,i} x_i + \cdots + a_{i,n} x_n = b_i - \sum_{j=n+1}^p a_{i,j} x_j \quad (1 \leq i \leq n)$$

• Les inconnues $x_{n+1}, \ldots, x_p$ sont les inconnues secondaires (paramètres libres).
• Les inconnues $x_1, \ldots, x_n$ sont les inconnues principales.
• Pour chaque choix des inconnues secondaires, on obtient une solution unique pour les inconnues principales.

Un système strictement échelonné sous-déterminé admet une infinité de solutions paramétrées.

5. Exemple sous-déterminé

$$\begin{cases} x - 2y + z = -1 \\ 2y - 4z = 2 \end{cases}$$

Réécriture :

$$\begin{cases} x - 2y = -1 - z \\ 2y = 2 + 4z \end{cases}$$

Résolution :

$$y = 1 + 2z, \quad x = 1 + 3z, \quad z \in \mathbb{R}$$

6. Résolution générale : pivot de Gauss

• Deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.
• La méthode du pivot de Gauss transforme un système linéaire quelconque en un système strictement échelonné équivalent, par des opérations élémentaires (permutations, multiplications par scalaires non nuls, combinaisons linéaires d'équations).
• Une fois sous forme strictement échelonnée, on applique la résolution adaptée selon le cas (carré, surdéterminé, sous-déterminé).

Toute résolution de système linéaire consiste à ramener le système à une forme strictement échelonnée équivalente, puis à résoudre selon la structure obtenue.

1. Opérations élémentaires sur un système linéaire

Pour transformer un système linéaire en système échelonné, on utilise les opérations suivantes, qui ne modifient pas l'ensemble des solutions :

• Permutation des inconnues (colonnes)
• Permutation des équations (lignes)
• Multiplication/division d’une équation par une constante non nulle
• Élimination d’équations redondantes (exemple : $0=0$)
• Addition à une équation d’un multiple d’une autre équation (opération clé)

Cette dernière opération doit respecter :

• Une ligne reste inchangée (pivot)
• Les autres sont modifiées uniquement par addition d’un multiple de cette ligne

2. Méthode du pivot de Gauss : principe

1. Choisir un pivot : coefficient non nul d’une variable dans une équation.
2. Éliminer cette variable dans toutes les autres équations en ajoutant à chaque équation un multiple de celle du pivot.
3. Passer à la variable suivante dans le système réduit (en ignorant les équations déjà traitées).
4. Répéter jusqu’à obtenir un système strictement échelonné.

3. Définitions importantes

• Le pivot ne doit jamais être nul.
• On peut permuter équations et variables pour choisir un pivot simple (idéalement 1 ou -1).

4. Exemple d’élimination (simplifié)

Système initial :

$$\begin{cases} x - 2y - 2z = 3 \quad (L_1) \\ 2x + 3y - z = 0 \quad (L_2) \\ 4x - z = 1 \quad (L_3) \end{cases}$$

Après élimination de $x$ dans $L_2$ et $L_3$ :

$$\begin{cases} x - 2y - 2z = 3 \quad (L_1) \\ 7y + 3z = -6 \quad (L_2') \\ 8y + 7z = -11 \quad (L_3') \end{cases}$$

Puis élimination de $y$ dans $L_3'$ :

$$\begin{cases} x - 2y - 2z = 3 \quad (L_1) \\ 7y + 3z = -6 \quad (L_2') \\ \frac{25}{7} z = -\frac{29}{7} \quad (L_3'') \end{cases}$$

5. Cas d’un pivot nul

• Si le pivot est nul, la variable correspondante ne peut pas être principale.
• Elle devient variable secondaire (libre).
• Le système peut être compatible (solutions infinies) ou incompatible (aucune solution) selon les équations restantes.

Exemple avec paramètres $a,b,c$ :

$$\begin{cases} x - 2y - 3z = a \\ 2x - 4y - 5z = b \\ -3x + 6y + 2z = c \end{cases}$$

Après élimination, si le pivot pour $y$ est nul, on analyse la compatibilité des équations restantes.

6. Résumé des règles clés

À retenir : La méthode du pivot de Gauss consiste à transformer un système linéaire en système échelonné par opérations élémentaires, en choisissant des pivots non nuls pour éliminer successivement les variables, facilitant ainsi la résolution.

1. Interprétation géométrique des systèmes linéaires

a) Systèmes à deux équations et deux inconnues (droites dans le plan)

• Solutions possibles :
  • Une solution unique : les deux droites sont sécantes (elles se coupent en un point).
  • Aucune solution : les droites sont parallèles et distinctes.
  • Une infinité de solutions : les droites sont confondues (même droite, équations redondantes).

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues correspond à l'intersection de deux droites dans le plan.

b) Systèmes à trois équations et deux inconnues

• Trois droites dans le plan peuvent :
  • Ne pas avoir d'intersection commune (ensemble vide, cas courant).
  • Être concourantes (se couper en un point unique).
  • Être confondues (même droite, infinité de solutions).

c) Équations à trois inconnues (plans dans l’espace)

• Une équation linéaire à trois inconnues représente un plan dans $\mathbb{R}^3$.
• Un plan peut être défini par :
  • Trois points non alignés.
  • Une droite et un point hors de cette droite.
  • Un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires.

Exemple de paramétrisation d’un plan $P$ passant par $(3,-2,5)$ avec vecteurs directeurs $\vec{v} = (-1,2,1)$ et $\vec{w} = (4,-3,2)$ :

$$P = \{(3 - s + 4t, -2 + 2s - 3t, 5 + s + 2t) \mid s,t \in \mathbb{R}\}$$

d) Systèmes à deux équations et trois inconnues (intersection de deux plans)

• Solutions possibles :

  • Infinité de solutions : les deux plans sont sécants selon une droite (cas courant).
  • Aucune solution : plans parallèles distincts.
  • Infinité de solutions : plans confondus (même plan).

• Formes des ensembles de solutions :

e) Systèmes à trois équations et trois inconnues (intersection de trois plans)

• Solutions possibles :
  • Solution unique : les trois plans s’intersectent en un point (cas courant).
  • Aucune solution : les plans sont parallèles à une même droite, sans intersection commune.
  • Infinité de solutions : les plans contiennent une droite commune ou sont confondus.

f) Généralisation selon le nombre d’équations $m$ et d’inconnues $n$

g) Remarque sur la résolution numérique

• Les cas rares (solutions infinies ou aucune solution) sont instables numériquement : de petites perturbations ramènent souvent au cas courant (solution unique ou aucune).
• En calcul flottant, on observe principalement le cas courant, ce qui peut induire des erreurs si le système est mal posé.

L’interprétation géométrique permet de comprendre la nature des solutions d’un système linéaire en fonction de la position relative des droites ou plans correspondants.