Dynamique du dipôle RC

1. L'intensité du courant électrique

• Tension électrique ($U$) en volts (V) et intensité du courant ($I$) en ampères (A) sont les deux grandeurs fondamentales pour caractériser un courant électrique.
• Un courant électrique correspond au déplacement global de charges électriques (électrons dans un fil métallique).

a) Intensité en régime permanent

• L’intensité $I$ est le débit de charges électriques : $$I = \frac{Q}{\Delta t}$$ avec
  • $I$ : intensité en ampères (A)
  • $Q$ : charge électrique en coulombs (C)
  • $\Delta t$ : durée en secondes (s)

b) Intensité en régime variable

• L’intensité instantanée $i(t)$ est la dérivée de la charge $q(t)$ par rapport au temps : $$i(t) = \frac{dq}{dt}$$
• En régime variable, les grandeurs s’écrivent en minuscules (ex. $i$ au lieu de $I$).

2. Le condensateur

• Un condensateur est un dipôle constitué de deux plaques conductrices de surface $S$, séparées par un isolant (diélectrique) d’épaisseur $e$.
• Il stocke des charges électriques : sous tension, des charges de signes opposés s’accumulent sur les plaques.
• La capacité $C$ d’un condensateur est sa capacité à stocker des charges, exprimée en farads (F).
  • $C$ caractérise le condensateur.
  • Capacités usuelles : microfarads ($\mu F$) à nanofarads (nF).
  • Supercondensateurs : capacités jusqu’à plusieurs milliers de farads.

L’intensité du courant électrique est le débit de charges, défini par $I = \frac{Q}{\Delta t}$ en régime permanent et par $i(t) = \frac{dq}{dt}$ en régime variable.

1. Relation charge-tension d’un condensateur

• La charge électrique $q_A(t)$ sur une armature du condensateur est proportionnelle à la tension $u_C(t)$ à ses bornes :

  $$q_A(t) = C \times u_C(t)$$

  avec

  • $q_A(t)$ en coulombs (C)
  • $C$ la capacité en farads (F)
  • $u_C(t)$ la tension en volts (V)

• L’intensité du courant $i(t)$ est la dérivée temporelle de la charge :

  $$i(t) = \frac{dq_A}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$

• Le signe de $i(t)$ dépend du sens de variation de $u_C(t)$ (charge ou décharge).

2. Capteurs capacitifs

• Un capteur capacitif est un condensateur dont la capacité varie selon la présence d’un objet dans son champ électrique.
• La variation de capacité permet de détecter sans contact :
  • Objets métalliques ou non
  • Fluides
  • Verres transparents
• Exemple :
  • Les écrans tactiles capacitifs utilisent une grille chargée électriquement.
  • Le contact d’un doigt modifie localement le champ électrique et la capacité, ce qui est détecté pour localiser le point de contact.

3. Modélisation du circuit RC lors de la charge du condensateur

• Schéma : condensateur $C$ en série avec une résistance $R$, alimentés par une tension constante $E$.
• Équation différentielle régissant la charge : $$u_C(t) + R i(t) = E$$ avec $i(t) = C \frac{du_C}{dt}$, donc $$u_C(t) + R C \frac{du_C}{dt} = E$$

À retenir : La tension aux bornes du condensateur dans un circuit RC obéit à l’équation différentielle

$$u_C(t) + R C \frac{du_C}{dt} = E$$

1. Solution de l’équation différentielle

La solution générale est :

$$u_C(t) = K e^{-\frac{t}{RC}} + E$$

où $K$ est une constante déterminée par la condition initiale.

2. Condition initiale

Le condensateur est initialement déchargé, donc :

$$u_C(0) = 0$$

En remplaçant $t=0$ dans la solution :

$$0 = K \times 1 + E \implies K = -E$$

3. Expression finale de la tension aux bornes du condensateur

$$\boxed{ u_C(t) = E \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) }$$

avec la constante de temps :

$$\tau = R \times C$$

4. Interprétation de la constante de temps $\tau$

• $\tau$ caractérise la rapidité de la charge du condensateur.
• À $t = \tau$, la tension atteint environ 63 % de la tension finale $E$ :

$$u_C(\tau) = E \left(1 - e^{-1}\right) \approx 0,63 \times E$$

5. Méthodes graphiques pour déterminer $\tau$

À retenir : La tension aux bornes du condensateur lors de sa charge dans un circuit RC suit la loi $u_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau})$, où $\tau = RC$ est la constante de temps caractéristique.

1. Équation différentielle de la décharge du condensateur

Dans un circuit RC en décharge, la tension aux bornes du condensateur $u_C(t)$ vérifie :

$$U_R(t) + u_C(t) = 0$$

avec $U_R(t) = R \times i(t)$ et $i(t) = C \frac{du_C}{dt}$.

En remplaçant, on obtient :

$$R \times C \frac{du_C}{dt} + u_C(t) = 0$$

ou encore

$$\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C(t) = 0$$

2. Solution de l’équation différentielle

La solution est de la forme exponentielle décroissante :

$$u_C(t) = K \, e^{-\frac{t}{\tau}}$$

avec la constante de temps :

$$\tau = R \times C$$

et la condition initiale $u_C(0) = E$ (tension initiale du condensateur) donne :

$$u_C(t) = E \, e^{-\frac{t}{\tau}}$$

3. Propriétés de la décharge

• À $t=0$, $u_C(0) = E$.
• La tension diminue exponentiellement vers 0.
• La constante de temps $\tau$ caractérise la rapidité de la décharge.

4. Détermination graphique de la constante de temps $\tau$

Deux méthodes pour trouver $\tau$ sur la courbe de $u_C(t)$ :

À retenir : La tension aux bornes du condensateur lors de sa décharge suit la loi $u_C(t) = E \, e^{-\frac{t}{RC}}$, où $\tau = RC$ est la constante de temps caractéristique du circuit.