Équivalence des Normes

1. Théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{R}^p$

• Énoncé : Toute suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dans le cube $[-1,1]^p$ admet une sous-suite convergente vers un point $x_\infty \in [-1,1]^p$.

• Conséquence clé : Toute suite bornée dans $\mathbb{R}^p$ possède une sous-suite convergente.

2. Équivalence de deux normes sur un espace vectoriel de dimension finie

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, et $N_1$, $N_2$ deux normes sur $E$.

a) Théorème principal

• Énoncé : Il existe des constantes $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ telles que pour tout $u \in E$,

  $$\alpha N_1(u) \leq N_2(u) \leq \beta N_1(u).$$

• Interprétation : Les normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes, elles définissent la même topologie.

3. Idée de la démonstration (par l'absurde)

1. Supposition contraire : Il n'existe pas de $\alpha, \beta > 0$ vérifiant l'inégalité ci-dessus.
   Alors, pour tout $\alpha, \beta > 0$, il existe $u \in E$ tel que

   $$\alpha N_1(u) > N_2(u) \quad \text{ou} \quad N_2(u) > \beta N_1(u).$$

2. En divisant par $N_1(u)$ (avec $u \neq 0$), on obtient :

   $$\forall \alpha, \beta > 0, \quad \exists u \in E, N_1(u) = 1 : \quad \alpha > N_2(u) \quad \text{ou} \quad N_2(u) > \beta.$$

3. Cette condition implique que la fonction $u \mapsto N_2(u)$ sur la sphère unité $S = \{u \in E : N_1(u) = 1\}$ n'est pas bornée ni inférieurement ni supérieurement.

4. Or, la sphère $S$ est compacte (car $E$ est de dimension finie et $N_1$ est une norme), donc $N_2$ est continue et atteint ses bornes sur $S$.

5. Contradiction avec la supposition initiale.

À retenir : Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, ce qui garantit la robustesse des notions de convergence et de continuité indépendamment du choix de la norme.

4. Remarques complémentaires

5. Résumé des propriétés utilisées

6. Questions pour approfondir

• Pourquoi la limite $x_\infty$ reste dans $[-1,1]^p$ ?
  Parce que chaque composante est dans un intervalle fermé borné, et la limite d'une suite convergente dans un intervalle fermé reste dans cet intervalle.

• La dimension finie est-elle indispensable ?
  Oui, car la compacité de la boule unité ne tient que dans ce cas.

• Comment se construit la sous-suite convergente dans $\mathbb{R}^p$ ?
  Par extraction successive sur chaque composante (récurrence sur $p$).

1. Théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{R}^p$

a) Contexte et notations

• Soit $E$ un espace vectoriel normé réel de dimension finie $p$.

• On considère deux normes $N_1$ et $N_2$ sur $E$.

• Pour tout $\alpha > 0$, $\beta > 0$, on définit un vecteur $u_{\alpha, \beta}$ tel que :

  $$N_1(u_{\alpha, \beta}) = 1, \quad \text{et} \quad \text{soit } \alpha > N_2(u_{\alpha, \beta}) \quad \text{ou} \quad N_2(u_{\alpha, \beta}) > \beta.$$

• On choisit deux suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$ telles que :

  $$\alpha_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0, \quad \beta_n \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty.$$

• On pose $u_n := u_{\alpha_n, \beta_n}$, vérifiant :

  $$N_1(u_n) = 1, \quad \text{et} \quad \alpha_n > N_2(u_n) \quad \text{ou} \quad N_2(u_n) > \beta_n.$$

b) Analyse des indices

• On définit les ensembles : $$I_1 := \{ n \in \mathbb{N} : \alpha_n > N_2(u_n) \}, \quad I_2 := \{ n \in \mathbb{N} : N_2(u_n) > \beta_n \}.$$
• Au moins l'un des deux ensembles $I_1$, $I_2$ est infini.
• Si $\#I_1 = +\infty$, il existe une sous-suite $(u_{\sigma_1(n)})$ telle que : $$N_1(u_{\sigma_1(n)}) = 1, \quad N_2(u_{\sigma_1(n)}) < \alpha_{\sigma_1(n)} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$$
• Si $\#I_2 = +\infty$, il existe une sous-suite $(u_{\sigma_2(n)})$ telle que : $$N_1(u_{\sigma_2(n)}) = 1, \quad N_2(u_{\sigma_2(n)}) > \beta_{\sigma_2(n)} \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty.$$

c) Proposition clé (Proposition 1)

Soit $(e_1, \ldots, e_p)$ une base de $E$. Pour une suite $(u_n)$ décomposée comme

$$u_n = \sum_{i=1}^p a_{ni} e_i, \quad a_{ni} \in \mathbb{R},$$

les assertions suivantes sont équivalentes :

Cette proposition montre que la convergence vers zéro d'une suite dans une norme implique la convergence vers zéro de ses coordonnées dans toute base, et réciproquement.

d) Conséquences et contradiction

• Par la proposition, la convergence $N_2(u_{\sigma_1(n)}) \to 0$ avec $N_1(u_{\sigma_1(n)})=1$ est impossible (contradiction).
• Pour le cas $\#I_2 = +\infty$, en posant $v_n := \frac{u_{\sigma_2(n)}}{\beta_{\sigma_2(n)}}$, on a : $$N_1(v_n) = \frac{1}{\beta_{\sigma_2(n)}} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0, \quad N_2(v_n) = \frac{N_2(u_{\sigma_2(n)})}{\beta_{\sigma_2(n)}} > 1,$$ ce qui est aussi une contradiction.

e) Conclusion

• Aucune des deux situations ne peut se produire.
• Cela prouve que les normes $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes sur $E$.
• En particulier, toute suite bornée dans $\mathbb{R}^p$ admet une sous-suite convergente (Théorème de Bolzano-Weierstrass).

2. Remarque importante

• La proposition 1 ne dépend pas de la norme choisie : la convergence des coordonnées dans une base est indépendante de la norme.
• Ainsi, la notion de convergence dans $\mathbb{R}^p$ est équivalente quelle que soit la norme utilisée.

À retenir : Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, et toute suite bornée admet une sous-suite convergente (Théorème de Bolzano-Weierstrass).

1. Démonstration de la Proposition 1

On veut montrer l'équivalence entre :

• (i) $\|u_n\| \to 0$ quand $n \to +\infty$,
• (ii) $a_{ni} \to 0$ pour tout $i \in [[1,p]]$.

a) Sens (ii) ⇒ (i)

• Sous l'hypothèse (ii), on a $\sum_{i=1}^p |a_{ni}| \to 0$.
• Par l'inégalité (12), cela implique $\|u_n\| \to 0$.
• Cette partie est donc directe.

b) Sens (i) ⇒ (ii) (par l'absurde)

Supposons que :

• $\|u_n\| \to 0$,
• mais il existe $i_0 \in [[1,p]]$ tel que $|a_{n i_0}| \not\to 0$.

Alors :

• Il existe $\varepsilon > 0$ et une sous-suite $u_{\sigma(n)}$ telle que
  • $\|u_{\sigma(n)}\| \to 0$,
  • $|a_{\sigma(n) i_0}| > \varepsilon$ pour tout $n$.

Définissons la suite normalisée :

$$v_n := \frac{u_{\sigma(n)}}{\max_{i \in [[1,p]]} |a_{\sigma(n) i}|} = \sum_{i=1}^p \widetilde{a}_{n i} e_i,$$

avec

$$\widetilde{a}_{n i} := \frac{a_{\sigma(n) i}}{\max_{i \in [[1,p]]} |a_{\sigma(n) i}|}.$$

Propriétés clés :

c) Passage à la limite

• Par compacité de $[-1,1]^p$, il existe une sous-suite $\widetilde{a}_{\sigma(n)}$ convergente vers $\widetilde{a}_\infty \in [-1,1]^p$.
• On a

$$\max_{i} |\widetilde{a}_{\infty i}| = 1 \implies \widetilde{a}_\infty \neq 0_{\mathbb{R}^p}.$$

• Posons

$$v_\infty := \sum_{i=1}^p \widetilde{a}_{\infty i} e_i \neq 0_E.$$

• La convergence des coefficients entraîne

$$\|v_n - v_\infty\| \to 0.$$

d) Contradiction finale

• On a construit $(v_n)$ telle que

$$\|v_n\| \to 0 \quad \text{et} \quad \|v_n - v_\infty\| \to 0,$$

avec $v_\infty \neq 0$.

• Par inégalité triangulaire,

$$0 < \|v_\infty\| \leq \|v_\infty - v_n\| + \|v_n\| \to 0,$$

ce qui est absurde.

À retenir : La convergence $\|u_n\| \to 0$ implique nécessairement la convergence de tous les coefficients $a_{ni} \to 0$, car sinon on peut construire une suite normalisée qui contredit la continuité de la norme.