Étude des Fonctions

1. Sens de variation et dérivée

• Nombre dérivé $f'(x_A)$ : coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_A$.
• Fonction dérivable sur un intervalle $I$ : $f$ admet un nombre dérivé en chaque $x \in I$. La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ ce nombre dérivé.

a) Relations entre dérivée et variations de $f$ sur $I$ :

Théorème fondamental : Si $f$ est dérivable sur $I$,

• $f'(x) \geq 0 \implies f$ est croissante sur $I$,
• $f'(x) \leq 0 \implies f$ est décroissante sur $I$,
• $f'(x) = 0 \implies f$ est constante sur $I$.

2. Dérivées des fonctions usuelles

3. Opérations sur les dérivées

Soient $u$ et $v$ dérivables sur $I$, $k$ constante :

4. Recherche d’un extremum local

• Théorème : Si $f$ est définie sur $I$ et $x_0 \in I$ tel que $f'(x_0) = 0$ et que $f'$ change de signe en $x_0$, alors $f(x_0)$ est un extremum local.
• Remarque : $f'(x_0) = 0$ est nécessaire mais pas suffisant pour un extremum (exemple : $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais pas d’extremum).

5. Équation de la tangente

• La tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_A$ a pour équation :

$$y = f'(x_A)(x - x_A) + f(x_A)$$

À retenir : Le signe de la dérivée $f'(x)$ détermine le sens de variation de $f$. Un changement de signe de $f'$ en un point où $f'(x) = 0$ indique un extremum local.

1. Calcul de limites

• Limite d’un polynôme à l’infini : égale au terme de plus haut degré.
• Limite d’une fonction rationnelle à l’infini : égale au quotient des termes de plus haut degré.
• Attention : pour les autres cas, ne pas inventer, réfléchir aux formes indéterminées.

2. Asymptotes

a) Asymptote verticale

• Si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$ avec $a$ valeur interdite, alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale.

b) Asymptote horizontale

• Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ avec $b \in \mathbb{R}$, alors la droite $y = b$ est une asymptote horizontale.

c) Asymptote oblique

• La droite $y = mx + p$ est une asymptote oblique si et seulement si $$\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (mx + p)] = 0.$$
• On peut écrire $f(x) = mx + p + \varphi(x)$ avec $\lim_{x \to \pm \infty} \varphi(x) = 0$.

3. Tangente à une courbe

• Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $a \in I$.
• L’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ est : $$y = f'(a)(x - a) + f(a).$$

4. Position relative d’une courbe par rapport à sa tangente

• Étudier le signe de la différence $$f(x) - \big[f'(a)(x - a) + f(a)\big].$$
• Si cette différence est positive (resp. négative) près de $a$, la courbe est au-dessus (resp. en dessous) de la tangente.

5. Position relative d’une courbe par rapport à son asymptote oblique

• Étudier le signe de $$f(x) - (mx + p).$$
• Cela indique si la courbe est au-dessus ou en dessous de l’asymptote oblique pour $x$ grand en valeur absolue.

À retenir :
L’étude du comportement asymptotique d’une fonction passe par le calcul des limites à l’infini ou en points interdits, permettant d’identifier les asymptotes verticales, horizontales ou obliques, ainsi que la position relative de la courbe par rapport à ses tangentes ou asymptotes.

1. Problèmes types en étude des fonctions

a) Domaine de définition et limites aux bornes

• Domaine de définition : ensemble des réels $x$ pour lesquels la fonction $f$ est définie (exclure points d'indétermination, dénominateurs nuls, etc.).
• Limites aux bornes du domaine : calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ pour chaque borne $a$ du domaine (peut être $\pm \infty$ ou points d'exclusion).
• Asymptotes verticales : droites $x = a$ où $a$ est une borne exclue du domaine avec $\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm \infty$.
• Asymptotes horizontales : droites $y = L$ avec $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$.
• Asymptotes obliques : droites $y = mx + p$ si $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - (mx + p)) = 0$.

b) Étude de variations et dérivée

• Dérivée $f'(x)$ : calculée pour étudier le sens de variation.
• Signe de $f'(x)$ :
  • $f'(x) > 0$ sur un intervalle $\Rightarrow f$ croissante.
  • $f'(x) < 0$ sur un intervalle $\Rightarrow f$ décroissante.
• Points critiques : valeurs de $x$ où $f'(x) = 0$ ou $f'(x)$ n'existe pas.
• Tableau de variation : synthèse des variations de $f$ selon le signe de $f'$ et les limites aux bornes.

c) Tangentes à la courbe

• Équation de la tangente en un point $x_0$ : $$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$
• Tangentes horizontales : points où $f'(x_0) = 0$.
• Position relative entre la courbe et la tangente : étudier le signe de $f(x) - T(x)$ autour de $x_0$.

d) Résolution graphique d'inéquations

• Pour résoudre graphiquement des inéquations du type :
  • $f(x) \leq k$,
  • $f(x) \geq k$,
  • $f'(x) \geq 0$,
  il suffit d'analyser la position de la courbe par rapport à la droite $y = k$ ou le signe de la pente.

e) Décomposition de fonctions rationnelles

• Pour une fonction rationnelle $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ avec $Q(x)$ de degré 1 :

  Trouver $a,b,c$ tels que :

  $$f(x) = a x + b + \frac{c}{Q(x)}$$

  Cette forme facilite la détermination des asymptotes (droite $y = a x + b$).

f) Étude de position relative entre une courbe et une droite

• Pour une droite $D : y = m x + p$ et une courbe $C$ d'équation $y = f(x)$ :
  • Étudier le signe de $f(x) - (m x + p)$ pour déterminer si $C$ est au-dessus ou en dessous de $D$.
  • Si $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - (m x + p)) = 0$, $D$ est une asymptote oblique.

g) Problèmes d'optimisation géométrique

• Maximisation d'aire ou de volume :
  • Exprimer l'aire ou le volume en fonction d'une variable.
  • Étudier la fonction obtenue (dérivée, variations).
  • Trouver la valeur qui maximise ou minimise la fonction.

h) Problèmes d'optimisation économique

• Coût total $C(q)$, coût moyen $C_M(q) = \frac{C(q)}{q}$.
• Étude des variations de $C_M$ pour trouver la quantité $q$ minimisant le coût moyen.
• Recette $R(q)$ et bénéfice $B(q) = R(q) - C(q)$.
• Rentabilité : $B(q) \geq 0$.
• Bénéfice maximal : trouver $q$ maximisant $B(q)$ via $B'(q) = 0$.

À retenir : L’étude complète d’une fonction passe par la détermination du domaine, des limites, des asymptotes, du signe de la dérivée, du tableau de variation, des tangentes, et l’analyse graphique pour résoudre des inéquations ou des problèmes d’optimisation.