Grandeurs Unités Dimensions 

1. Grandeurs et unités

a) Définitions essentielles

• Grandeur : propriété ou caractère d’un objet physique pouvant être reconnu avant mesure (ex : dureté, énergie cinétique, volume).
• Grandeur mesurable : grandeur pour laquelle on peut comparer et additionner des mesures (ex : taille, poids, vitesse).
• Grandeur repérable : grandeur sans processus de comparaison ou addition (ex : température, viscosité, pression).
• Unité : grandeur choisie comme référence pour mesurer une grandeur de même nature.
  On peut encadrer la grandeur $G$ par un nombre entier $n$ tel que :
  $n U_G \leq G < (n+1) U_G$
  La mesure exacte $r$ est un nombre réel tel que :
  $G = r U_G$
  avec $r = \frac{G}{U_G}$ (rapport de deux grandeurs de même nature).
• Changement d’unités :
  Le rapport des mesures est inverse au rapport des unités :
  $\frac{r}{r'} = \frac{U'_G}{U_G}$
  Une unité plus petite donne une mesure plus grande.

Le choix de l’unité est arbitraire mais doit être adapté au domaine d’emploi.

b) Le Système International (SI)

• Système cohérent d’unités, basé sur le système métrique décimal (base 10).
• Définit 7 unités fondamentales indépendantes avec leurs multiples et sous-multiples.

• Toutes les autres unités sont unités dérivées du SI.

2. Résumé visuel

À retenir : La mesure d’une grandeur est un nombre pur, rapport de la grandeur à son unité, et dépend du choix de l’unité. Le SI garantit cohérence et standardisation des mesures.

1. Définitions clés

• Nature d’une grandeur : Propriété propre traduite par sa formule en dimensions, permettant de distinguer ou associer des grandeurs.
  Exemple : masse et volume ont des natures différentes ; hauteur et diamètre sont deux longueurs (même nature).

• Équation aux dimensions : Formule exprimant la grandeur en fonction des dimensions fondamentales, utilisée pour déterminer l’unité d’une grandeur ou vérifier la cohérence d’une formule.

• Pour établir une équation aux dimensions, on exprime la grandeur à partir des grandeurs fondamentales (M, L, T, etc.).

• Contrôle de validité : Les deux membres d’une équation physique doivent avoir la même formule en dimensions.

• Certains exposants peuvent être nuls, excluant ainsi certaines grandeurs fondamentales de l’équation.

2. Grandeurs, unités et formules dimensionnelles essentielles

3. Multiples et sous-multiples

• Les unités fondamentales peuvent être multipliées ou divisées par des puissances de 10 via des préfixes (kilo-, milli-, micro-, etc.).
• Il n’est pas nécessaire de mémoriser tous les préfixes, mais connaître ceux courants est utile.

4. Utilisation de l’équation aux dimensions

1. Déterminer la dimension d’une grandeur à partir de sa relation avec les grandeurs fondamentales.
2. Vérifier la cohérence dimensionnelle d’une formule physique : les deux membres doivent avoir la même dimension.
3. Identifier les unités dérivées à partir des unités fondamentales.

5. Exemple d’application : induction magnétique $B$

• Relation : $f = q \cdot v \cdot B$
• Charge électrique $q = i \times t$ avec $i$ en ampères ($A$) et $t$ en secondes ($s$).
• Dimensions :
  • Force $f$ : $[M L T^{-2}]$
  • Courant $i$ : $[I]$
  • Temps $t$ : $[T]$
  • Vitesse $v$ : $[L T^{-1}]$

Calcul dimensionnel de $B$ :

$$[B] = \frac{[f]}{[q] \cdot [v]} = \frac{M L T^{-2}}{(I T) \cdot (L T^{-1})} = \frac{M L T^{-2}}{I L T^{0}} = M I^{-1} T^{-2}$$

• Dimension de $B$ : $[M I^{-1} T^{-2}]$
• Dimension de la charge magnétique hypothétique $g$ (avec $f = g \cdot B$) :

$$[g] = \frac{[f]}{[B]} = \frac{M L T^{-2}}{M I^{-1} T^{-2}} = I L$$

Donc l’unité de $g$ est ampère-mètre ($A \cdot m$).

À retenir : L’équation aux dimensions permet de vérifier la cohérence d’une formule physique en s’assurant que les deux membres ont la même dimension, et d’identifier les unités dérivées à partir des unités fondamentales.