Lois de Kepler

1. Énoncé

Chaque planète décrit une orbite elliptique dont le Soleil occupe l’un des deux foyers.

2. Détails

• L’ellipse est une courbe fermée caractérisée par deux foyers.
• Le Soleil n’est pas au centre, mais en un foyer.
• L’excentricité $e$ de l’ellipse mesure la déviation par rapport au cercle ($0 \leq e < 1$).
• Exemple : Terre a une excentricité faible ($e \approx 0,0167$), orbite presque circulaire.

3. Schéma

• Axe majeur : plus grand diamètre de l’ellipse.
• Axe mineur : plus petit diamètre.
• Soleil en foyer $F_1$.

1. Énoncé

Le segment reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux.

2. Interprétation

• La vitesse orbitale varie : plus rapide quand la planète est proche du Soleil (périhélie), plus lente quand elle est éloignée (aphélie).
• Conservation du moment cinétique.

3. Conséquence

• La planète accélère en s’approchant du Soleil et ralentit en s’en éloignant.

1. Énoncé

Le carré de la période de révolution $T$ d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe $a$ de son orbite elliptique :

$$T^2 \propto a^3$$

ou plus précisément,

$$\frac{T^2}{a^3} = \text{constante}$$

2. Détails

• $T$ en années, $a$ en unités astronomiques (UA) pour le système solaire.
• Cette constante est la même pour toutes les planètes du système solaire.
• Permet de relier la taille de l’orbite à la durée de révolution.

1. Relation entre période et demi-grand axe

Pour une planète de masse négligeable devant celle du Soleil :

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3$$

• $G$ : constante gravitationnelle.
• $M$ : masse du Soleil.

2. Utilisation

• Calcul des périodes orbitales.
• Prédiction des positions planétaires.
• Base pour la mécanique orbitale moderne.

1. Importance

• Première description précise des mouvements planétaires.
• Confirmation du modèle héliocentrique.
• Base de la mécanique céleste et de la loi de la gravitation universelle.

2. Limites

• Ne prend pas en compte les perturbations gravitationnelles d’autres corps.
• Orbites réelles légèrement modifiées par effets relativistes et interactions multiples.

À retenir : Les lois de Kepler décrivent les trajectoires elliptiques des planètes, leur vitesse variable selon la distance au Soleil, et la relation précise entre la période orbitale et la taille de l’orbite.