Radioactivité

1. Rappels et généralités

a) Unités et équations aux dimensions

• Système MKSA (après 1961) :

  Grandeur	Unité	Symbole
  Longueur	Mètre	m
  Masse	Kilogramme	kg
  Temps	Seconde	s
  Intensité électrique	Ampère	A
  Intensité lumineuse	Candela	Cd
  Quantité de matière	Mole	mol
  Température	Kelvin	K

• Système CGS (avant 1961) :

  Grandeur	Unité	Symbole
  Longueur	Centimètre	cm
  Masse	Gramme	g

• Conversions et rappels importants :

  • $1\,\text{Å} = 10^{-10}\,\text{m}$
  • $1\,\text{eV} = 1,6 \times 10^{-19}\,\text{J}$
  • L'énergie cinétique d'un électron soumis à une différence de potentiel $U$ est :
    $E_c = e \cdot U$
    avec $e$ la charge élémentaire en Coulombs, $U$ la ddp en Volts.

• Dimensions des grandeurs physiques :

  Grandeur	Dimension (en fonction de L, M, T)
  Vitesse	$L \cdot T^{-1}$
  Accélération	$L \cdot T^{-2}$
  Force (Newton)	$M \cdot L \cdot T^{-2}$
  Pression (Pa)	$M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}$
  Énergie (J)	$M \cdot L^{2} \cdot T^{-2}$

• Exemples de vérification d’unités :

  • $E = m c^2 = M \times (L \cdot T^{-1})^2 = M \cdot L^2 \cdot T^{-2}$
  • $PV = nRT = M \cdot L^{-1} \cdot T^{2} \times L^{3} = M \cdot L^{2} \cdot T^{-2}$

• Conversion d’énergie :
  $1\,\text{J} = 10^{7}\,\text{erg}$

2. Les rayonnements électromagnétiques

a) Théorie ondulatoire

• Les rayonnements électromagnétiques sont considérés comme des ondes caractérisées par :
  • Période $T$ (en secondes)
  • Fréquence $f = \frac{1}{T}$ (en Hz)

À retenir : L'énergie d'un photon est proportionnelle à sa fréquence, ce qui relie la nature ondulatoire à la nature corpusculaire des rayonnements.

1. Grandeurs caractéristiques des ondes électromagnétiques

2. Théorie corpusculaire (photons)

• Énergie d’un photon :
  $E = h \nu$
  avec $h = 6,6 \times 10^{-34}$ J.s (constante de Planck)

• En fonction de la longueur d’onde :
  $E = \frac{h c}{\lambda}$
  avec $c = 3 \times 10^8$ m/s

• Approximation pratique (avec $E$ en eV et $\lambda$ en nm) :
  $E = \frac{1240}{\lambda}$

3. Classification des rayonnements électromagnétiques ionisants

• Un rayonnement est ionisant si son énergie $E > 10$ eV (capable d’éjecter un électron).
• Énergie des rayonnements visibles : $1,5$ à $3$ eV.
• Classification selon l’énergie et la longueur d’onde (inversement proportionnelles) :

4. Grandeurs radiométriques

• Angle solide $\Omega$ :

  • Espace total : $4\pi$ sr
  • Demi-espace : $2\pi$ sr
  • Relation surface-angle solide :
    $S = \Omega R^2 \quad \Rightarrow \quad \Omega = \frac{S}{R^2}$
  • Intensité exprimée aussi par :
    $I = R^2 \times \mathcal{E}$

• Loi de l’inverse du carré de la distance :
  $\mathcal{E}_2 = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 \mathcal{E}_1$

5. Propriétés du noyau atomique

• Composé de nucléons :

  • Neutrons : charge $q=0$, masse $m=1,67 \times 10^{-27}$ kg = 1,0087 uma
  • Protons : charge $q=1,6 \times 10^{-19}$ C, masse $m=1,67 \times 10^{-27}$ kg = 1,0073 uma

• Composition en quarks :

  Particule	Quarks
  Neutron	2 quarks down (-1/3), 1 quark up (+2/3)
  Proton	1 quark up (+2/3), 2 quarks down (-1/3)

• Définitions :

  • $A$ = nombre de masse = nombre total de nucléons
  • $Z$ = nombre de charge = nombre de protons
  • $N = A - Z$ = nombre de neutrons

• Types d’éléments :

  Type	Caractéristique	Exemple
  Isotopes	Même $Z$, $A$ et $N$ différents	$^{11}_6$C, $^{12}_6$C
  Isobares	Même $A$, $Z$ et $N$ différents	$^{14}_6$C, $^{14}_7$N
  Isotones	Même $N$, $A$ et $Z$ différents	$^{13}_6$C, $^{14}_7$N

6. Propriétés des électrons

• Masse négligeable : $m_e = 0,9 \times 10^{-30}$ kg (2000 fois plus léger qu’un nucléon)

• Charge négative : $q = -1,6 \times 10^{-19}$ C

• Quantité de mouvement :

  • Classique : $p = m v$
  • Relativiste : $p = \gamma m_0 v$ avec
    $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
  • Masse relativiste :
    $m = \gamma m_0$

• Énergie totale relativiste :
  $E = m c^2 = m_0 c^2 + E_c$
  avec énergie cinétique $E_c = (m - m_0) c^2$

• Énergie au repos de l’électron :
  $E = m_0 c^2 = 0,511 \text{ MeV} = 511 \text{ keV}$

7. Longueur d’onde associée

• Pour un photon (onde) :
  $\lambda = \frac{h c}{E}$

• Pour une particule de masse non nulle (ex : électron) :
  $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$

• Pour un électron accéléré par une tension $U$ (en volts) :

  • Si $U \ll 10^6$ V :
    $\lambda = \frac{12,2}{\sqrt{U (1 + 0,98 \times 10^{-6} U)}} \quad \text{en \AA}$
  • Si $U \gg 10^6$ V :
    $\lambda = \frac{1,22}{\sqrt{U}} \quad \text{en \AA}$

8. Modèle planétaire de Rutherford

• Équilibre entre deux forces sur l’électron en orbite :

  1. Force d’attraction électrostatique (Coulomb) :
     $F_a = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Z e^2}{r^2}$
     En système CGS :
     $F_a = \frac{Z e^2}{r^2}$
  2. Force centrifuge :
     $F_c = m \frac{v^2}{r}$

• À l’équilibre :
  $F_a = F_c \quad \Rightarrow \quad \frac{Z e^2}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

• Énergie cinétique :
  $E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \frac{Z e^2}{r}$

• Énergie potentielle (travail pour passer de $r_1$ à $r_2$) :
  $E_p = Z e^2 \left(-\frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_1}\right)$

• Pour $r_1 = \infty$, $E_p = 0$ et énergie totale :
  $E_T = E_c + E_p = -\frac{1}{2} \frac{Z e^2}{r}$

• Exemple hydrogène ($Z=1$, $r=0,53$ Å) :
  $E_T = -13,6 \text{ eV}$

9. Modèle de Bohr

• Orbites stationnaires où l’électron reste indéfiniment.

• Condition de quantification :
  $2 \pi r = n \lambda \quad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*$

• En remplaçant $\lambda = \frac{h}{m v}$ :
  $v = \frac{n h}{2 \pi r m}$

• Rayon de l’orbite :
  $r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 Z e^2 m}$

• Énergie totale sur l’orbite $n$ :
  $E_n = -\frac{1}{2} \frac{Z e^2}{r_n} = -\frac{2 \pi^2 Z^2 e^4 m}{n^2 h^2}$

• Relations importantes :

  • $r_n = n^2 r_1$
  • $E_n = \frac{E_1}{n^2}$

• Niveaux d’énergie et couches électroniques :

  $n$	Couche électronique
  1	K
  2	L
  3	M

À retenir : L’énergie d’un photon est inversement proportionnelle à sa longueur d’onde, et un rayonnement est ionisant si son énergie dépasse 10 eV.

1. Nombres quantiques et structure électronique

• Nombres quantiques : décrivent l’état d’un électron (position, spin, énergie).

  • $n$ (principal) : $n \geq 1$, couche électronique (K, L, M, ...)
  • $l$ (azimutal) : $0 \leq l < n$, sous-couche (s=0, p=1, d=2, f=3)
  • $m$ (magnétique) : $-l \leq m \leq +l$, orientation orbitale
  • $s$ (spin) : $\pm \frac{1}{2}$

• Principe d’exclusion de Pauli : deux électrons dans un atome ne peuvent avoir le même jeu de 4 nombres quantiques.

• Règle de Klechkowski (ordre de remplissage des orbitales) :

  • Exemple : $1s^2\, 2s^2\, 2p^6\, 3s^2\, 3p^6\, 4s^2 \dots$
  • Saturation d’une couche : $2n^2$ électrons max.

2. Transitions électroniques

• Excitation : passage à un niveau d’énergie supérieur par absorption d’un photon.
• Désexcitation : retour à un niveau inférieur avec émission d’un photon d’énergie égale à la différence des niveaux.
• Ionisation : perte d’un électron lorsque l’énergie reçue dépasse l’énergie de liaison à l’atome.

Énergies des niveaux de l’atome d’hydrogène (en eV) :
$E_1 = -13,6, \quad E_2 = -3,4, \quad E_3 = -1,5$

Relation énergie-photon :
$h\nu = E_2 - E_1 = \left(\frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2}\right) E_1$

• Séries de transitions (hydrogène) :
  • Lyman : $n \to 1$ (UV)
  • Balmer : $n \to 2$ (visible)
  • Paschen : $n \to 3$ (IR)
  • Brackett : $n > 3$

3. Radioactivité

a) Historique

• Découverte par Becquerel (1896), Curie (1898)
• Types de rayonnements : $\alpha$, $\beta$, $\gamma$
• Radioactivité artificielle découverte en 1934 (Joliot-Curie)
• Accidents majeurs : Hiroshima (1945), Tchernobyl (1986), Fukushima (2011)

b) Stabilité des noyaux

• Vallée de stabilité : équilibre neutron/proton optimal pour la stabilité nucléaire.

• Noyaux instables cherchent à se rapprocher de cette vallée par fission (noyaux lourds) ou fusion (noyaux légers).

• Défaut de masse :
  $\Delta m = (Z m_p + N m_n) - m_{\text{noyau}}$
  avec $m_p$, $m_n$ masses proton et neutron.

• Énergie de cohésion :
  $E = \Delta m \cdot c^2$
  Plus $E$ est élevé, plus le noyau est stable.

• Courbe d’Aston : stabilité maximale autour du fer-56.

  • Noyaux à gauche tendent à fusionner.
  • Noyaux à droite tendent à se fissionner.

4. Types de radioactivité

5. Conservation dans les désintégrations radioactives

• Conservation du nombre de masse $A$
• Conservation du nombre de charge $Z$
• Conservation de l’énergie
• Conservation de la quantité de mouvement

6. Énergie et vitesse des particules $\alpha$

• Énergie libérée :
  $E = (m_X - m_Y - m_\alpha) c^2$

• Conservation de la quantité de mouvement (noyau initial au repos) :
  $M_X v_X = 0 = M_Y v_Y + m_\alpha v_\alpha$
  $\Rightarrow \frac{v_\alpha}{v_Y} = \frac{m_Y}{m_\alpha}$

• Transfert linéique d’énergie (TEL) : énergie transférée par unité de longueur parcourue
  $TEL = \frac{E}{d} \approx 150 \text{ keV}/\mu m$

À retenir : La stabilité nucléaire dépend du rapport neutron/proton et de l’énergie de cohésion ; la radioactivité est un phénomène naturel de retour à la stabilité par émission de particules ou rayonnements.

1. Désintégration β⁺ (Bêta plus)

• La désintégration β⁺ émet un positon et un neutrino, partageant l'énergie, ce qui explique un spectre continu.
• Le parcours du positon est court dans la matière.
• Condition obligatoire pour que la désintégration β⁺ ait lieu :
  $(m_x - m_y) \cdot c^2 > 1,022 \text{ MeV}$
  où $m_x$ et $m_y$ sont les masses des noyaux père et fils.
• Réaction d’annihilation : positon + électron → 2 photons de 511 keV émis à 180° l’un de l’autre.
  Utilisée en imagerie médicale (TEP).

2. Capture électronique (CE)

• Un proton capture un électron d’une couche proche → se transforme en neutron → baisse du numéro atomique $Z$.
• Effet similaire à la désintégration β⁺.
• Après capture, un trou électronique est créé, comblé par un électron plus périphérique avec émission de :
  • Photon de fluorescence
  • Électron Auger

3. Parcours des particules dans la matière

4. Désexcitation électronique

a) Émission d’un électron Auger

• Lors d’un réarrangement électronique, l’énergie libérée est transférée à un électron qui est éjecté (électron Auger, noté $e_{LMN}$).
• Énergie cinétique :
  $E_c = |E_L| - |E_M| - |E_N|$
  avec $L$ la couche initiale ionisée, $M$ la couche comblant le trou, $N$ la couche d’origine de l’électron éjecté.
• Condition : $|E_L| - |E_M| > |E_N|$.

b) Émission par fluorescence X

• Un électron d’une couche externe comble un trou dans une couche interne → émission d’un photon de fluorescence X.
• L’énergie du photon correspond à la différence entre les niveaux énergétiques :
  $h\nu = |E_K| - |E_L|$
• Effet Auger prédomine pour $Z < 30$, fluorescence pour $Z > 30$.

5. Désexcitation nucléaire

• Modifications de la structure énergétique du noyau → émission de rayonnement $\gamma$ ou d’électron de conversion interne.
• Environ 60% d’émission $\gamma$, 40% conversion interne.
• Deux types :
  • Spontanée : retour direct à l’état fondamental.
  • Indirecte : passage par un état métastable (ex : $^{99m}$Tc).
• Exemple médical : $^{99}$Mo → $^{99m}$Tc + $\beta^-$ + neutrino.
  Le $^{99m}$Tc est utilisé en imagerie grâce à son rayonnement $\gamma$ détectable.

a) Électron de conversion interne

• L’énergie de désexcitation est transférée directement à un électron (souvent de la couche K) qui est éjecté.
• Énergie cinétique :
  $E_c = (E_{\text{excité}} - E_{\text{fondamental}}) - |E_{\text{liaison}}|$
• Le trou créé est comblé par un réarrangement électronique avec émission de rayons X de fluorescence.

b) Rayonnement $\gamma$

• Onde électromagnétique de haute énergie, sans émission de particule.
• Énergie :
  $E = h\nu = E_1 - E_0$
  avec $E_1$ état excité, $E_0$ état fondamental.
• Très pénétrant, non dévié par champs électriques ou magnétiques.
• Provient de la désexcitation nucléaire, distinct des rayons X de fluorescence électronique.

6. Schéma de désintégration radioactive

• Processus nucléaire spontané et aléatoire où un noyau instable se transforme en noyau plus stable en libérant énergie et particules/photons.
• Types de désintégrations :

7. Cinétique des transformations radioactives

a) Constante de désintégration $\lambda$

• Probabilité qu’un noyau se désintègre par unité de temps, propre à chaque noyau.
• Activité radioactive :
  $R = \lambda N$
  où $N$ est le nombre de noyaux.
• Unité : Becquerel (Bq) = 1 désintégration/seconde.

b) Loi de décroissance radioactive

• Nombre de noyaux radioactifs décroît exponentiellement :
  $\frac{dN}{dt} = -\lambda N \Rightarrow N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
  $R(t) = R_0 e^{-\lambda t}$

c) Activité

• Nombre de désintégrations par seconde, unité Becquerel (Bq).
• Unité historique : Curie (Ci) avec
  $1 \text{ Ci} = 3.7 \times 10^{10} \text{ Bq}$

d) Demi-vie / Période radioactive $T$

• Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux initiaux se désintègrent :
  $N(T) = \frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T} \Rightarrow T = \frac{\ln 2}{\lambda}$
• Relation inverse :
  $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$
• Après $n$ périodes :
  $N = \frac{N_0}{2^n}$
• Vie moyenne :
  $T_m = \frac{1}{\lambda} = \frac{T}{\ln 2} \approx 1,44 \times T$

La radioactivité est un phénomène aléatoire caractérisé par une décroissance exponentielle du nombre de noyaux instables, régie par la constante de désintégration $\lambda$ et la demi-vie $T$.

1. Proportionnalité radioactive et masse

• Nombre d’Avogadro : $N_A = 6,02 \times 10^{23}$ atomes/mol associé à une masse molaire $M$ (g).
• Pour $N$ atomes, la masse est :
  $m = \frac{N \times M}{N_A}$
• L’activité radioactive $R$ (en Bq) est liée au nombre d’atomes par :
  $R = \lambda N$
  où $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ est la constante radioactive, $T$ la demi-vie.
• Masse en fonction de l’activité :
  $m = \frac{R T M}{\ln 2 \times N_A}$

2. Unités d’activité

À retenir : 1 Ci = 37 GBq = $3,7 \times 10^{10}$ Bq.

3. Évolution temporelle de l’activité et du nombre de noyaux

• Loi de décroissance exponentielle :
  $N = N_0 e^{-\lambda t}$
  $R = R_0 e^{-\lambda t}$
  avec $R = \lambda N$.
• La décroissance est monoexponentielle.
• Demi-vie $T$ liée à $\lambda$ par :
  $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$

4. Représentation graphique

• Utilisation du papier semi-logarithmique :
  • Abscisse en échelle linéaire (temps $t$).
  • Ordonnée en échelle logarithmique (activité $R$).
• Avantages :
  • La décroissance exponentielle apparaît comme une droite.
  • Permet de tracer facilement des données couvrant plusieurs ordres de grandeur.

5. Filiation radioactive (chaîne de désintégration)

Considérons la chaîne :
$X_1^* \xrightarrow{\lambda_1} X_2^* \xrightarrow{\lambda_2} X_3$
avec $X_3$ stable.

• Équations différentielles :
  $\frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1$
  $\Rightarrow N_1 = N_{1,0} e^{-\lambda_1 t}$

• Nombre d’atomes fils $N_2$ :
  $N_2 = \frac{\lambda_1 N_{1,0}}{\lambda_2 - \lambda_1} \left(e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}\right)$

• Activité du fils :
  $R_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\lambda_2 R_{1,0}}{\lambda_2 - \lambda_1} \left(e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}\right)$

6. Équilibre instantané

• Se produit au temps $t$ tel que :
  $R_1 = R_2 \iff \lambda_1 N_1 = \lambda_2 N_2$
• Temps d’équilibre :
  $t = \frac{\ln \lambda_1 - \ln \lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$

7. Équilibre séculaire

• Condition :
  $T_1 \gg T_2$
  (période du père beaucoup plus grande que celle du fils)
• Dans ce cas, l’activité du fils tend à égaler celle du père :
  $R_2 \approx R_1$
• La quantité de fils reste quasi constante car la production compense la désintégration.
• Exemple médical : générateur $^{99}$Mo ($T=66h$) / $^{98m}$Tc ($T=6h$)
  • Après élution, l’activité du $^{98m}$Tc se reconstitue en 24h.

À retenir :

• La décroissance radioactive suit une loi exponentielle avec constante $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$.
• En chaîne radioactive, l’équilibre séculaire implique que l’activité du fils égale celle du père si $T_{\text{père}} \gg T_{\text{fils}}$.

8. Résumé des formules clés

9. Notions complémentaires

• Curie (Ci) : unité historique d’activité, 1 Ci = $3,7 \times 10^{10}$ Bq.
• Demi-vie (T) : temps nécessaire pour que la moitié des noyaux se désintègrent.
• Papier semi-logarithmique : outil graphique pour linéariser les décroissances exponentielles.
• Filiation radioactive : succession de désintégrations avec équilibre instantané ou séculaire selon les demi-vies relatives.

Exemple d’application :
Pour 1 g de $^{226}$Ra (T=1600 ans), l’activité est $3,7 \times 10^{10}$ Bq = 1 Ci.
La décroissance de l’activité suit $R = R_0 e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = \frac{\ln 2}{1600 \times 365 \times 24 \times 3600}$.