Statistiques de 1ère Année Collège

1. Vocabulaire de statistiques

• Population statistique : ensemble des éléments étudiés dans une enquête ou une expérience.
• Individu : un élément appartenant à la population statistique.
• Caractère (ou variable statistique) : propriété ou attribut que l'on observe ou mesure sur chaque individu.
• Modalités d’un caractère : les différentes valeurs que peut prendre ce caractère.

a) Exemple

Pour 20 élèves, on a relevé leur mois de naissance (exprimé en nombre) :
5, 5, 6, 1, 11, 4, 3, 7, 6, 10, 1, 6, 11, 2, 7, 7

• Population statistique : les 20 élèves.
• Individu : chaque élève.
• Caractère étudié : le mois de naissance.
• Modalités : les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11 (mois possibles).

À retenir : La population est l'ensemble étudié, un individu en fait partie, le caractère est ce qu'on mesure, et les modalités sont les différentes valeurs possibles de ce caractère.

1. Population, caractère et données

• Population étudiée : ensemble des individus observés (exemple : 20 élèves d'une classe).
• Caractère étudié : propriété observée sur chaque individu (exemple : mois de naissance).
• Données du caractère : valeurs observées pour chaque individu (exemple : 20 numéros de mois).
• Valeurs du caractère : ensemble des différentes valeurs possibles (exemple : 1, 2, 3, ..., 12).

2. Effectifs et fréquences

3. Exemple d’application

Données :
$10; 12; 12; 10; 16; 8; 9; 8; 9; 10; 8; 10; 8; 10; 16; 12; 10; 12; 12; 16$

• Effectif de la note 10 : $n_{10} = 6$
• Effectif total : $N = 20$ (nombre total d’élèves)
• Fréquence de la note 10 :
  $f_{10} = \frac{6}{20} = 0,3$

4. Organisation des données : tableau d’effectifs et de fréquences

5. Représentation graphique

• Diagramme en bâtons : utilisé pour représenter les effectifs ou fréquences lorsque le caractère est quantitatif discret (exemple : notes).
• Chaque bâton correspond à une valeur du caractère, sa hauteur est proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence.

À retenir : La fréquence d’une donnée est toujours comprise entre 0 et 1, et la somme des fréquences est égale à 1.

1. Diagramme en bâtons

• Représente les effectifs de chaque valeur d’un caractère.
• Axe des abscisses : les différentes valeurs (ex. chiffres).
• Axe des ordonnées : les effectifs correspondants.
• Chaque valeur est associée à une barre verticale dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif.

2. Diagramme en tuyau d’orgue

• Utilisé quand le caractère étudié ne représente pas des valeurs numériques (ex. choix de couleurs).
• Chaque catégorie est représentée par une barre verticale.
• La hauteur de chaque barre correspond à l’effectif de la catégorie.

3. Diagramme circulaire

• Représente les effectifs par des parties de disque (secteurs).
• L’angle de chaque secteur est proportionnel à l’effectif de la valeur.
• Pour calculer les angles, on utilise un tableau de proportionnalité avec la règle :
  $\text{Angle} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}} \times 360^\circ$

4. Répartition en classes

• Quand il y a trop de valeurs différentes, on regroupe les données en classes (intervalles).
• Exemple : âges des professeurs regroupés par tranches d’âge.

5. Histogramme

• Représente la répartition des effectifs par classes.
• Axe des abscisses : les classes (intervalles).
• Axe des ordonnées : les effectifs ou fréquences.
• Chaque classe est représentée par un rectangle dont la largeur correspond à la classe et la hauteur à l’effectif.
• Permet de visualiser la distribution des données groupées.

À retenir :
Le diagramme en bâtons sert pour des valeurs discrètes, le diagramme circulaire pour visualiser les proportions, et l’histogramme pour des données regroupées en classes.

1. Répartition en classes

a) Classes et amplitude

• Une classe regroupe des valeurs du caractère étudié dans un intervalle.
• L’amplitude d’une classe est la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure.
• Quand toutes les classes ont la même amplitude, les intervalles sont égaux (exemple : 5 ans).

b) Représentation graphique par histogramme

• Chaque classe est représentée par un rectangle.
• La largeur des rectangles est égale à l’amplitude de la classe.
• La hauteur du rectangle est proportionnelle à l’effectif de la classe.
• Si toutes les classes ont la même amplitude, les rectangles ont la même largeur, et leur hauteur correspond directement à l’effectif.

c) Représentation par diagramme circulaire

• Chaque classe est représentée par une part de disque (secteur circulaire).
• L’angle de chaque secteur est proportionnel à l’effectif de la classe.
• Pour calculer les angles, on utilise un tableau de proportionnalité :
  $\text{Angle de la classe} = \frac{\text{Effectif de la classe}}{\text{Effectif total}} \times 360^\circ$

2. Exemple d’exercice type

1. Population étudiée : ensemble des joueurs de l’équipe de football.
2. Caractère étudié : nombre de buts marqués par chaque joueur lors d’un match.
3. Valeurs différentes du caractère : nombre de buts possibles (exemple : 0, 1, 2, 3, 4, 5).
4. Tableau des effectifs et fréquences :

   Nombre de buts	Effectif	Fréquence (%)
   0	...	...
   1	...	...
   2	...	...
   3	...	...
   4	...	...
   5	...	...

5. Diagramme en bâtons :
   • Axe horizontal : valeurs du caractère (nombre de buts).
   • Axe vertical : effectifs.
   • Chaque valeur est représentée par une barre verticale dont la hauteur correspond à l’effectif.

À retenir : La répartition en classes permet de regrouper les données en intervalles pour mieux visualiser et analyser la distribution d’un caractère. Les représentations graphiques (histogramme, diagramme circulaire) traduisent visuellement ces répartitions.

1. Exercices de Statistiques

a) Exercice 1 : Analyse d'une série statistique

1. Population étudiée : Tous les élèves ayant passé l'examen.
2. Caractère étudié : La note obtenue à l'examen (sur 20).
3. Effectif total : Somme des effectifs = $1+2+1+2+4+5+4+3+2+1 = 25$.
4. Pourcentages : Calculer le pourcentage de chaque effectif par rapport à l'effectif total.

5. Diagramme en bâtons : Représenter chaque note sur l'axe horizontal et son effectif sur l'axe vertical.

b) Exercice 2 : Compléter une série statistique

1. Effectif total : $40$.
2. Calcul de l'effectif manquant : $5 + 15 + 5 + 3 + x + 4 = 40 \Rightarrow x = 40 - 32 = 8$.
3. Effectif relatif à la valeur 10 : $\frac{8}{40} = 0,2$ soit 20 %.
4. Tableau avec pourcentages :

5. Diagrammes :

• Bâtons : Valeurs en abscisse, effectifs en ordonnée.
• Circulaire : Chaque secteur proportionnel au pourcentage.

c) Exercice 3 : Analyse d'un histogramme

1. Classe avec le plus grand effectif : Classe correspondant à la plus haute barre.
2. Classe avec le plus petit effectif : Classe correspondant à la plus basse barre.

3. Effectif total : Somme des effectifs des classes.
4. Pourcentage des valeurs strictement inférieures à 8 :
   Calculer la somme des effectifs des classes dont les valeurs sont < 8, puis diviser par l'effectif total et multiplier par 100.

À retenir :

• L’effectif total est la somme de tous les effectifs.
• Le pourcentage d’une valeur = $\frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}} \times 100$.
• Un diagramme en bâtons représente les effectifs par des barres verticales.
• Un diagramme circulaire représente les pourcentages par des secteurs proportionnels.