Statistiques et Inférence

1. Symboles de la moyenne et de l’écart-type

• Population : moyenne $μ$, écart-type $σ$ (paramètres connus ou estimés).
• Échantillon : moyenne $\bar{x}$, écart-type $s$ (statistiques calculées sur l’échantillon).

À retenir : utiliser $μ$ et $σ$ pour la population, $\bar{x}$ et $s$ pour un échantillon.

2. Les quatre étapes de l’inférence statistique

L’inférence statistique permet d’estimer les caractéristiques d’une population à partir d’un échantillon, en validant ou infirmant une hypothèse.

1. Énonciation de l’objectif de recherche ou hypothèse théorique
   Formulation d’une hypothèse à partir d’une observation ou d’un questionnement.

2. Choix du test statistique
   Sélection du test adapté en fonction des données et des conditions d’application.

3. Formulation des hypothèses

   • Hypothèse nulle ($H_0$) : absence d’effet ou de différence.
   • Hypothèse alternative ($H_1$) : présence d’un effet ou d’une différence.

4. Calcul de la p-valeur et décision
   Rejet ou non de $H_0$ selon la p-valeur obtenue.

3. Exemple d’énonciation d’objectif de recherche

• Observation : certains patients atteints de trouble général d’anxiété (TGA) s’améliorent en racontant leur histoire de façon articulée.
• Question : « Le récit articulé joue-t-il un rôle thérapeutique dans la gestion de l’anxiété ? »
• Hypothèse théorique : « Un atelier d’écriture créative améliore les symptômes des patients atteints de TGA. »

4. Choix du test statistique

Trois grandes catégories de tests :

5. Tests paramétriques : conditions de validité

• Condition de normalité : la distribution d’échantillonnage doit être approximativement normale.
• Homoscédasticité : égalité des variances entre groupes comparés (pour tests sur moyennes indépendantes).

À retenir : le respect de ces conditions garantit la fiabilité des tests paramétriques. Sinon, préférer les tests non paramétriques.

Point clé :
L’inférence statistique repose sur la formulation claire d’hypothèses, le choix adapté du test statistique et l’interprétation rigoureuse de la p-valeur pour valider ou infirmer une hypothèse.

1. Étape 1 : Choix du test statistique

• Tests paramétriques : supposent une distribution spécifique (ex. loi normale), plus puissants mais nécessitent des conditions (normalité, homogénéité des variances).
• Tests non paramétriques : ne font aucune hypothèse sur la distribution, basés sur les propriétés numériques des échantillons, plus robustes mais moins puissants.
• Test du chi-carré : spécifique aux variables catégorielles.

2. Étape 2 : Formulation des hypothèses

• Hypothèse nulle (H0) : postule l'absence d'effet ou d'association (égalité ou absence de différence).
• Hypothèse alternative (H1) : ce que le chercheur souhaite démontrer (différence ou effet).
• Le test est réalisé en supposant H0 vraie.
• Objectif : décider de rejeter ou ne pas rejeter H0.

Ne pas rejeter H0 ne signifie pas qu'elle est vraie, mais qu'il n'y a pas suffisamment de preuves pour la rejeter.

3. Étape 3 : Interprétation du test

• Le résultat conduit à rejeter ou ne pas rejeter H0.
• Jamais d'acceptation formelle de H0.
• Le rejet de H0 suggère que H1 est plausible.
• Il existe toujours une probabilité d'erreur (faux positif ou faux négatif).
• Les conclusions sont probabilistes, jamais certaines.

4. Étape 4 : Caractéristiques fondamentales des hypothèses

1. Les hypothèses concernent les populations, jamais les échantillons.
2. H0 est toujours l'opposé de H1.
3. H0 inclut une notion d'égalité ou d'absence d'effet significatif (parfois une différence selon le test).

5. Exemple de formulation d'hypothèses

Un psychologue étudie la mémoire autobiographique chez les adolescents avec trouble d’anxiété.

• H0 : La capacité en mémoire autobiographique des adolescents anxieux est inférieure ou égale à celle des adolescents sains.
• H1 : La capacité en mémoire autobiographique des adolescents anxieux est supérieure à celle des adolescents sains.

1. Hypothèses unilatérales vs bilatérales

Les hypothèses de recherche peuvent être formulées de deux manières selon la nature de l'effet attendu : unilatérale ou bilatérale. La distinction se fait en examinant l'hypothèse alternative (H1).

2. Exemple d'application

• Hypothèse unilatérale :
  H1 postule que la capacité en mémoire autobiographique est plus grande chez les adolescents avec trouble d’anxiété.

• Hypothèse bilatérale possible :

  • H0 : capacité égale dans les deux populations
  • H1 : capacité différente (plus grande ou plus petite) chez les adolescents avec trouble d’anxiété.

3. Choix entre hypothèse unilatérale et bilatérale

• Hypothèse unilatérale :
  Justifiée uniquement si le chercheur dispose d’éléments solides (études antérieures, observations, cadre théorique) anticipant une augmentation ou une diminution précise.

• Hypothèse bilatérale :
  Plus rigoureuse et recommandée en l’absence de preuves solides, car elle adopte une posture neutre sans présupposer la direction de l’effet.

À retenir : Utiliser une hypothèse bilatérale sauf si des preuves scientifiques solides justifient un effet dans une direction spécifique.

4. Illustration par un exemple concret

Un psychologue teste l’effet d’une nouvelle thérapie corporelle sur l’estime de soi des patients dépressifs.

• Hypothèse unilatérale possible :

  • H0 : la thérapie diminue ou ne modifie pas l’estime de soi
  • H1 : la thérapie augmente l’estime de soi

• Attention :

  • Si l’estime de soi diminue significativement, ce résultat inattendu doit pouvoir être détecté.
  • Une hypothèse unilatérale ne doit pas empêcher la détection d’un effet dans l’autre sens.

5. Synthèse

1. Hypothèse unilatérale vs bilatérale

• Hypothèse unilatérale : teste un effet dans une seule direction.

  • Risque de biais car elle ignore l’effet possible dans l’autre sens.
  • Peut ne pas détecter une diminution si on teste uniquement une augmentation.

• Hypothèse bilatérale : teste un effet dans les deux directions.

  • Plus prudente et complète.
  • Permet de détecter une augmentation ou une diminution.

N’utiliser une hypothèse unilatérale seulement si des preuves solides justifient un effet dans une seule direction.

2. Décision à partir de la p-valeur

• La p-valeur est la probabilité d’obtenir les données observées si l’hypothèse nulle $H_0$ est vraie.

• Interprétation :

  • p-valeur élevée → données compatibles avec $H_0$ → ne pas rejeter $H_0$
  • p-valeur faible → données peu compatibles avec $H_0$ → rejeter $H_0$

• Seuils classiques de décision :

  Seuil (niveau de signification)	Décision
  $p \leq 0,05$	Rejeter $H_0$ (significatif)
  $p \leq 0,02$ ou $p \leq 0,01$	Rejet plus strict (très significatif)

• Par défaut, utiliser le seuil $0,05$ sauf indication contraire.

3. Rapport des résultats (normes APA)

• Indiquer :

  • la valeur du test
  • la p-valeur exacte
  • la décision : RH0 (rejeter $H_0$) ou NRH0 (ne pas rejeter $H_0$)

• Exemple de rapport :

  • Test $t(28) = 2,15$ ; $p = 0,04$ ; RH0
  • Plus la p-valeur est faible, plus le rejet est significatif (ex. $p=0,001$ → très significatif).

Donner la p-valeur précise permet d’évaluer le degré de confiance dans le rejet de $H_0$.

4. Distribution d’échantillonnage

• C’est la distribution des valeurs d’une statistique (ex. moyenne) obtenues à partir de nombreux échantillons d’une même population.
• Permet de prévoir les valeurs possibles d’une statistique sous l’hypothèse nulle.
• Dans ce cours, on se concentre sur la distribution d’échantillonnage de la moyenne (DEM), car la majorité des tests portent sur la moyenne.

La distribution d’échantillonnage est la base de l’inférence statistique.

1. Formulation des hypothèses nulle et alternative

En inférence statistique, la formulation des hypothèses est la première étape cruciale pour tester une affirmation sur un paramètre de population.

2. Hypothèse nulle ($H_0$)

• Définition : L'hypothèse nulle représente l'affirmation de base ou le statut quo que l'on cherche à tester.
• Elle exprime généralement l'absence d'effet ou l'égalité d'un paramètre à une valeur donnée.
• Exemple : $H_0 : \mu = \mu_0$ (la moyenne de la population est égale à une valeur $\mu_0$).

3. Hypothèse alternative ($H_1$ ou $H_a$)

• Définition : L'hypothèse alternative est la conclusion que l'on souhaite démontrer si les données fournissent suffisamment de preuves contre $H_0$.
• Elle exprime une différence, un effet ou un changement par rapport à $H_0$.
• Elle peut être formulée de trois façons selon la nature du test :

4. Règles clés

• $H_0$ est toujours formulée avec un signe d'égalité ($=$, $\leq$, $\geq$).
• $H_1$ contient l'inégalité stricte ($\neq$, $>$, $<$).
• Le test statistique vise à rejeter $H_0$ en faveur de $H_1$ si les données sont suffisamment incompatibles avec $H_0$.
• On ne prouve jamais $H_0$, on ne fait que ne pas le rejeter.

À retenir : La formulation correcte de $H_0$ et $H_1$ est essentielle car elle détermine la nature du test statistique et l'interprétation des résultats.

1. Hypothèses unilatérales et bilatérales

Les tests d’hypothèses permettent de vérifier une affirmation sur une population à partir d’un échantillon. Selon la nature de l’hypothèse alternative, on distingue deux types principaux :

2. Formulation des hypothèses

• Hypothèse nulle ($H_0$) : généralement, on suppose l'absence d'effet ou d'écart, par exemple $H_0 : \mu = \mu_0$.
• Hypothèse alternative ($H_1$) : elle exprime la différence attendue, soit bilatérale ($\neq$) soit unilatérale ($>$ ou $<$).

3. Choix entre hypothèse unilatérale et bilatérale

4. Représentation graphique

• Hypothèse bilatérale : la zone de rejet est répartie aux deux extrémités de la distribution de la statistique de test.
• Hypothèse unilatérale : la zone de rejet est concentrée à une extrémité (droite ou gauche) selon l’hypothèse.

5. Exemple de formulation

• Bilatérale :

  $$\begin{cases} H_0 : \mu = \mu_0 \\ H_1 : \mu \neq \mu_0 \end{cases}$$

• Unilatérale (supérieure) :

  $$\begin{cases} H_0 : \mu \leq \mu_0 \\ H_1 : \mu > \mu_0 \end{cases}$$

• Unilatérale (inférieure) :

  $$\begin{cases} H_0 : \mu \geq \mu_0 \\ H_1 : \mu < \mu_0 \end{cases}$$

6. Rappel important

Le choix entre hypothèse unilatérale et bilatérale doit être fait avant l’analyse et justifié par la question de recherche.

7. Conséquences sur le calcul de la p-valeur

• Bilatérale : p-valeur = $2 \times$ probabilité d’obtenir une statistique aussi extrême que celle observée dans une des deux directions.
• Unilatérale : p-valeur = probabilité d’obtenir une statistique aussi extrême que celle observée dans la direction spécifiée.

8. Synthèse

Cette distinction est fondamentale pour l’interprétation correcte des résultats des tests statistiques paramétriques.

1. Étapes d’un test paramétrique

1. Énoncer l’objectif de recherche ou l’hypothèse théorique.
2. Choisir le test et vérifier ses conditions d’application.
3. Formuler les hypothèses : nulle ($H_0$) et alternative ($H_1$).
4. Déterminer la distribution d’échantillonnage appropriée.
5. Calculer la p-valeur et décider de rejeter ou non $H_0$.

2. Exemple : comparaison de deux moyennes (population connue)

• Population générale :
  • Distribution normale
  • Moyenne $\mu = 10$
  • Écart-type $\sigma = 2$
• Échantillon de 15 personnes surdouées avec scores :
  9, 10, 8, 12, 13, 11, 11, 14, 12, 11, 12, 15, 12, 10, 7

3. Formulation des hypothèses (test bilatéral)

4. Distribution d’échantillonnage des moyennes (DEM)

• Moyenne de la DEM :
  $\mu_{\bar{X}} = \mu = 10$
• Écart-type de la DEM (erreur standard) :
  $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{15}} \approx 0,52$
• Forme de la DEM : normale (car population normale).

5. Zones de rejet et de non-rejet de $H_0$

• Zone de non-rejet : valeurs fréquentes/probables de la moyenne sous $H_0$.
• Zone de rejet : valeurs très peu fréquentes/improbables sous $H_0$.
• Niveau de signification : $\alpha = 5\%$ au total.
• Pour un test bilatéral :
  • $2,5\%$ dans la queue gauche
  • $2,5\%$ dans la queue droite
• Zone centrale de non-rejet : $95\%$ de la distribution.

6. Calcul des seuils de rejet avec la distribution $z$

• Seuils critiques pour $\alpha = 5\%$ bilatéral :
  $z_{\alpha/2} = z_{0,025} = \pm 1,96$
• Seuils en termes de moyenne :
  $\mu \pm z_{\alpha/2} \times \sigma_{\bar{X}} = 10 \pm 1,96 \times 0,52 = [9,0 ; 11,0]$
• Interprétation :
  • Si la moyenne échantillonnale $\bar{x}$ est dans $[9,0 ; 11,0]$, on ne rejette pas $H_0$.
  • Sinon, on rejette $H_0$.

7. Calcul de la p-valeur et décision

• p-valeur : probabilité, sous $H_0$, d’observer une statistique aussi extrême ou plus que celle obtenue.
• Décision :
  • Si p-valeur $\leq \alpha$, rejeter $H_0$.
  • Sinon, ne pas rejeter $H_0$.

La p-valeur mesure la compatibilité des données avec $H_0$ : plus elle est faible, plus $H_0$ est improbable.

1. Distribution d'échantillonnage de la moyenne (DEM)

La distribution d’échantillonnage de la moyenne (DEM) décrit la distribution des moyennes d’échantillons tirés d’une population.

2. Paramètres de la DEM

• Moyenne : $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (moyenne de la population)
• Écart-type : $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (écart-type de la population divisé par la racine carrée de la taille de l’échantillon)

3. Standardisation et distribution normale

• La DEM suit une distribution normale si la population est normale ou si $n$ est suffisamment grand (Théorème central limite).
• La variable standardisée est : $$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$

4. Zones de rejet pour un test bilatéral à 5 % de risque

5. Exemple de calcul des seuils

• $\mu = 10$, $\sigma_{\bar{x}} = 0,52$
• Seuil inférieur : $$\bar{x}_{\text{inf}} = 10 + (-1,96) \times 0,52 = 8,98$$
• Seuil supérieur : $$\bar{x}_{\text{sup}} = 10 + 1,96 \times 0,52 = 11,02$$

6. Interprétation de la zone de rejet

• Zone de non-rejet : $\bar{x} \in [8,98; 11,02]$ → on ne rejette pas $H_0$.
• Zone de rejet : $\bar{x} < 8,98$ ou $\bar{x} > 11,02$ → on rejette $H_0$.

7. Décision statistique selon la moyenne observée

1. Moyenne dans la zone de non-rejet

   • Pas de preuve suffisante pour rejeter $H_0$
   • Moyenne compatible avec la population générale

2. Moyenne dans la zone de rejet

   • Rejet de $H_0$
   • Moyenne peu probable sous la DEM de la population générale
   • Suggère une différence significative (hypothèse alternative $H_1$)

8. Exemple d’application

• Moyenne observée : $\bar{x} = 11,13$
• Calcul de la valeur $z$ : $$z = \frac{11,13 - 10}{0,52} = 2,17$$
• $z = 2,17 > 1,96$ → $\bar{x}$ dans la zone de rejet → rejet de $H_0$

9. Hypothèses du test

• $H_0 : \mu_{\text{surdoués}} = 10$
• $H_1 : \mu_{\text{surdoués}} \neq 10$

10. Interprétation du rejet de $H_0$

• Moyenne observée peu probable sous la DEM de la population générale
• Probable que la moyenne des surdoués appartienne à une autre DEM avec une moyenne différente
• Les deux populations ont des moyennes différentes

À retenir : La distribution d’échantillonnage de la moyenne permet de déterminer si une moyenne observée est compatible avec une hypothèse sur la moyenne de la population, en utilisant la normalisation et les seuils critiques issus de la loi normale standard.

1. Théorème central-limite (TCL)

• Le TCL affirme que, pour un échantillon de taille suffisante, la distribution de la moyenne d’échantillon $\bar{X}$ est approximativement normale, même si la population d’origine n’est pas normale.
• Cette approximation est meilleure lorsque la taille de l’échantillon $n$ est grande (souvent $n \geq 30$).
• La moyenne de $\bar{X}$ est égale à la moyenne de la population $\mu$.
• L’écart-type de $\bar{X}$, appelé erreur standard, est $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ où $\sigma$ est l’écart-type de la population.

2. Caractéristiques de la distribution empirique des moyennes (DEM)

3. Calcul de la statistique de test $z$

$$z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$

• $z$ mesure l’écart standardisé entre la moyenne observée $\bar{X}$ et la moyenne hypothétique $\mu$.

4. Interprétation de la p-valeur

• La p-valeur est la probabilité d’obtenir une moyenne d’échantillon aussi extrême ou plus extrême que celle observée, sous l’hypothèse nulle $H_0$.
• Plus la p-valeur est petite, plus l’évidence contre $H_0$ est forte.

5. Cas des hypothèses unilatérales et bilatérales

• En test bilatéral, la zone de rejet est partagée en deux (ex : 0,025 de chaque côté pour un seuil global de 0,05).

6. Exemple synthétique

• Population : $\mu = 25$, $\sigma = 7$, $n=20$
• Échantillon : $\bar{X} = 21,1$
• Erreur standard : $\sigma_{\bar{X}} = \frac{7}{\sqrt{20}} = 1,56$
• Statistique de test :

$$z = \frac{21,1 - 25}{1,56} = -2,50$$

• Petite portion associée à $|z|=2,50$ : environ 0,0062
• Test bilatéral : p-valeur = $2 \times 0,0062 = 0,0124 < 0,05$
• Décision : rejeter $H_0$, la moyenne des PDGs est différente de celle de la population générale.

7. Rapport selon les normes APA

• Exemple : $z = -2,50$ ; $p = 0,012$ (< 0,05) ; rejet de $H_0$

La p-valeur correspond à la probabilité d’obtenir une moyenne d’échantillon aussi extrême que celle observée, sous l’hypothèse nulle. En test bilatéral, elle est égale au double de la petite portion d’une seule queue.

1. Conditions de normalité pour les tests paramétriques

Les tests paramétriques reposent sur l'hypothèse que la variable étudiée suit une distribution normale dans la population. Cette condition est essentielle pour garantir la validité des résultats.

2. Hypothèses classiques pour un test de moyenne

• H₀ (hypothèse nulle) : la moyenne de la population est égale à une valeur donnée $\mu_0$.
• H₁ (hypothèse alternative) : la moyenne de la population est différente (bilatéral) ou inférieure/supérieure (unilatéral) à $\mu_0$.

3. Exemple d’application : comparaison d’une moyenne d’échantillon à une population

• Décision : $p = 0,0324 < 0,05$ → rejet de $H_0$.
• Conclusion : la moyenne de l’échantillon est significativement différente de celle de la population.

4. Cas particulier : comparaison d’un score individuel à une population normale

• On compare un score individuel $X$ à une population normale de moyenne $\mu$ et écart-type $\sigma$.
• Hypothèses pour un test unilatéral (ex. QI) :

• Calcul du score z :

$$z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

• Exemple : $X=75$, $\mu=100$, $\sigma=15$

$$z = \frac{75 - 100}{15} = -1,6667$$

• Probabilité associée (petite portion) : 0,0485
• Décision : $p = 0,0485 < 0,05$ → rejet de $H_0$, suggérant un retard mental.

À retenir : Les tests paramétriques nécessitent que la variable suive une distribution normale dans la population. La statistique de test est calculée à partir de la moyenne, de l’écart-type et de la taille de l’échantillon, et la décision repose sur la comparaison de la p-valeur à un seuil (souvent 0,05).

1. Vérification de la normalité avec petits échantillons

a) Test d'hypothèse pour un score individuel

• Hypothèses :

  • $H_0$ : le score appartient à une population avec moyenne $\mu \geq \mu_0$ (ex. $\mu_0 = 100$).
  • $H_1$ : le score appartient à une population avec moyenne $\mu < \mu_0$ (test unilatéral à gauche).

• Calcul du score z :

  $$z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

  où $X$ est le score observé, $\mu$ la moyenne de la population, $\sigma$ son écart-type.

• Interprétation :

  • Un score $z$ négatif indique une valeur inférieure à la moyenne.
  • La probabilité associée à $z$ (p-value) permet de décider si on rejette $H_0$.
  • Exemple : $z = -1,75$ correspond à environ 4 % des valeurs les plus faibles.

• Conclusion :

  • Si $p < \alpha$ (ex. 0,05), on rejette $H_0$ et suggère que le score est significativement bas.
  • Sinon, on ne rejette pas $H_0$.

À retenir : Le test z permet de vérifier si un score individuel est significativement différent de la moyenne d'une population normale connue.

b) Test de comparaison de moyennes avec écart-type inconnu

• Contexte : Moyenne de la population connue, mais écart-type inconnu.

• Distribution d’échantillonnage de la moyenne (DEM) :

  • Moyenne : $\mu$ (moyenne de la population).
  • Écart-type (erreur standard) estimé par : $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{s^*}{\sqrt{n}}$$ où $s^*$ est l’écart-type corrigé de l’échantillon, $n$ la taille de l’échantillon.

• Distribution utilisée : loi de Student $t$ avec $dl = n - 1$ degrés de liberté.

• Caractéristiques de la loi $t$ de Student :

  Propriété	Description
  Forme	Symétrique, en cloche, similaire à la normale
  Dépendance	Varie selon les degrés de liberté ($dl$)
  $dl$	$n - 1$ (nombre d’observations moins 1)
  Effet des $dl$	Pour $dl < 30$, distribution plus aplatie que la normale
  Limite	Pour $dl \to \infty$, tend vers la loi normale

• Utilisation :

  • Pour petits échantillons, on utilise la statistique $t$ : $$t = \frac{\bar{x} - \mu}{s^* / \sqrt{n}}$$
  • On compare $t$ à la valeur critique de la loi $t$ avec $dl$ degrés de liberté.

À retenir : Quand l'écart-type de la population est inconnu et l'échantillon petit, on utilise la loi $t$ de Student pour tester la moyenne.

c) Synthèse des tests pour petits échantillons

• Prudence : La loi $t$ suppose que la population est approximativement normale.
• Degrés de liberté influencent la forme de la distribution $t$ et donc la valeur critique.

À retenir : La vérification de la normalité et le choix de la loi (normale ou $t$) sont essentiels pour des tests fiables avec petits échantillons.

1. Tests paramétriques : principes et exemple

Les tests paramétriques reposent sur des hypothèses concernant la distribution des données, souvent la normalité. Ils permettent d’inférer des propriétés sur la population à partir d’un échantillon.

2. Loi de Student et distribution t

• La distribution t de Student est utilisée lorsque l’écart-type de la population est inconnu et estimé par celui de l’échantillon.
• Pour un échantillon de taille $n$, la loi t dépend des degrés de liberté : $dl = n - 1$.
• À partir d’environ 30 degrés de liberté, la loi t est quasi identique à la loi normale.

3. Exemple : test unilatéral sur le temps de réaction

a) Contexte

• Population de référence (adultes nés à terme) : temps de réaction moyen $\mu = 1$ seconde, écart-type inconnu.
• Échantillon : $n=20$ adultes nés prématurément.
• Hypothèse : les prématurés ont un temps de réaction plus long.

b) Hypothèses

Test unilatéral à droite : la zone de rejet est sur les valeurs supérieures.

c) Données de l’échantillon

• Moyenne : $\bar{X} = 1,035$
• Écart-type non corrigé : $s = 0,121$
• Écart-type corrigé : $s^* = 0,124$

d) Distribution d’échantillonnage sous $H_0$

• Moyenne de la distribution : $\mu_{\bar{X}} = 1$
• Erreur standard : $$s_{\bar{X}} = \frac{s^*}{\sqrt{n}} = \frac{0,124}{\sqrt{20}} = 0,028$$
• Distribution : loi t de Student avec $dl = 19$

Remarque : on utilise $s^*$ de l’échantillon prématuré pour estimer l’écart-type de la population à terme, car sous $H_0$ les deux populations sont supposées identiques.

4. Synthèse

À retenir : Lorsque l’écart-type de la population est inconnu, on utilise la loi t de Student avec $n-1$ degrés de liberté pour construire la distribution d’échantillonnage de la moyenne.

1. Test t pour comparaison d'une moyenne à une population connue

a) Hypothèses

• H₀ : $\mu \leq \mu_0$ (la moyenne de la population est inférieure ou égale à la moyenne connue)
• H₁ : $\mu > \mu_0$ (la moyenne de la population est supérieure à la moyenne connue)

Test unilatéral à droite, seuil de rejet $\alpha = 0,05$.

b) Calculs clés

1. Moyenne de l’échantillon : $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
2. Écart-type corrigé (échantillon) : $$s^* = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}$$
3. Erreur standard : $$SE = \frac{s^*}{\sqrt{n}}$$
4. Statistique t : $$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{SE}$$
5. Degrés de liberté : $df = n - 1$

c) Décision

• Trouver la valeur critique $t_{df, \alpha}$ dans la table de Student.
• Comparer $t$ calculé à $t_{crit}$ :
  • Si $t \geq t_{crit}$, rejeter $H_0$.
  • Sinon, ne pas rejeter $H_0$.

d) Particularités

• La table t ne donne pas la p-valeur exacte, seulement une estimation (p > ou < 0,05).
• Pour une p-valeur précise, utiliser un logiciel ou un calcul intégral.
• En licence, on se limite à indiquer si p > 0,05 ou p < 0,05.

2. Exemple résumé (Exercice 2.1)

À retenir : Le test t permet de comparer la moyenne d’un échantillon à une moyenne population connue quand l’écart-type population est inconnu, en utilisant la statistique t de Student avec $n-1$ degrés de liberté. On rejette $H_0$ si la statistique t calculée dépasse la valeur critique à un seuil donné.

1. Distribution d'échantillonnage des différences entre moyennes

a) Hypothèses pour un test unilatéral à droite

• Hypothèse nulle : $H_0 : \mu \leq 12,7$
• Hypothèse alternative : $H_1 : \mu > 12,7$

b) Calculs essentiels

• Moyenne de l’échantillon : $\bar{X} = 13,47$
• Écart-type corrigé : $s^* = 3,63$
• Degrés de liberté : $dl = n - 1 = 34$
• Seuil de signification : $\alpha = 0,05$
• Valeur critique : $t(34, 0,05) \approx 1,69$
• Statistique de test observée : $t_{obs} = 1,26$

c) Décision du test

• Comme $t_{obs} = 1,26 < 1,69$, on ne rejette pas $H_0$.
• Conclusion : les résultats ne permettent pas de conclure que la moyenne est supérieure à 12,7.

d) Rapport APA type

$$t(34) = 1,26, \quad p > 0,05, \quad \text{non-rejet de } H_0$$

2. Intervalle de confiance (IC) pour la moyenne quand $\mu$ et $\sigma$ sont inconnus

• L’IC est un ensemble de valeurs plausibles pour la vraie moyenne de la population $\mu$.
• Basé sur la distribution d’échantillonnage de la moyenne (DEM) :
  • Moyenne de la DEM : $\mu$ (vraie moyenne inconnue)
  • Écart-type de la DEM (erreur standard) : $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (estimé par $\frac{s}{\sqrt{n}}$)
• La DEM suit une distribution normale ou une loi de Student (si $\sigma$ inconnue).

a) Construction de l’intervalle de confiance à 95%

• Centré sur la moyenne observée $\bar{X}$
• Bornes calculées par : $$\mu_{inf} = \bar{X} - t_{\alpha/2, dl} \times \frac{s}{\sqrt{n}}, \quad \mu_{sup} = \bar{X} + t_{\alpha/2, dl} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$
• Où $t_{\alpha/2, dl}$ est la valeur critique de la loi de Student à $dl$ degrés de liberté pour un risque $\alpha/2$ (ex. 2,5% de chaque côté pour un IC bilatéral 95%).

b) Interprétation

• On estime que la vraie moyenne $\mu$ se trouve avec 95% de confiance entre $\mu_{inf}$ et $\mu_{sup}$.
• L’intervalle est bilatéral, couvrant la zone centrale de la distribution d’échantillonnage.

L’intervalle de confiance permet d’encadrer la moyenne inconnue de la population à partir de la moyenne de l’échantillon, en tenant compte de la variabilité de l’échantillon et du niveau de confiance choisi.

1. Condition d'homogénéité des variances

L'homogénéité des variances est une condition essentielle pour comparer les moyennes de deux populations à partir d'échantillons. Elle signifie que les variances des deux populations sont égales, c’est-à-dire :

$$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$$

Cette condition permet d'utiliser des tests statistiques paramétriques classiques (ex. : test t de Student pour échantillons indépendants avec variances supposées égales).

2. Pourquoi vérifier l'homogénéité des variances ?

• Si les variances sont égales, on peut appliquer le test t classique avec une variance commune estimée.
• Si les variances sont inégales, il faut utiliser une version adaptée du test t (test de Welch) ou des méthodes non paramétriques.

3. Tests pour vérifier l'homogénéité des variances

Le choix du test dépend de la normalité des données : Levene est plus robuste aux écarts de normalité.

4. Conséquences en cas d'hétérogénéité

• Violation de l'homogénéité des variances entraîne un risque accru d'erreur de type I ou II si on utilise un test t classique.
• On privilégie alors :
  • Le test de Welch (t-test avec variances inégales)
  • Des tests non paramétriques (ex. : test de Mann-Whitney)

5. Résumé pratique

À retenir :
La condition d'homogénéité des variances est indispensable pour appliquer correctement le test t classique. Sa vérification préalable garantit la validité des conclusions sur la comparaison des moyennes.

1. Types de mesures pour deux échantillons

• Mesures indépendantes : les deux groupes sont composés de sujets différents, sans lien entre eux.
  Exemple : comparer un groupe d’adultes à un groupe d’adolescents sur une variable (habitudes alimentaires).

• Mesures dépendantes : les mesures sont liées, soit parce que ce sont les mêmes sujets mesurés deux fois (avant/après, matin/soir), soit parce que les sujets différents partagent un lien naturel (famille, environnement commun).

À retenir :

• Indépendant = pas de lien entre mesures.
• Dépendant = lien entre mesures (mêmes sujets ou sujets liés).
• Une dépendance cachée peut exister même avec des sujets différents.

2. Conditions pour utiliser un test paramétrique sur deux moyennes

1. Normalité : chaque population doit suivre une distribution normale.

   • Si non respectée, on ne vérifie pas l’homoscédasticité.

2. Homogénéité des variances (homoscédasticité) : les variances des deux populations doivent être égales.

   • Obligatoire pour les groupes indépendants.
   • Si variances inégales, utiliser un test non paramétrique.

3. Vérification de l’homoscédasticité : test F

• Calcul du rapport des variances :

  $$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$$

• Interprétation :

  • Si variances égales → $F \approx 1$
  • Si variances différentes → $F$ s’éloigne de 1

• Le rapport $F$ suit la loi de Fisher-Snedecor.

À retenir :
Avant de comparer deux moyennes par un test paramétrique, il faut vérifier la normalité et, pour groupes indépendants, l’égalité des variances via le test F.

4. Synthèse des critères pour le test t à deux échantillons indépendants

Idée clé :
Le test t pour deux échantillons indépendants nécessite des groupes sans lien, des populations normales et des variances égales (homoscédasticité) pour être valide.

1. Test F pour l’égalité des variances (homoscédasticité)

Le test F compare les variances de deux groupes pour vérifier si elles sont égales, condition nécessaire avant d’appliquer certains tests (ex. test t pour échantillons indépendants).

2. Forme de la loi F

• Dépend de deux degrés de liberté :
  • $d_1$ pour le numérateur
  • $d_2$ pour le dénominateur
• La courbe peut être :
  • très asymétrique
  • plus ou moins étalée ou pointue
• Chaque couple $(d_1, d_2)$ définit une courbe différente.

3. Hypothèses du test F

4. Calcul du test F

$$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$$

• $s_1^2$ et $s_2^2$ : variances corrigées des deux groupes
• Toujours placer la plus grande variance au numérateur pour que $F \geq 1$.

5. Décision statistique

• Test bilatéral : on rejette $H_0$ si $F$ est dans les extrêmes de la distribution F (petite portion < 0,025 à gauche ou à droite).
• Valeur critique $F_{\text{crit}}$ obtenue dans la table F selon :
  • Niveau $\alpha = 0,025$ (pour chaque extrémité)
  • Degrés de liberté numérateur : $n_1 - 1$
  • Degrés de liberté dénominateur : $n_2 - 1$

Règles :

• Si $F \approx 1$, variances similaires → on garde $H_0$
• Si $F$ trop grand ou trop petit → variances différentes → on rejette $H_0$

6. Exemple résumé

• Groupe 1 (méthode traditionnelle) : $n_1=7$, variance corrigée $s_1^2=17,48$
• Groupe 2 (méthode multimédia) : $n_2=6$, variance corrigée $s_2^2=4,17$
• Calcul : $$F = \frac{17,48}{4,17} \approx 4,19$$
• Degrés de liberté : $d_1=6$, $d_2=5$
• Valeur critique $F_{\text{crit}}=6,98$ (table F, $\alpha=0,025$)
• Décision : $4,19 < 6,98$ → on ne rejette pas $H_0$, variances considérées égales.

À retenir : Le test F vérifie l’égalité des variances en comparant leur rapport à une loi F définie par les degrés de liberté. Si $F$ est proche de 1, on considère les variances égales et on peut utiliser des tests paramétriques classiques.

1. Distribution d’échantillonnage des différences entre moyennes

Pour comparer deux moyennes $\mu_1$ et $\mu_2$, on construit la distribution d’échantillonnage des différences à partir des deux distributions d’échantillonnage (DEM) des populations.

a) Propriétés de la DEM des différences

• Forme : Si les mesures sont indépendantes et chaque population est normale, la DEM « Différence » est normale.
• Moyenne : $\mu_{\text{diff}} = \mu_1 - \mu_2$. Sous $H_0$, $\mu_1 = \mu_2 \Rightarrow \mu_{\text{diff}} = 0$.
• Écart-type (si homoscédasticité respectée) : $$s_{\bar{X}_1 - \bar{X}_2} = \sqrt{\bar{s}_{x_1}^2 + \bar{s}_{x_2}^2}$$

b) Conditions nécessaires

Idée clé : On combine les deux DEMs pour obtenir la distribution des différences, centrée sur 0 sous $H_0$, avec un écart-type égal à la racine de la somme des variances des erreurs standards.

2. Test t pour la différence entre deux moyennes

Pour tester si la différence observée entre deux moyennes est significative, on utilise le test t de Student.

a) Formule du score t

$$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2 - 0}{s_{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}}$$

• $\bar{X}_1 - \bar{X}_2$ : différence observée entre les moyennes.
• $0$ : différence attendue sous $H_0$ (égalité des moyennes).
• $s_{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}$ : erreur standard de la différence.

b) Interprétation

• Si $|t| > t_{\text{critique}}$ (valeur critique de la table t), on rejette $H_0$.
• Sinon, on ne rejette pas $H_0$.

Cela permet de conclure si la différence observée est statistiquement significative.

c) Degrés de liberté

Pour deux échantillons indépendants :

$$dl = n_1 + n_2 - 2$$

Ces degrés de liberté déterminent la ligne à utiliser dans la table t.

Idée clé : On transforme la différence entre moyennes en un score t, puis on le compare à une valeur critique pour décider de la significativité.

1. Mesures dépendantes : définition et contexte

• Mesures dépendantes : valeurs des deux échantillons liées entre elles.
• Deux cas :
  • Même sujet mesuré deux fois (ex. avant/après).
  • Sujets différents mais liés (ex. membres d’une même famille, jumeaux).
• Les échantillons ne sont pas indépendants.

2. Terminologie équivalente

3. Hypothèses pour test t sur mesures dépendantes

• Test paramétrique possible si condition de normalité respectée.
• Hypothèses bilatérales :

$$H_0 : \mu_1 = \mu_2$$ $$H_1 : \mu_1 \neq \mu_2$$

4. Idée clé

Les mesures dépendantes permettent d’évaluer si la différence observée entre deux conditions est due au hasard ou reflète une différence réelle, en tenant compte de la liaison entre les observations.

5. Distribution d’échantillonnage des différences

• On calcule la différence individuelle pour chaque paire de mesures dépendantes.
• La distribution d’échantillonnage porte sur ces différences.
• La moyenne des différences est notée $\bar{D}$.
• L’écart-type des différences est noté $s_D$.
• L’erreur standard de la moyenne des différences est :

$$SE_{\bar{D}} = \frac{s_D}{\sqrt{n}}$$

avec $n$ le nombre de paires.

6. Test t pour mesures dépendantes

• Le score t s’écrit :

$$t = \frac{\bar{D} - \mu_{D0}}{SE_{\bar{D}}}$$

• $\mu_{D0}$ est la différence moyenne sous l’hypothèse nulle (souvent 0).
• Les degrés de liberté sont :

$$df = n - 1$$

• On compare la valeur calculée de $t$ à la valeur critique de la loi de Student à $df$ degrés de liberté.

7. Résumé des étapes pour un test t dépendant

1. Calculer les différences individuelles $D_i = X_{1i} - X_{2i}$.
2. Calculer la moyenne $\bar{D}$ et l’écart-type $s_D$ des différences.
3. Calculer l’erreur standard $SE_{\bar{D}} = \frac{s_D}{\sqrt{n}}$.
4. Calculer le score t : $t = \frac{\bar{D} - 0}{SE_{\bar{D}}}$.
5. Déterminer les degrés de liberté $df = n - 1$.
6. Comparer $t$ à la valeur critique pour décider de rejeter ou non $H_0$.

8. Conditions d’application

• Les différences doivent suivre une distribution normale (condition de normalité).
• Les mesures sont appariées ou dépendantes.
• Le test est plus puissant que le test pour échantillons indépendants car il contrôle la variabilité inter-sujets.

Le test t pour mesures dépendantes permet de détecter une différence significative entre deux conditions liées en analysant la distribution des différences individuelles.

1. Tests non paramétriques : généralités

Les tests non paramétriques sont utilisés lorsque les conditions des tests paramétriques (notamment la normalité des données) ne sont pas respectées. Ils ne reposent pas sur des hypothèses fortes concernant la distribution des populations.

2. Mesures dépendantes et tests associés

• Mesures dépendantes : les observations des deux groupes sont liées (ex. mêmes sujets mesurés deux fois).
• Problème : la formule classique de l'erreur standard de la différence entre deux moyennes ne s'applique pas car les données sont corrélées.
• Solution : créer un échantillon des différences individuelles $d_i = X_{2i} - X_{1i}$ pour chaque sujet $i$.

• On obtient un échantillon unique des différences sur lequel on applique un test.

3. Statistiques clés sur l’échantillon des différences

• Moyenne des différences : $$\bar{X}_d = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d_i$$
• Écart-type corrigé des différences : $s_d$

Attention : $\bar{X}_d$ est la moyenne des différences individuelles, pas la différence entre les moyennes globales.

4. Hypothèses du test t apparié (bilatéral)

• $H_0 : \mu_d = 0$ (la moyenne des différences est nulle)
• $H_1 : \mu_d \neq 0$ (la moyenne des différences est différente de zéro)

On teste si la moyenne des différences dans la population est nulle, ce qui équivaut à tester l'égalité des moyennes des deux groupes liés.

5. Pourquoi cette méthode est nécessaire

• Pour deux variables dépendantes, la covariance n’est pas nulle ($\rho \neq 0$).
• La variance de la différence ne s’obtient pas par la simple somme des variances.
• En créant l’échantillon des différences, on neutralise la dépendance et on peut appliquer un test sur une seule moyenne.

6. Cas de normalité

• Si la normalité est respectée pour les différences, on peut utiliser la distribution d’échantillonnage des moyennes des différences pour effectuer un test t apparié.
• Sinon, on privilégie un test non paramétrique adapté (ex. test de Wilcoxon).

À retenir : Pour des mesures dépendantes, on ne compare pas directement deux moyennes, mais on crée un échantillon des différences individuelles et on applique un test sur cette nouvelle variable.

1. Test de Wilcoxon pour un échantillon

Le test de Wilcoxon est une alternative non paramétrique au test t apparié, utilisée lorsque la normalité des différences n’est pas assurée.

2. Principes clés

• Travail sur les différences individuelles entre deux mesures appariées.
• Hypothèse nulle (H₀) : la médiane des différences est nulle (pas de changement).
• Hypothèse alternative (H₁) : la médiane des différences est différente de zéro (bilatéral) ou orientée (unilatéral).
• Ne nécessite pas la normalité des différences, contrairement au test t apparié.

3. Conditions d’application

4. Calcul du test de Wilcoxon

1. Calculer les différences $d_i = x_i - y_i$ pour chaque paire.
2. Supprimer les différences nulles (différences égales à 0).
3. Classer les valeurs absolues $|d_i|$ par ordre croissant, en attribuant des rangs.
4. Attribuer un signe (+ ou -) à chaque rang selon le signe de $d_i$.
5. Calculer la statistique de test $W$ : somme des rangs positifs ou négatifs (selon l’hypothèse).
6. Comparer $W$ à la distribution critique de Wilcoxon (table ou approximation normale si $n$ grand).

5. Décision statistique

• Si $W$ est inférieur ou supérieur à la valeur critique (selon le test unilatéral ou bilatéral), on rejette $H_0$.
• Sinon, on ne rejette pas $H_0$.

6. Résumé

Le test de Wilcoxon permet de tester si la médiane des différences entre deux mesures appariées est nulle, sans supposer la normalité des différences.

7. À retenir

• Utiliser le test t apparié si les différences sont normales.
• Utiliser le test de Wilcoxon si la normalité est douteuse ou pour des données ordinales.
• Le test de Wilcoxon est basé sur les rangs des différences, pas sur leurs valeurs brutes.
• La statistique suit une distribution exacte pour petits échantillons, ou une approximation normale pour grands échantillons.

1. Test de Mann-Whitney-Wilcoxon pour deux échantillons indépendants

Le test de Mann-Whitney-Wilcoxon est un test non paramétrique utilisé pour comparer deux échantillons indépendants lorsque les conditions des tests paramétriques (normalité, égalité des variances) ne sont pas remplies.

2. Objectif

• Tester si deux populations indépendantes ont des distributions différentes, notamment en termes de position (médiane).
• Alternative au test t pour échantillons indépendants lorsque la normalité n’est pas assurée.

3. Hypothèses

• H0 (hypothèse nulle) : Les deux populations ont la même distribution.
• H1 (hypothèse alternative) : Les distributions diffèrent (test bilatéral) ou une population a tendance à avoir des valeurs plus grandes (test unilatéral).

4. Conditions d’application

5. Principe du test

1. Ranger toutes les observations des deux échantillons ensemble par ordre croissant.
2. Attribuer des rangs à chaque observation (en cas d’égalité, attribuer le rang moyen).
3. Calculer la somme des rangs pour chaque échantillon, notée $R_1$ et $R_2$.
4. La statistique de test est basée sur ces sommes de rangs.

6. Statistique de test

Pour un échantillon de taille $n_1$ et un autre de taille $n_2$ :

• Calculer la somme des rangs $R_1$ du premier échantillon.
• La statistique $U$ est définie par :

$$U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1 + 1)}{2}$$

• $U_2$ est calculé de même pour le second échantillon.
• La statistique finale est $U = \min(U_1, U_2)$.

7. Décision

• Pour des petits échantillons, comparer $U$ à la table critique de Mann-Whitney.
• Pour des grands échantillons, la statistique $U$ suit approximativement une loi normale avec :

$$\mu_U = \frac{n_1 n_2}{2}$$ $$\sigma_U = \sqrt{\frac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}}$$

• Calculer la statistique normalisée :

$$Z = \frac{U - \mu_U}{\sigma_U}$$

• Rejeter $H_0$ si $|Z|$ est supérieur à la valeur critique de la loi normale standard.

8. Avantages du test de Mann-Whitney-Wilcoxon

• Ne nécessite pas la normalité des données.
• Robuste aux valeurs aberrantes.
• Peut être utilisé avec des données ordinales.
• Adapté aux petits échantillons.

À retenir : Le test de Mann-Whitney-Wilcoxon compare les rangs des deux échantillons indépendants pour détecter une différence de distribution sans supposer la normalité.

9. Exemple synthétique

• Échantillon 1 : $n_1 = 10$, échantillon 2 : $n_2 = 12$.
• On classe toutes les observations ensemble, on attribue les rangs, puis on calcule $R_1$.
• Calcul de $U_1$, $U_2$, puis $U = \min(U_1, U_2)$.
• Comparaison à la table ou calcul de $Z$ pour conclure.

10. Résumé rapide

Cette méthode est essentielle pour analyser des données non normales ou ordinales dans des situations à deux groupes indépendants.

1. Test des rangs de Wilcoxon pour mesures dépendantes

Le test des rangs de Wilcoxon est une alternative non paramétrique au test t apparié, utilisée lorsque les données sont dépendantes (ex. mesures avant/après) et que la normalité n’est pas respectée.

a) Contexte d’utilisation

• Données appariées : mêmes sujets mesurés deux fois (avant/après, conditions liées).
• Paramètres inconnus : pas de supposition sur la distribution normale.
• Échantillon souvent petit (n < 30).
• Hypothèse nulle : la médiane des différences entre paires est nulle.

b) Principe du test

• On calcule les différences entre les deux mesures pour chaque individu.
• On élimine les différences nulles.
• On classe les valeurs absolues des différences par ordre croissant, en attribuant des rangs.
• On somme les rangs des différences positives et négatives.
• La statistique de test est basée sur la plus petite de ces deux sommes.

c) Hypothèses

d) Conditions d’application

• Données appariées et mesurées sur une échelle au moins ordinale.
• Différences indépendantes.
• Distribution des différences non normale ou échantillon trop petit pour vérifier la normalité.

e) Décision

• Si la normalité est respectée → test t apparié (paramétrique).
• Sinon → test des rangs de Wilcoxon (non paramétrique).

f) Résumé du choix du test selon le contexte

À retenir : Le test des rangs de Wilcoxon est la méthode robuste pour comparer deux mesures dépendantes quand la normalité n’est pas assurée, en utilisant les rangs des différences plutôt que les valeurs brutes.

g) Exemple d’application

• Taille de l’échantillon : 15 élèves.
• Distribution des différences non symétrique → normalité non respectée.
• Hypothèse nulle bilatérale : la médiane des différences est nulle.
• Utilisation du test de Wilcoxon pour valider ou rejeter $H_0$.

2. Points clés

• Le test de Wilcoxon ne nécessite pas la normalité.
• Il est basé sur les rangs des différences, pas sur les valeurs elles-mêmes.
• Convient aux petits échantillons.
• Alternative robuste au test t apparié.

1. Test de Wilcoxon pour un échantillon (distribution chi-carré)

Le test de Wilcoxon est utilisé pour comparer la médiane d’un échantillon à une valeur de référence, sans supposer la normalité de la distribution.

2. Étapes clés du test de Wilcoxon

1. Hypothèses

   • $H_0$ : La médiane de l’échantillon est égale à la médiane de référence.
   • $H_1$ : La médiane de l’échantillon est différente (test bilatéral).

2. Calcul des différences

   • Calculer la différence entre chaque observation et la médiane de référence.

3. Classement des différences

   • Classer les différences selon leur valeur absolue, du plus petit au plus grand, et attribuer des rangs.

4. Séparation des rangs selon le signe

   • $T^+$ : somme des rangs des différences positives.
   • $T^-$ : somme des rangs des différences négatives.

5. Statistique du test

   • La statistique $T$ est la plus petite des deux sommes : $T = \min(T^+, T^-)$.

6. Décision statistique

   • Comparer $T$ à la valeur critique issue de la table de Wilcoxon (selon $n$ et le niveau de signification).
   • Si la valeur critique est supérieure à $T$, on rejette $H_0$.
   • Sinon, on ne rejette pas $H_0$.

3. Exemple résumé

• Médiane de référence : 180
• Calcul des $T^+$ et $T^-$ → $T^- = 19$
• Valeur critique (table Wilcoxon) : 25
• Comme $25 > 19$, on rejette $H_0$.
• Conclusion : la médiane de l’échantillon est différente de 180.

4. Notation APA pour le test de Wilcoxon

$T = 19 ; p < 0,05 ;$ rejet de $H_0$.

5. Cas pratique : taux de sérotonine chez sujets dépressifs

• Population générale :

  • Moyenne = 200 μg/l
  • Médiane = 185 μg/l

• Taille de l’échantillon : $n=9$ (petit)

• Distribution non normale supposée

• Test choisi : test de Wilcoxon pour un échantillon

6. Hypothèses pour l’exercice

• $H_0$ : Médiane des sujets dépressifs = 185 μg/l
• $H_1$ : Médiane des sujets dépressifs ≠ 185 μg/l (test bilatéral)

Le test de Wilcoxon est adapté pour comparer une médiane d’échantillon à une valeur de référence sans supposer la normalité, en utilisant la somme des rangs des différences signées.

1. Conditions de Cochran

Les conditions de Cochran sont des critères à vérifier pour appliquer correctement le test du chi-carré dans l’analyse de tableaux de contingence. Elles garantissent la validité de l’approximation de la loi du chi-carré.

a) Conditions principales à respecter

À retenir : Le test du chi-carré est valide si au moins 80% des effectifs théoriques sont ≥ 5 et aucun n’est < 1.

2. Test du chi-carré (χ²)

Le test du chi-carré permet de tester l’indépendance entre deux variables qualitatives dans un tableau de contingence.

a) Statistique du test

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$

• $O_{ij}$ : effectif observé dans la case $(i,j)$
• $E_{ij}$ : effectif théorique attendu sous l’hypothèse d’indépendance
• $r$ : nombre de lignes, $c$ : nombre de colonnes

b) Calcul des effectifs théoriques

$$E_{ij} = \frac{(n_{i\cdot})(n_{\cdot j})}{n}$$

• $n_{i\cdot}$ : total ligne $i$
• $n_{\cdot j}$ : total colonne $j$
• $n$ : effectif total

c) Degrés de liberté

$$df = (r - 1)(c - 1)$$

d) Décision statistique

• Choisir un seuil $\alpha$ (ex. 0,05)
• Trouver la valeur critique $\chi^2_{\alpha, df}$ dans la table du chi-carré
• Règle :
  • Si $\chi^2 > \chi^2_{\alpha, df}$ → rejet de $H_0$ (variables dépendantes)
  • Sinon → non-rejet de $H_0$ (variables indépendantes)