Suites Numériques

1. Suites arithmétiques (SA) : définition

• Une suite arithmétique est une suite $(U_n)$ où chaque terme est obtenu en ajoutant une raison constante $r$ au terme précédent.
• Formellement :
  $U_{n+1} = U_n + r \quad \Longleftrightarrow \quad U_{n+1} - U_n = r$

2. Formule générale du terme $U_n$

• À partir d'un terme quelconque $U_k$, on calcule $U_n$ par :
  $U_n = U_k + (n - k) \times r$
• En particulier, à partir du premier terme $U_1$ :
  $U_n = U_1 + (n - 1) \times r$

3. Somme des termes d'une suite arithmétique

• La somme des termes de rang $k$ à $n$ est donnée par : $$S = U_k + U_{k+1} + \cdots + U_n = (n - k + 1) \times \frac{U_k + U_n}{2}$$
• Cette formule exprime la somme comme le produit du nombre de termes par la moyenne des premiers et derniers termes.

4. Propriétés importantes

5. Exemples d'application

• Calculer $U_{20}$ sachant $U_4 = 50$ et $r = 6$ :
  $U_{20} = 50 + (20 - 4) \times 6 = 50 + 96 = 146$

• Calculer $U_{30}$ avec $U_5 = 42$ et $r = 8$ :
  $U_{30} = 42 + (30 - 5) \times 8 = 42 + 200 = 242$

• Trouver la raison $r$ si $U_{10} = 150$ et $U_{30} = 250$ :

  $$250 = 150 + (30 - 10)r \implies 100 = 20r \implies r = 5$$

À retenir :
Une suite arithmétique est définie par un premier terme $U_1$ et une raison $r$, et son terme général s’écrit
$U_n = U_1 + (n - 1)r$
La somme de $m$ termes consécutifs est
$S = m \times \frac{U_{\text{premier}} + U_{\text{dernier}}}{2}$

1. Calcul des termes d'une suite arithmétique

Une suite $(U_n)$ est arithmétique s'il existe une raison $r$ telle que :

$$U_{n} = U_{k} + (n - k) \times r$$

• $U_k$ : terme connu de la suite
• $r$ : raison (constante)
• $n, k$ : indices des termes

2. Calcul de la raison $r$

Si deux termes $U_a$ et $U_b$ sont connus, la raison s'obtient par :

$$r = \frac{U_b - U_a}{b - a}$$

3. Calcul d'un terme $U_n$

Connaissant un terme $U_k$ et la raison $r$ :

$$U_n = U_k + (n - k) \times r$$

4. Calcul de la position $n$ d'un terme donné $U_n$

Si on connaît $U_k$, $r$ et un terme $U_n$ donné, on résout :

$$U_n = U_k + (n - k) \times r$$

pour trouver $n$.

5. Exemples d'application

À retenir : Pour une suite arithmétique, chaque terme s'obtient en ajoutant la raison multipliée par la différence d'indices au terme connu. La raison se calcule par la différence des termes divisée par la différence des indices.

1. Somme d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite de nombres où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante appelée raison $r$ au terme précédent.

a) Formule de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

Soit une suite arithmétique $(U_n)$, la somme des termes de rang $k$ à $n$ est :

$$S = U_k + U_{k+1} + \dots + U_n = (n - k + 1) \times \frac{U_k + U_n}{2}$$

• $(n - k + 1)$ : nombre de termes sommés
• $\frac{U_k + U_n}{2}$ : moyenne des premiers et derniers termes

b) Calcul du terme général

Le terme $U_n$ s'exprime à partir d'un terme $U_k$ et de la raison $r$ par :

$$U_n = U_k + (n - k) \times r$$

c) Méthode pour calculer la somme

1. Identifier $k$, $n$, $U_k$, et $r$.
2. Calculer $U_n$ si inconnu : $U_n = U_k + (n - k)r$.
3. Appliquer la formule de la somme :

$$S = (n - k + 1) \times \frac{U_k + U_n}{2}$$

d) Exemples

À retenir :
La somme des termes d'une suite arithmétique entre $U_k$ et $U_n$ est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme.
$S = (n - k + 1) \times \frac{U_k + U_n}{2}$

1. Définition d'une suite géométrique

Une suite $(U_n)$ est géométrique s'il existe un nombre constant $q$ appelé raison tel que :

$$U_{n+1} = q \times U_n \quad \text{pour tout } n \geq 0$$

Autrement dit, chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par la même constante $q$.

À retenir : La raison $q$ est le rapport constant entre deux termes consécutifs :
$q = \frac{U_{n+1}}{U_n}$

2. Interprétation avec les pourcentages

• Une augmentation de 10% correspond à une raison $q = 1 + 0{,}10 = 1{,}10$.
• Une baisse de 10% correspond à une raison $q = 1 - 0{,}10 = 0{,}90$.

3. Formule générale d'une suite géométrique

Pour tout $n \geq k$, le terme général s'exprime par :

$$U_n = U_k \times q^{n-k}$$

où

• $U_k$ est un terme initial quelconque (souvent $U_0$),
• $q$ est la raison,
• $n-k$ est la différence d'indices.

4. Exemple d'une suite géométrique

Soit la suite définie par :

$$U_n = 5 \times 2^n$$

• Calcul de la raison :

$$\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{5 \times 2^{n+1}}{5 \times 2^n} = 2$$

Donc la raison est $q = 2$.

• Les premiers termes sont :

$$U_1 = 10, \quad U_2 = 20, \quad U_3 = 40, \quad \ldots$$

Cette suite est bien géométrique de raison 2.

5. Résumé clé

À retenir : Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant et égal à la raison $q$.

1. Calcul des termes d'une suite géométrique

Une suite $(U_n)$ est géométrique de raison $q$ si chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par $q$.

Formule générale :

$$U_n = U_k \times q^{n-k}$$

• $U_k$ : terme de rang $k$ connu
• $q$ : raison de la suite
• $n$ : rang du terme à calculer

2. Exemples d'application

• Si $U_3 = 20$ et $U_6 = 160$, alors :

$$U_6 = U_3 \times q^{6-3} \implies 160 = 20 \times q^3 \implies q^3 = 8 \implies q = 2$$

• Calcul de $U_{16}$ sachant $U_5 = 5$ et $q=2$ :

$$U_{16} = U_5 \times q^{16-5} = 5 \times 2^{11} = 5 \times 2048 = 10240$$

3. Exercices types

4. Somme des termes d'une suite géométrique

Pour une suite géométrique de raison $q \neq 1$, la somme des termes de rang $k$ à $n$ est :

$$S = U_k + U_{k+1} + \cdots + U_n = U_k \times \frac{1 - q^{n-k+1}}{1 - q}$$

• $(n-k+1)$ : nombre de termes additionnés
• $U_k$ : premier terme de la somme

5. Exemple de somme

Calculer la somme $S = U_2 + U_3 + \cdots + U_9$ avec $U_2 = 7$ et $q=5$ :

$$S = 7 \times \frac{1 - 5^{8}}{1 - 5} = 7 \times \frac{1 - 390625}{1 - 5} = 7 \times \frac{-390624}{-4} = 7 \times 97656 = 683592$$

À retenir : Pour toute suite géométrique, le terme $U_n$ se calcule à partir d'un terme $U_k$ connu par $U_n = U_k \times q^{n-k}$, et la somme de termes consécutifs s'exprime par $S = U_k \times \frac{1 - q^{n-k+1}}{1 - q}$.

1. Somme d'une suite géométrique

Une suite géométrique est définie par un premier terme $U_1$ et une raison $q$ telle que :

$$U_n = U_1 \times q^{n-1}$$

2. Formule de la somme des $n$ premiers termes

La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par :

$$S_n = U_1 + U_2 + \cdots + U_n = U_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{(pour } q \neq 1)$$

3. Calcul du nombre de termes $n$

Si on connaît $U_1$, $U_n$ et $q$, on peut retrouver $n$ par :

$$U_n = U_1 \times q^{n-1} \implies q^{n-1} = \frac{U_n}{U_1} \implies n = 1 + \frac{\ln\left(\frac{U_n}{U_1}\right)}{\ln(q)}$$

4. Exemple d'application

Calculer la somme $S = 4 + 8 + 16 + \cdots + 1024$.

• $U_1 = 4$, $U_n = 1024$, $q = 2$
• Calcul de $n$ :

$$1024 = 4 \times 2^{n-1} \implies 2^{n-1} = 256 \implies n-1 = 8 \implies n = 9$$

• Calcul de la somme :

$$S = 4 \times \frac{1 - 2^9}{1 - 2} = 4 \times \frac{1 - 512}{-1} = 4 \times 511 = 2044$$

5. Exemple avec $U_2$ connu

Calculer la somme des 10 premiers termes d'une suite géométrique où $U_2 = 15$ et $q = 3$.

• Trouver $U_1$ :

$$U_2 = U_1 \times q = 15 \implies U_1 = \frac{15}{3} = 5$$

• Calcul de la somme :

$$S_{10} = 5 \times \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 5 \times \frac{1 - 59049}{-2} = 5 \times 29524 = 147620$$

6. Application aux variations en pourcentage

Une variation en % correspond à une suite géométrique de raison :

$$q = 1 + \frac{\text{taux de variation}}{100}$$

• Augmentation de 15% : $q = 1 + 0.15 = 1.15$
• Diminution de 15% : $q = 1 - 0.15 = 0.85$

7. Exemple d'évolution de production

Production initiale en 2020 : $U_0 = 200\,000$ pièces.

8. Exemple d'augmentation annuelle de 10%

Production initiale en 2010 : $U_0 = 80\,000$ unités, $q = 1.10$.

À retenir :
La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ est
$S_n = U_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$
et pour retrouver $n$ à partir de $U_n$, on utilise
$n = 1 + \frac{\ln\left(\frac{U_n}{U_1}\right)}{\ln(q)}.$

1. Conclusion et applications pratiques

• Suites géométriques (SG) modélisent les phénomènes avec une variation proportionnelle constante (ex : croissance de 10% par an).

  • Formule générale :
    $U_n = U_0 \times q^n$
    où $q$ est la raison (facteur multiplicatif).

  • Exemple : production annuelle avec $U_0 = 80\,000$ et $q = 1.10$ (augmentation de 10%)
    $U_n = 80\,000 \times 1.1^n$
    Production en 2025 ($n=15$) :
    $U_{15} \approx 334\,180$

  • Somme des termes d'une SG (de $U_0$ à $U_n$) :

    $$S = U_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

    Exemple somme de 2010 à 2025 (16 termes) :

    $$S \approx 2\,875\,979$$

• Suites arithmétiques (SA) modélisent les phénomènes avec une variation constante en valeur absolue (ex : augmentation ou diminution fixe).

  • Formule générale :

    $$U_n = U_0 + n \times r$$

    où $r$ est la raison (variation constante).

  • Exemple : augmentation de 3500 unités par an → $r = 3500$
    diminution de 3500 unités par an → $r = -3500$

2. Utilisation d’Excel pour suites numériques

• Pour la somme des productions (2010-2025) :
  Utiliser la fonction SOMME() sur la plage des $U_n$ ou calcul direct avec la formule de la somme d’une SG.

À retenir :
Une suite modélisant une croissance ou décroissance en pourcentage est une suite géométrique ; une suite avec une variation constante en valeur absolue est une suite arithmétique. Ces modèles permettent de prévoir facilement les termes futurs et les sommes partielles.