Théorème de Pythagore

Chap. 1

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. Il établit une relation entre les longueurs des côtés.

1. Énoncé du théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ , alors :

BC^2 = AB^2 + AC^2

2. Utilisation

Permet de calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle si on connaît les deux autres.
Utilisé pour vérifier qu'un triangle est rectangle.

Chap. 2

Réciproque du théorème de Pythagore

La réciproque permet de déterminer si un triangle est rectangle à partir des longueurs de ses côtés.

1. Énoncé de la réciproque

Si, dans un triangle $ABC$ , on a :

BC^2 = AB^2 + AC^2

alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

2. Utilisation

Vérifier qu'un triangle est rectangle en calculant les carrés des longueurs des côtés.
Utile dans des problèmes de géométrie pour prouver la nature d'un triangle.

Chap. 3

Contraposée du théorème de Pythagore

La contraposée est une reformulation logique du théorème qui permet de conclure qu'un triangle n'est pas rectangle.

1. Énoncé de la contraposée

Si, dans un triangle $ABC$ , on a :

BC^2 \neq AB^2 + AC^2

alors le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$ .

2. Utilisation

Permet de démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
Complément utile à la réciproque.

Chap. 4

Résumé des relations entre théorème, réciproque et contraposée

Propriété	Condition sur les côtés	Conclusion sur le triangle
Théorème	Triangle rectangle en $A$	$BC^2 = AB^2 + AC^2$
Réciproque	$BC^2 = AB^2 + AC^2$	Triangle rectangle en $A$
Contraposée	$BC^2 \neq AB^2 + AC^2$	Triangle non rectangle en $A$

À retenir : Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Théorème de Pythagore