3_Séries Entières

1. Série entière

Une série entière est une série de fonctions de la forme

$$\sum_{n \geq 0} a_n z^n$$

où $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite réelle ou complexe, et $z$ est une variable complexe.

2. Lemme d’Abel

Si pour un $r > 0$, la suite $(a_n r^n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée, alors la série entière $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ converge absolument pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z| < r$.

À retenir : La convergence absolue est garantie à l’intérieur du disque de rayon $r$ si $(a_n r^n)$ est bornée.

3. Rayon de convergence

• Définition : Le rayon de convergence $R$ d’une série entière $\sum a_n z^n$ est la borne supérieure des réels $r \geq 0$ tels que $(a_n r^n)$ est bornée.
• $R$ peut être un réel positif ou $+\infty$.

4. Propriétés du rayon de convergence

• Deux séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum \lambda a_n z^n$ (avec $\lambda \neq 0$) ont le même rayon de convergence.

5. Critère de d’Alembert pour le rayon de convergence

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière avec $(a_n)$ non nulle à partir d’un certain rang. Si la limite

$$\ell = \lim_{n \to +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

existe dans $\mathbb{R}^+ \cup \{+\infty\}$, alors

$$R = \frac{1}{\ell}$$

avec la convention $1/0 = +\infty$.

6. Exemple d’application

Pour la série entière $\sum n^\alpha z^n$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$, on a

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^\alpha}{n^\alpha} = 1$$

donc le rayon de convergence est $R = 1$.

7. Disque et intervalle de convergence

• Le disque ouvert de convergence est le disque de centre $0$ et de rayon $R$ dans $\mathbb{C}$ : $$D(0,R) = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < R \}$$
• L’intervalle ouvert de convergence est l’intervalle réel $$(-R, R)$$
• Si $R = +\infty$, la série converge partout dans $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$.

1. Comparaison des rayons de convergence

Soient deux séries entières $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ et $\sum_{n \geq 0} b_n z^n$ de rayons de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$.

• Si $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq n_0$, $|a_n| \leq |b_n|$, alors $R_a \geq R_b$.
• Si $a_n = O(b_n)$ quand $n \to +\infty$, alors $R_a \geq R_b$.
• Si $a_n = o(b_n)$ quand $n \to +\infty$, alors $R_a \geq R_b$.
• Si $a_n \sim b_n$ quand $n \to +\infty$, alors $R_a = R_b$.

La comparaison des coefficients permet de comparer les rayons de convergence.

2. Rayon de convergence d'une série dérivée

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, les séries entières

$$\sum_{n \geq 0} a_n z^n \quad \text{et} \quad \sum_{n \geq 0} n^\alpha a_n z^n$$

ont le même rayon de convergence.

3. Produit de Cauchy de deux séries entières

Soient deux séries entières

$$\sum_{n \geq 0} u_n x^n \quad \text{et} \quad \sum_{n \geq 0} v_n x^n$$

Leur produit de Cauchy est la série entière

$$\sum_{n \geq 0} w_n x^n \quad \text{avec} \quad w_n = \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k}.$$

4. Propriétés du produit de Cauchy

• Si les rayons de convergence des séries sont $R_a > 0$ et $R_b > 0$, alors le produit de Cauchy a un rayon de convergence

$$R \geq \min(R_a, R_b).$$

• Pour tout $x \in (-R, R)$,

$$\sum_{n=0}^{+\infty} w_n x^n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n x^n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty} v_n x^n\right).$$

5. Exemple d'application

Calcul de la série entière

$$\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n, \quad x \in (-1,1).$$

• Les séries $\sum (n+1) x^n$ et $\sum x^n$ ont toutes deux un rayon de convergence égal à 1 (critère de d’Alembert).
• Le produit de Cauchy permet d’exprimer la série $(n+1) x^n$ en fonction de $\sum x^n$.

À retenir : Le rayon de convergence d’une série entière est stable par multiplication des coefficients par $n^\alpha$ et le produit de Cauchy de deux séries entières converge au moins sur l’intervalle défini par le minimum des rayons de convergence.

1. Continuité de la fonction somme

a) Continuité en la variable complexe

Soit une série entière $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ de rayon de convergence $R > 0$.

• Convergence normale sur tout disque fermé $D_f(0,r)$ avec $r < R$.
• Pour tout $n \in \mathbb{N}$, la fonction $f_n : z \mapsto a_n z^n$ est continue sur $D_f(0,r)$.
• La série $\sum f_n$ converge normalement sur $D_f(0,r)$, donc la somme est continue sur $D_f(0,r)$.

À retenir : La somme d'une série entière est continue sur tout disque ouvert de rayon strictement inférieur au rayon de convergence.

b) Continuité en la variable réelle

Soit une série entière réelle $\sum_{n \geq 0} a_n x^n$ de rayon de convergence $R > 0$.

• La fonction somme $S : x \in (-R, R) \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ est bien définie et continue sur $(-R, R)$.

c) Théorème d’Abel au bord

Soit $\sum_{n \geq 0} a_n x^n$ une série entière réelle de rayon de convergence $R > 0$.

• Si la série $\sum_{n \geq 0} a_n R^n$ converge, alors la convergence est uniforme sur l’intervalle $[0, R]$.
• En particulier, la fonction somme $S$ est continue en $x=R$.

À retenir : Sous la condition de convergence en $R$, la fonction somme s’étend continûment au bord $x=R$.

2. Synthèse des propriétés de continuité

3. Définitions clés

• Fonction somme : Pour $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ de rayon $R > 0$, la fonction somme est $$S : z \in D(0,R) \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n.$$
• Convergence normale : La série $\sum f_n$ converge normalement sur un ensemble $E$ si $\sum \|f_n\|_E$ converge.

En résumé : La somme d’une série entière est continue sur le disque ouvert de convergence, et sous condition de convergence au bord réel positif, la fonction somme est continue jusqu’au bord.

1. Rayon de convergence des séries entières dérivées

• Soit une série entière $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ de rayon de convergence $R > 0$.
• Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, la série $\sum_{n \geq 0} n^\alpha a_n z^n$ a le même rayon de convergence $R$.

Le facteur $n^\alpha$ ne modifie pas le rayon de convergence.

2. Régularité de la fonction somme d'une série entière

• Soit $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière de rayon $R > 0$.
• La fonction somme $S$ est de classe $C^\infty$ sur $(-R, R)$.
• Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ et $x \in (-R, R)$, la $k$-ième dérivée s'exprime par : $$S^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k)!} a_n x^{n-k}.$$
• La convergence est uniforme sur tout segment $[-r, r]$ avec $0 < r < R$.

3. Expression des coefficients à partir des dérivées

• Pour la série entière $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ de rayon $R > 0$, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}.$$
• Cela relie directement les coefficients de la série aux dérivées successives de la fonction somme en $0$.

4. Unicité du développement en série entière

• Soient deux séries entières $\sum a_n x^n$ et $\sum b_n x^n$ de rayons $R_a, R_b > 0$ respectivement, avec sommes $S_a$ et $S_b$.
• Si $\exists \alpha > 0$ tel que $S_a(x) = S_b(x)$ pour tout $x \in (0, \alpha)$, alors $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad a_n = b_n.$$

Le développement en série entière est unique sur un intervalle où les fonctions coïncident.

5. Théorème d'Abel angulaire (remarque)

• Pour $z \to 1$ dans un secteur angulaire $\Delta_{\theta_0} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1, 1 - z = \rho e^{i\theta}, \rho > 0, \theta \in [-\theta_0, \theta_0] \}$ avec $\theta_0 \in (0, \pi/2)$,

  $$\lim_{z \to 1, z \in \Delta_{\theta_0}} f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n,$$

  où $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$.

À retenir : La fonction somme d'une série entière est infiniment dérivable sur l'intervalle de convergence, et ses dérivées s'obtiennent par dérivation terme à terme. Les coefficients de la série sont donnés par les dérivées en zéro, ce qui garantit l'unicité du développement en série entière.

1. Fonction développable en série entière

Définition :
Une fonction $f$ définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$ est développable en série entière s'il existe une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que pour tout $x \in I$, la série $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ converge et

$$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n.$$

2. Formule de Taylor avec reste intégral

Soit $f : I \to \mathbb{C}$ de classe $C^{n+1}$ sur un intervalle $I$. Pour tout $(a,x) \in I^2$,

$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x - t)^n dt.$$

3. Développements usuels en séries entières

4. Exemple d'application : dérivation terme à terme

Pour $x \in (-1,1)$, la série

$$\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}$$

converge et sa somme est

$$\frac{1}{(1-x)^2}.$$

Cela découle de la dérivation terme à terme de la série géométrique

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n.$$

5. Séries entières en variable complexe

• Série géométrique complexe : Pour tout $z \in D(0,1)$ (disque ouvert de rayon 1), $$\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n.$$
• Exponentielle complexe : Pour tout $z \in \mathbb{C}$, $$\exp(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}.$$

À retenir : Une fonction est développable en série entière autour de 0 si elle s'exprime comme une somme infinie de puissances de $x$ convergente sur un intervalle contenant 0. Les développements usuels permettent d'exprimer de nombreuses fonctions classiques sous forme de séries entières avec un rayon de convergence précis.