CHP 1 Électricité - Le régime monophasé

1. Description des grandeurs sinusoïdales

Une grandeur sinusoïdale, comme une tension ou un courant, s’écrit généralement sous la forme :

$$u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)$$

• $U_m$ : amplitude maximale (en volts ou ampères)
• $\omega$ : pulsation (rad/s), avec $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$
• $\varphi$ : phase initiale (rad)
• $\omega t + \varphi$ : phase instantanée (rad)

On peut aussi utiliser la forme sinus :

$$u(t) = U_m \sin(\omega t + \varphi)$$

Le déphasage temporel $\varphi$ peut s’exprimer en fonction d’un décalage temporel $\tau$ :

$$\varphi = \frac{2\pi}{T} \tau$$

2. Valeurs caractéristiques d’une grandeur périodique

• La valeur efficace correspond à la valeur d’un courant continu produisant la même puissance dissipée par effet Joule qu’un courant alternatif.
• En électrotechnique, on utilise toujours la valeur efficace (ex : réseau domestique à 230 V correspond à $U_{eff}$).

La valeur efficace est la racine carrée de la moyenne du carré de la grandeur sur une période.

3. Rappels sur les nombres complexes

• Un nombre complexe s’écrit : $$z = a + jb$$ avec $j^2 = -1$, $a,b \in \mathbb{R}$
• Sa forme polaire : $$z = r e^{j\theta} = r(\cos \theta + j \sin \theta)$$ où $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ (module) et $\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ (argument)

4. Notation complexe des grandeurs sinusoïdales

• La tension et le courant sinusoïdaux s’écrivent sous forme de phasors (amplitudes complexes) : $$U = U e^{j \varphi_1}, \quad I = I e^{j \varphi_2}$$
• En général, la tension est prise comme référence de phase, donc $\varphi_1 = 0$.
• Travailler avec ces nombres complexes simplifie les calculs (relations linéaires au lieu d’équations différentielles).

5. Représentation vectorielle (vecteurs de Fresnel)

• Toute grandeur sinusoïdale correspond à un vecteur dans le plan complexe, appelé vecteur de Fresnel, de module égal à l’amplitude (ou valeur efficace) et d’angle égal à la phase instantanée.
• La projection de ce vecteur sur l’axe réel (Ox) donne la valeur instantanée de la grandeur.
• Par convention, on représente souvent les vecteurs à $t=0$ avec comme module la valeur efficace.
• Le déphasage $\varphi$ entre tension et courant est l’angle entre leurs vecteurs respectifs.

⚠ Dans un même diagramme de Fresnel, seules des grandeurs de même pulsation peuvent être représentées.

6. Addition et soustraction de grandeurs sinusoïdales

• La somme de deux sinusoïdes de même pulsation : $$u_1(t) = \frac{U_1}{\sqrt{2}} \cos(\omega t + \varphi_1), \quad u_2(t) = \frac{U_2}{\sqrt{2}} \cos(\omega t + \varphi_2)$$ est une sinusoïde de même pulsation : $$u(t) = \frac{U}{\sqrt{2}} \cos(\omega t + \varphi)$$
• La résultante s’obtient par addition vectorielle des vecteurs de Fresnel : $$\mathbf{U} = \mathbf{U}_1 + \mathbf{U}_2$$
• Cette opération est plus simple graphiquement ou en utilisant les nombres complexes.

À retenir :
Toute grandeur sinusoïdale peut être représentée par un nombre complexe (phasor) dont le module est la valeur efficace et l’argument le déphasage, ce qui facilite les calculs en régime sinusoïdal.

1. Dipôles en alternatif

Un dipôle soumis à un régime alternatif sinusoïdal est caractérisé par un déphasage entre la tension $u(t)$ et le courant $i(t)$.

2. Réactance et déphasage

• Les dipôles à réactance positive et déphasage positif sont dits inductifs.
• Les dipôles à réactance négative et déphasage négatif sont dits capacitifs.

Le déphasage $\varphi$ caractérise la nature du dipôle :

• $\varphi = 0$ → résistif
• $\varphi > 0$ → inductif
• $\varphi < 0$ → capacitif

1. Puissance en régime monophasé

a) Convention de signe

• Convention récepteur : puissance positive → système reçoit de la puissance, puissance négative → système fournit de la puissance.
• Convention générateur : inverse de la convention récepteur.

b) Puissance instantanée

$$p(t) = u(t) \cdot i(t)$$

c) Puissance active (puissance moyenne)

• Définition : puissance moyenne sur une période $T$.

$$P = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} p(t) \, dt$$

• En régime sinusoïdal, avec

  $$u(t) = U \sqrt{2} \cos \omega t, \quad i(t) = I \sqrt{2} \cos(\omega t + \varphi)$$

  la puissance active est :

  $$P = U I \cos \varphi$$

• Unité : Watt (W)

• Représente l'énergie réellement consommée (travail mécanique, chaleur, etc.).

d) Puissance apparente et facteur de puissance

• Puissance apparente :

  $$S = U I$$

  en Volt-Ampère (VA).

• Facteur de puissance :

  $$k = \frac{P}{S} = \cos \varphi$$

• La puissance apparente caractérise la dimension des conducteurs et l'isolation.

• Puissance apparente complexe :

  $$\mathbf{S} = U I^*$$

  où $I^*$ est le conjugué complexe de $I$.

e) Puissance réactive en régime sinusoïdal

• Définition :

  $$Q = U I \sin \varphi$$

  en Volt-Ampère Réactif (VAR).

• Relation fondamentale :

  $$S^2 = P^2 + Q^2$$

• Autres formules utiles :

  $$Q = P \tan \varphi, \quad Q = S \sin \varphi, \quad \mathbf{S} = P + jQ$$

f) Interprétation physique des puissances

• La puissance réactive correspond aux échanges d'énergie périodiques (moyenne nulle) entre source et éléments inductifs ou capacitifs.
• Exemple : charge purement inductive → $P=0$, $Q=S=UI$, $\cos \varphi = 0$.
• La puissance apparente dimensionne la ligne électrique, qui supporte les échanges d'énergie et les pertes Joule.
• Facteur de puissance faible → pertes Joule élevées → EDF impose un facteur minimal (actuellement 0,93) sous peine de pénalités.
• Relèvement du facteur de puissance : ajout de condensateurs en parallèle sur la charge inductive (ne consomme pas de puissance active).

g) Théorème de Boucherot

• À fréquence constante, la puissance active et la puissance réactive se conservent dans un réseau :

  $$P = \sum_k P_k, \quad Q = \sum_k Q_k$$

• Attention : la puissance apparente ne se conserve pas :

  $$S \neq \sum_k S_k$$

• Valable pour toute association série, parallèle ou mixte de dipôles.

À retenir : En régime sinusoïdal monophasé, la puissance active $P = UI \cos \varphi$ représente l'énergie utile consommée, la puissance réactive $Q = UI \sin \varphi$ traduit les échanges d'énergie non consommée, et la puissance apparente $S = UI$ sert au dimensionnement des équipements. Le facteur de puissance $\cos \varphi$ mesure l'efficacité énergétique du système.