Conservation d'énergie mécanique

1. Énergie mécanique

L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle.

• Énergie cinétique ($E_c$) : énergie liée au mouvement d'un corps.

  $$E_c = \frac{1}{2} m v^2$$

  où $m$ est la masse du corps et $v$ sa vitesse.

• Énergie potentielle ($E_p$) : énergie liée à la position d'un corps dans un champ de forces conservatives.

  • Pour un champ gravitationnel proche de la surface terrestre :

    $$E_p = m g h$$

    où $g$ est l'accélération due à la pesanteur et $h$ la hauteur par rapport à une référence.

2. Énergie mécanique totale ($E_m$)

$$E_m = E_c + E_p$$

1. Force conservative

Une force est conservative si le travail qu'elle effectue entre deux points ne dépend que des positions initiale et finale, pas du chemin suivi.

• Exemple : force de pesanteur, force élastique (ressort).
• Le travail d'une force conservative peut être exprimé comme la variation d'une énergie potentielle.

2. Force non conservative

Une force est non conservative si le travail dépend du chemin parcouru.

• Exemple : forces de frottement, force de résistance de l'air.
• Ces forces dissipent de l'énergie mécanique sous forme de chaleur ou autres formes.

1. En l'absence de forces non conservatives

Dans un système isolé soumis uniquement à des forces conservatives, l'énergie mécanique totale est constante au cours du temps :

$$E_m = E_c + E_p = \text{constante}$$

Cela signifie que toute variation d'énergie cinétique est compensée par une variation d'énergie potentielle.

2. Formulation différentielle

$$\frac{d}{dt}(E_c + E_p) = 0$$

1. Cas d'un objet en chute libre sans frottement

• Au point le plus haut : $v=0$, $E_c=0$, $E_p = mgh$
• Au point le plus bas : $h=0$, $E_p=0$, $E_c = \frac{1}{2} m v^2$
• Conservation : $mgh = \frac{1}{2} m v^2$

2. Cas d'un pendule simple sans frottement

• L'énergie mécanique oscille entre énergie cinétique maximale au point bas et énergie potentielle maximale aux points extrêmes.
• $E_m$ reste constante.

1. Théorème de l'énergie cinétique

Le travail total $W$ des forces appliquées à un système est égal à la variation de son énergie cinétique :

$$W = \Delta E_c$$

2. Travail des forces conservatives

Le travail des forces conservatives est égal à la variation négative de l'énergie potentielle :

$$W_{\text{conservative}} = -\Delta E_p$$

3. Relation globale

$$W_{\text{tot}} = \Delta E_c = W_{\text{conservative}} + W_{\text{non conservative}} = -\Delta E_p + W_{\text{non conservative}}$$