Contrôle de gestion

1. La comptabilité de gestion

a) Définition

• Comptabilité de gestion (ou analytique) : système d’information quantitatif, souvent en valeur monétaire, aidant le dirigeant à prendre des décisions.
• Gestion : action efficace visant à atteindre un objectif en optimisant les ressources.
• Management : atteindre un objectif par l’intermédiaire d’autres personnes (pilotage).

La comptabilité de gestion est un système d’information quantitatif destiné à éclairer les décisions du manager.

b) Objectifs

1. Analyse des coûts et résultats : évaluer la rentabilité par produit ou activité.
2. Valorisation des stocks : calculer le coût d’achat ou de production pour valoriser les stocks.
3. Prévisions budgétaires : modéliser les coûts fixes et variables pour établir des budgets.
4. Aide à la prise de décision : fournir des informations analytiques pour arbitrer (ex : externalisation).
5. Contrôle budgétaire : calcul et analyse des écarts entre prévisions et réalisations.

c) Typologie des charges et coûts

d) Typologie des coûts (PCG 1982)

e) Coûts spécifiques

• Coût perdu : coût irrécouvrable, déjà engagé et non récupérable.
• Coût d’opportunité : manque à gagner lié à un choix alternatif.
• Coût discrétionnaire : coût fixe dépendant d’une décision volontaire.

f) Méthodes de calcul des coûts

• Coûts complets : intègrent toutes les charges (directes et indirectes).
  • Traitement des charges indirectes via centres d’analyse et unités d’œuvre.
  • Exemple : méthode traditionnelle des centres d’analyse.
• Méthode ABC (Activity Based Costing) : méthode moderne de coûts complets basée sur les activités, utilisant des inducteurs de coûts.
• Coûts partiels : ne prennent en compte qu’une partie des charges (ex : coûts variables).
  • Utile pour la gestion opérationnelle et la prise de décision.

g) Articulation avec la comptabilité financière

• La comptabilité financière est obligatoire, structurée par nature des charges (classe 6).
• La comptabilité de gestion découle souvent de la comptabilité financière, mais avec retraitements (charges non incorporables, charges supplétives).
• Charges non incorporables : charges comptabilisées en comptabilité financière mais exclues en gestion (ex : provisions exceptionnelles).
• Charges supplétives : charges non comptabilisées en comptabilité financière mais intégrées en gestion (ex : rémunération fictive du dirigeant non salarié).
• Bouclage du résultat :
  Charges financières + charges supplétives – charges non incorporables = charges en comptabilité de gestion
  Somme des résultats analytiques + différences de traitement = résultat comptable.

2. Le contrôle de gestion

a) Définition

• Ensemble de procédures permettant à la direction de s’assurer que les objectifs sont atteints de manière efficiente.
• Art de piloter les comportements des acteurs pour assurer la convergence des buts.

b) Concepts clés

• Efficacité : atteindre un objectif.
• Efficience : atteindre un objectif en minimisant les ressources utilisées.
• Contrôle : double dimension
  • Vérification (ex post)
  • Maîtrise (pilotage, incitation)

Le contrôle de gestion est un processus cyclique : prévision → évaluation → contrôle par rétroaction.

c) Relations avec la comptabilité de gestion

• La comptabilité de gestion est un système d’information quantitatif.
• Le contrôle de gestion est un processus plus large, incluant des aspects organisationnels, psychosociologiques et décisionnels.
• Le contrôle de gestion utilise des informations comptables mais aussi non comptables (qualité, délais, satisfaction client).

d) Objectifs du contrôle de gestion

• Veiller à la rentabilité minimale (contraintes financières).
• Intégrer des objectifs qualitatifs et quantitatifs selon la stratégie (domination par les coûts vs différenciation).
• Prendre en compte les parties prenantes et les enjeux sociétaux.
• Évaluer les performances et localiser leurs sources (benchmarking interne et externe).

e) Contrôle de gestion comme outil cybernétique

• Système de régulation par rétroaction (feed-back) permettant d’ajuster les décisions en fonction des écarts entre objectifs et résultats.
• Fonctionne comme un thermostat : détecte l’écart, déclenche des actions correctrices.
• Nécessite un système d’information fiable et une organisation hiérarchique pour la remontée des informations.

f) Le métier de contrôleur de gestion

• Organise les procédures d’information et de contrôle.
• Produit des états de contrôle : budgets, tableaux de bord, reporting.
• Supporte le pilotage des unités opérationnelles et la prise de décision.
• N’est pas un gestionnaire opérationnel ni un décideur stratégique, mais un facilitateur.

g) Distinctions importantes

h) Outils du contrôle de gestion

• Informations comptables et financières (comptabilité de gestion).
• Statistiques physiques (volumes, rendements).
• Indicateurs qualitatifs (satisfaction client, qualité).
• États périodiques : contrôle budgétaire, tableaux de bord, reporting.
• Système hiérarchisé : informations détaillées en bas, synthétiques en haut.

i) Approches du contrôle de gestion

j) Influence du contexte

• La taille, la technologie, l’environnement et la finalité de l’organisation influencent la conception du contrôle de gestion.
• Secteur privé : maximisation du résultat.
• Secteur public : équilibre des comptes et objectifs d’intérêt général.

k) Théories des organisations appliquées au contrôle de gestion

Le contrôle de gestion est un outil de régulation des comportements, visant à aligner les objectifs individuels et organisationnels via un système d’information et de communication efficace.

1. Les étapes de calcul du coût complet

• Objectifs du calcul des coûts complets :

  • Évaluer la rentabilité globale d’une activité (coût de revient vs chiffre d’affaires).
  • Valoriser les stocks (matières, produits finis) au coût complet pour la comptabilité financière.

• Processus de production et coûts complets :

  • Calcul du coût complet des matières premières stockées.
  • Calcul du coût complet des produits intermédiaires stockés (si applicable).
  • Calcul du coût complet des produits finis stockés.
  • Calcul du coût de revient des produits finis vendus.

• Impact des variations de stocks :

  • Variation de stocks = Stock initial – Stock final.
  • Variation de stocks influence le calcul du résultat et des coûts complets.
  • Exemple : calcul du coût moyen pondéré pour valoriser les sorties et stocks.

• Ordre des calculs :

  1. Coût des approvisionnements.
  2. Fiche de stock des matières ou marchandises.
  3. Coût de production.
  4. Fiche de stock des produits finis.
  5. Coût de revient des produits vendus.

Le calcul du coût complet nécessite d’additionner charges directes (affectées) et charges indirectes (réparties).

2. Le traitement des charges indirectes

• Différence entre charges directes et indirectes :

  • Charges directes : affectées directement aux coûts.
  • Charges indirectes : réparties sur des centres d’analyse avant imputation.

• Centres d’analyse :

  • Découpage de l’activité en centres homogènes (une seule activité par centre).
  • Deux types de centres :
    • Centres principaux : liés directement à la production.
    • Centres auxiliaires : services supports (ex. : administration).

• Répartition des charges indirectes :

  • Répartition primaire : charges indirectes réparties sur tous les centres.
  • Répartition secondaire : charges des centres auxiliaires refacturées aux centres principaux.

• Unités d’œuvre :

  • Variable représentative de l’activité du centre (ex. : heure machine, chiffre d’affaires).
  • Choix basé sur le meilleur coefficient de corrélation linéaire entre charges et unité d’œuvre.
  • Coût de l’unité d’œuvre = Total charges indirectes / Nombre total d’unités d’œuvre.
  • Taux de frais = Coût indirect / Base monétaire (ex. % du chiffre d’affaires).

• Imputation aux produits :

  • Proportionnelle au nombre d’unités d’œuvre consommées par chaque produit.

3. Les différents types de coûts

• Tenue des comptes de stocks :

  • Inventaire permanent : enregistrement régulier des entrées/sorties en quantité et valeur.
  • Valorisation des sorties selon méthodes : CMUP, PEPS (FIFO), DEPS (LIFO, non admis comptablement).
  • Variation de stocks calculée pour ajuster consommation et production stockée.

• Variations de stocks :

  • Éléments achetés : Variation = Stock initial – Stock final (impact sur charges).
  • Éléments produits : Variation = Stock final – Stock initial (impact sur produits).

• Résultat analytique :

  • Résultat = Chiffre d’affaires – Coût complet de revient.
  • Marge = Chiffre d’affaires – Coût partiel (différents types selon coûts retenus).

4. Corrélation et prestations réciproques

• Coefficient de corrélation linéaire (r) :

  • Mesure la force et la direction de la relation linéaire entre deux variables.
  • Valeurs entre –1 et 1 ; proche de ±1 indique forte corrélation.
  • Utilisé pour valider le choix d’une unité d’œuvre.

• Ajustement linéaire (régression) :

  • Modèle : Y = aX + b
  • Coefficient de détermination (r²) mesure la qualité du modèle (proche de 1 = bon ajustement).
  • Permet de prévoir Y à partir de X.

• Prestations réciproques entre centres :

  • Centres fournissant mutuellement des services nécessitent la résolution d’un système d’équations.
  • Exemple avec deux centres C et D :
    • 1000c = 19500 + 50d
    • 500d = 3000 + 100c
  • Résolution par substitution donne coût unitaire de chaque centre.

En cas de plusieurs centres en interaction, résoudre un système de n équations à n inconnues.

1. La genèse de la méthode ABC

Coût complet (PCG 1982) : totalité des charges imputables à un produit/service, base du coût de revient.
Utilité : pilotage stratégique, fixation prix, gestion portefeuille, décisions d’abandon.

Problème fondamental : attribution des charges indirectes (concernant plusieurs produits) aux objets de coût.
Méthode traditionnelle = centres d’analyse (sections homogènes) → découpage fonctionnel, homogénéité souvent non respectée.
Méthode ABC (années 1980 USA, 1990 France) = découpage en activités, meilleure analyse des charges indirectes.

a) Contexte économique et limites du modèle traditionnel

Le modèle traditionnel est adapté aux entreprises industrielles stables avec stocks. Il devient inadapté pour les entreprises sans stocks ou en flux tendu (ex : toyotisme, tertiaire).

b) Risques liés au calcul du coût complet traditionnel

• Charges indirectes croissantes → arbitraire dans l’imputation, distorsions importantes.
• Hétérogénéité des centres d’analyse → centres mal définis, unités d’œuvre non pertinentes.
• Unités d’œuvre volumiques souvent retenues par facilité, inadaptées à la diversité des productions.
• Subventionnement croisé : surévaluation du coût d’un produit au détriment d’un autre (ex : produits standards subventionnent produits différenciés).

2. La méthode ABC : une nouvelle approche

a) Principes clés

• Découpage de l’entreprise en activités (ensemble de tâches coordonnées consommant des ressources pour produire).
• Les charges indirectes sont analysées selon ces activités, non plus seulement réparties arbitrairement.
• Les produits consomment des activités, qui elles-mêmes consomment des ressources.
• L’ABC s’inscrit dans une vision stratégique, inspirée de la chaîne de valeur de Porter, mettant en lumière les activités créatrices de valeur.

b) Vocabulaire comparatif

3. Mise en œuvre de la méthode ABC

a) Étapes principales

1. Identification des activités : recensement via entretiens avec opérationnels, pour comprendre les processus et ressources consommées.

2. Évaluation des ressources consommées par activité : quantification des charges indirectes affectées à chaque activité.

3. Choix des inducteurs d’activité : indicateurs mesurant la consommation des activités par les objets de coût (produits, clients, projets).

   • Inducteurs doivent refléter la causalité.
   • Souvent, plusieurs inducteurs possibles → choix pragmatique ou statistique (corrélation).

4. Simplification de la carte des activités :

   • Élimination des activités peu consommatrices.
   • Regroupement des activités partageant un même inducteur pour simplifier les calculs.

b) Synthèse du calcul ABC

• Répartition des charges indirectes sur activités selon consommation de ressources.
• Imputation des coûts d’activités aux produits selon consommation d’inducteurs.
• Souvent, l’ABC est un approfondissement du découpage des centres d’analyse, pas une méthode totalement différente.

4. Appréciation critique de la méthode ABC

Limites et difficultés :

• Ambiguïté de la notion d’activité.
• Résistance humaine à la mise en place (remise en cause des compétences, pouvoir).
• Risque de complexité excessive (« usine à gaz ») → nécessité d’arbitrage simplicité/complexité.
• Méthode proche de la méthode traditionnelle si bien appliquée (homogénéité des centres).
• Difficulté à appliquer dans les entreprises avec stocks importants (impossibilité de regrouper certaines charges).
• Inducteurs non volumiques souvent conduisent à des répartitions en deux temps complexes.

Points forts :

• Meilleure compréhension des coûts indirects par analyse causale.
• Adaptée aux entreprises tertiaires ou en flux tendu sans stocks.
• Intègre une vision stratégique (ABM) : gestion des activités pour optimiser valeur/coût, reengineering, benchmarking.

À retenir : La méthode ABC est une évolution de la méthode traditionnelle des centres d’analyse, centrée sur l’analyse des activités et des inducteurs de coûts, permettant une meilleure compréhension et maîtrise des charges indirectes, particulièrement adaptée aux environnements complexes et diversifiés.

1. L’imputation rationnelle des charges fixes

a) Principe de l’imputation rationnelle

• Imputation rationnelle : méthode indépendante de la méthode de calcul du coût complet (ABC ou centres d’analyse). Elle est essentielle en cas de sous-activité pour évaluer correctement les stocks.
• Niveau d’activité normal : ni sous-activité ni suractivité. Dans ce cas, charges fixes et variables ne sont pas distinguées dans le calcul des coûts complets.
• Impact du niveau d’activité : le coût unitaire varie avec l’activité car les charges fixes restent constantes tandis que les charges variables varient proportionnellement.

b) Comportement du coût unitaire selon l’activité

• Exemple : usine conçue pour 100 tonnes/mois
  • Charges variables = 200 000 €
  • Charges fixes = 100 000 €
  • Coût unitaire normal = (200 000 + 100 000) / 100 = 3 000 €/tonne
  • Coût variable unitaire = 2 000 €/tonne (constant)
  • Coût fixe unitaire = 1 000 €/tonne (variable selon activité)
• Sous-activité (80 tonnes) : charges variables = 160 000 €, charges fixes = 100 000 €, coût unitaire = 3 250 €/tonne (augmentation)
• Suractivité (120 tonnes) : charges variables = 240 000 €, charges fixes = 100 000 €, coût unitaire = 2 833 €/tonne (diminution)
• Formule générale : $$CU = 2000 + \frac{100000}{AR}$$ où CU = coût unitaire, AR = activité réelle.

c) Difficulté d’interprétation des résultats

• Résultat = chiffre d’affaires – charges totales
• En sous-activité, résultat négatif peut masquer un produit intrinsèquement rentable mais pénalisé par le coût de sous-activité.
• En suractivité, résultat positif peut être conjoncturel et non durable (risques liés à la surcharge).
• Il faut distinguer :
  • Résultat analytique rationnel : résultat normal corrigé des effets d’activité.
  • Coût de sous-activité (CsA) ou gain de suractivité (GSA) : coûts ou gains liés à la variation d’activité.

d) Coût d’imputation rationnelle

• Formule du coût total d’imputation rationnelle : $$\text{Coût total} = \text{Charges variables} + \left(\text{Charges fixes} \times \frac{\text{activité réelle}}{\text{activité normale}}\right)$$
• Coefficient d’imputation rationnelle = activité réelle / activité normale
  • = 1 en activité normale
  • < 1 en sous-activité (fraction des charges fixes imputée)

  • 

    1 en suractivité (charges fixes imputées majorées)

• Le coût unitaire d’imputation rationnelle devient indépendant du niveau réel d’activité, égal au coût unitaire normal.

e) Différence d’imputation rationnelle (DIR)

• Définition : $$DIR = \text{Charges fixes} \times (1 - \text{coefficient d’activité})$$
• En sous-activité, DIR > 0 → coût de sous-activité (CsA) ou surcoût.
• En suractivité, DIR < 0 → gain de suractivité (GSA) ou boni.
• Exemple :
  Sous-activité 80 % → CsA = 100 000 × (1 – 0,8) = 20 000 €
• Résultat réel = résultat analytique rationnel ± DIR.

À retenir : L’imputation rationnelle permet de neutraliser l’effet conjoncturel de la variation d’activité sur le coût unitaire fixe, facilitant ainsi l’analyse réelle de la rentabilité.

f) Application aux centres d’analyse

• L’imputation rationnelle s’applique à chaque centre d’analyse, car les coefficients d’activité varient selon les centres.
• Charges fixes et variables doivent être distinguées par centre.
• En pratique, prévoir deux colonnes par centre dans le tableau de répartition : charges fixes imputées rationnellement et charges variables.
• Ordre d’application : généralement, l’imputation rationnelle est faite après la répartition secondaire pour éviter des effets multiplicateurs.

2. Synthèse des notions clés

3. Points importants

• L’imputation rationnelle est indispensable pour analyser les résultats en cas de sous- ou suractivité.
• Elle permet de distinguer le résultat intrinsèque du produit et l’effet conjoncturel lié à l’activité.
• Elle s’applique au niveau des centres d’analyse, avec des coefficients d’activité propres.
• Le coût unitaire rationnel est stable et reflète la performance normale de l’entreprise.
• Le contrôle de gestion doit intégrer ces notions pour éviter des décisions erronées (ex. abandon d’un produit rentable mais en sous-activité).

1. Principes des coûts partiels

Les méthodes de coûts partiels incluent uniquement les charges affectables sans ambiguïté (traçables) et contrôlables par les décideurs. Elles excluent les charges indirectes non maîtrisables.

• Les charges peuvent être variables ou fixes selon l'horizon d'analyse (ex. personnel variable à long terme, fixe à court terme).
• En pratique, on assimile souvent charges variables = charges directes et charges fixes = charges indirectes, simplification utile mais approximative.

À retenir : Les coûts partiels ne concernent qu’une ou plusieurs catégories de charges, facilitant la prise de décision opérationnelle.

2. Méthode des coûts variables

a) Définition

Le coût variable regroupe les charges qui varient proportionnellement au volume d’activité (production/vente).

• Coût variable total = a × X (X = volume d’activité, a = coût variable unitaire)
• Coût fixe total = b (constant par palier)
• Coût variable unitaire = a (constant)
• Coût fixe unitaire = b / X (varie inversement avec l’activité)

b) Marges sur coûts variables (Mcv)

• Taux de marge sur coûts variables : $$T_{mcv} = \frac{\text{Marge sur coûts variables}}{\text{Chiffre d’affaires}}$$

c) Intérêts

• Simplicité et rapidité de calcul.
• Facilite le contrôle dans les centres de responsabilité.
• Permet l’analyse du risque d’exploitation (seuil de rentabilité, marge de sécurité).
• Aide à la prise de décision à court terme (abandon, maintien, développement).

d) Limites

• Supposition de proportionnalité entre coûts et volume souvent simpliste.
• Ne prend pas en compte les charges de structure ni les aspects stratégiques.
• Stocks évalués au coût complet, pas au coût variable.
• Méthode adaptée au court terme, peu pertinente pour décisions stratégiques.

3. Méthode des coûts spécifiques

a) Définition

La méthode des coûts spécifiques intègre :

• Charges variables (directes et indirectes)
• Charges fixes spécifiques (directes, rattachables sans ambiguïté à un objet de coût)

Elle exclut les charges fixes communes (charges de structure).

b) Marge sur coûts spécifiques (Mcs)

• Permet d’étudier la contribution d’un produit à la couverture des charges fixes communes.
• Calcul du seuil de rentabilité spécifique : chiffre d’affaires minimal pour que Mcs soit positive.

c) Intérêts

• Plus précis que la méthode des coûts variables.
• Permet des décisions plus fines sur maintien/abandon.
• Calcul du seuil de rentabilité spécifique.

d) Limites

• Similaires à la méthode des coûts variables.
• Stocks doivent être évalués au coût complet.
• Nécessite une bonne identification des charges fixes spécifiques.

4. Le coût marginal

a) Définition

Le coût marginal est la variation du coût total liée à la production d’une unité supplémentaire (ou d’un lot supplémentaire) :

$$\text{Coût marginal} = \frac{\Delta CT}{\Delta Q}$$

• Outil ponctuel pour décisions exceptionnelles (acceptation de commandes, fixation de prix).
• Montre la réalité des rendements décroissants.

b) Cas 1 : Structure suffisante

• Pas d’investissement supplémentaire.
• Coût marginal = coût variable unitaire de l’unité supplémentaire.

c) Cas 2 : Structure insuffisante

• Investissement nécessaire.
• Coût marginal = coût variable unitaire + coût de la structure supplémentaire.

d) Intérêts

• Décision d’acceptation de production supplémentaire.
• Politique de prix différenciés (yield management).
• Comparaison avec coût de sous-traitance.
• Fixation de prix de cession interne.

e) Limites

• Difficulté à mesurer précisément le coût d’une unité supplémentaire.
• Risque d’accepter des offres nuisibles à la rentabilité globale.
• Nécessite pérennité en cas d’investissement.
• Modèle purement volumique, ignore autres facteurs de coûts.

À retenir : Le coût marginal est un outil d’aide à la décision ponctuelle, à compléter par une analyse stratégique.

5. Synthèse des méthodes de coûts partiels

À retenir : Les coûts partiels facilitent la prise de décisions opérationnelles et la prévision, mais ne sont pas adaptés à la fixation des prix de vente ni aux décisions stratégiques à long terme.

1. Le modèle coût-volume-profit (CVP)

Le modèle CVP est un outil simple mais puissant pour analyser la relation entre coûts, volume d’activité et profit. Il permet notamment de déterminer le seuil de rentabilité, d’apprécier le risque d’exploitation et d’optimiser la politique de prix.

1. Seuil de rentabilité (SR)

• Définition : niveau de ventes (en valeur ou volume) pour lequel le résultat est nul.
• Formules :

$$X = \frac{CF}{a} \quad ; \quad Q = \frac{CF}{aP}$$

• Le SR correspond au point où la marge sur coûts variables couvre les coûts fixes.

2. Représentations graphiques

• Trois méthodes pour déterminer graphiquement le SR :
  1. Intersection entre Mcv et CF.
  2. Résultat = 0 (Mcv - CF = 0).
  3. Chiffre d’affaires = charges totales (charges fixes + charges variables).

3. Indicateurs du risque

À retenir : Le levier opérationnel exprime l’élasticité du résultat par rapport au chiffre d’affaires. Il est élevé près du seuil de rentabilité (risque élevé mais forte opportunité de profit).

1. Élasticité prix de la demande

• Définition : mesure la sensibilité de la demande à une variation du prix.

$$e_{D/P} = \frac{\Delta D / D}{\Delta P / P}$$

• Pour un bien normal, $e_{D/P} < 0$ (prix ↑ → demande ↓).
• Exemple : $e_{D/P} = -1,8$ signifie qu’une hausse de 10% du prix entraîne une baisse de 18% de la demande.

2. Recherche du prix optimum

• Le résultat s’exprime en fonction du prix $p$ et de la demande $d$ (variation relative) :

$$R(p) = P(1+p) \times D(1+d) - CV(D(1+d)) - CF$$

avec $d = e_{D/P} \times p$.

• En développant et dérivant $R(p)$, on trouve le prix $p$ qui maximise le résultat (extremum où $R'(p) = 0$).

• Exemple : si $e_{D/P} = -1,8$, le prix optimal est une augmentation de 7,78% du prix initial.

3. Zone de profitabilité

• Intervalle des prix pour lesquels le résultat est positif.
• Se détermine par les racines du polynôme $R(p)$.
• Exemple : pour un prix de base 50€, la zone de profitabilité peut être entre 41,48€ et 66,30€.

À retenir : Le prix optimal maximise le résultat en tenant compte de la réaction de la demande aux variations de prix.

1. Variables aléatoires : définitions et types

• Variable aléatoire : fonction associant à chaque issue d'une expérience une valeur numérique.
• Variables aléatoires discrètes : ensemble des valeurs possibles dénombrable (ex. nombre de commandes).
• Variables aléatoires continues : valeurs possibles infinies sur un intervalle réel.

2. Variables aléatoires discrètes

a) Loi de probabilité (fonction de distribution)

• Associe à chaque valeur $x_i$ la probabilité $P(X = x_i)$.
• Somme des probabilités = 1.
• Représentation : tableau ou diagramme en bâtons.

b) Fonction de répartition $F(x)$

• $F(x) = P(X \leq x)$, fonction croissante de 0 à 1.
• Probabilités sur intervalles : $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$.

c) Caractéristiques principales

3. Variables aléatoires continues

• La probabilité d'une valeur ponctuelle est nulle : $P(X = x) = 0$.
• Définies par :
  • Fonction de répartition $F(x) = P(X \leq x)$, croissante de 0 à 1.
  • Densité de probabilité $f(x) = F'(x)$, avec $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$.
• Probabilité sur un intervalle : $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.

4. Propriétés des espérances et variances (discrètes ou continues)

5. Loi normale

• Modélise la somme de nombreuses causes indépendantes.
• Paramètres : moyenne $m$, écart-type $\sigma$.
• Notation : $X \sim N(m, \sigma)$.
• Loi normale centrée réduite : $T = \frac{X - m}{\sigma} \sim N(0,1)$.
• Propriétés :
  • $\pi(t) = P(T \leq t)$ (fonction de répartition).
  • Symétrie : $\pi(-t) = 1 - \pi(t)$.

a) Somme et différence de variables normales indépendantes

6. Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite

• Table donne $\pi(t) = P(T \leq t)$ pour $t \geq 0$.
• Pour $t < 0$, utiliser $\pi(t) = 1 - \pi(-t)$.
• Permet de calculer des probabilités et quantiles.

7. Application en contrôle de gestion : appréciation du risque

• Variables aléatoires modélisent incertitudes (ex. volume de ventes $X \sim N(m, \sigma)$).
• Calculs de probabilités pour seuils critiques (seuil de rentabilité, objectifs).
• Transformation affine pour CA, marge, résultat :

$$\begin{cases} CA = pv \times X \sim N(pv \times m, pv \times \sigma) \\ Mcv = mcv \times X \sim N(mcv \times m, mcv \times \sigma) \\ R = Mcv \times X - CF \sim N(mcv \times m - CF, mcv \times \sigma) \end{cases}$$

• Probabilités calculées via loi normale centrée réduite.

8. Résumé des formules clés

À retenir : La loi normale est centrale en contrôle de gestion pour modéliser les incertitudes et calculer les probabilités associées aux résultats financiers.

9. Notions complémentaires

• Fonction de répartition : toujours croissante, $F(-\infty) = 0$, $F(+\infty) = 1$.
• Écart-type : mesure du risque, plus il est grand, plus le risque est élevé.
• Indépendance : simplifie le calcul des variances (somme des variances).
• Covariance : mesure la dépendance entre variables, impacte la variance de leur somme.