Dérivation et Fonctions

1. Notion de dérivée

• Coefficient directeur d'une droite (AB) :
  $G = \frac{y_b - y_a}{x_b - x_a} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

• Définition de la dérivée en un point $x=a$ :
  La dérivée $f'(a)$ est la limite du coefficient directeur de la droite passant par $(a, f(a))$ et $(x, f(x))$ quand $x \to a$ :

  $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{dy}{dx}$$

• Interprétation géométrique :
  La droite passant par $(a, f(a))$ avec ce coefficient directeur est la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

2. Équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $x=b$

• Si la tangente $(T)$ a pour coefficient directeur $f'(b)$, son équation est : $$y = f'(b)(x - b) + f(b)$$

3. Règles de calcul des dérivées

4. Exemples de dérivation

À retenir : La dérivée d'une fonction en un point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.

1. Règles de calcul des dérivées

a) Dérivée des fonctions usuelles

b) Règles de dérivation

• Somme : $(f + g)' = f' + g'$
• Produit : $(f \cdot g)' = f' g + f g'$
• Quotient : $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$ (avec $g \neq 0$)
• Composition : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

c) Exemples concrets

• $f(x) = 2x \implies f'(x) = 2$
• $f(x) = 5x^4 \implies f'(x) = 20x^3$
• $f(x) = e^{4x^3} \implies f'(x) = 12x^2 e^{4x^3}$ (car $u(x) = 4x^3$, $u'(x) = 12x^2$)
• $f(x) = \ln(3x^2 + 2) \implies f'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 2}$
• $f(x) = 8 \ln(5x^3) \implies f'(x) = 8 \cdot \frac{15x^2}{5x^3} = 24/x$

d) Dérivée de fonctions logarithmes et exponentielles

• Fonction exponentielle : $f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x$
• Fonction logarithme népérien : $f(x) = \ln x$ (définie pour $x > 0$)
  $\implies f'(x) = \frac{1}{x}$

À retenir : La dérivée d'une fonction composée s'obtient en multipliant la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure par la dérivée de la fonction intérieure.

1. Propriétés clés de la fonction exponentielle

• Relation réciproque avec le logarithme népérien :
  Si $y = e^x$, alors $x = \ln y$.
  On a donc :

  $$\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln x} = x$$

• Inégalité de croissance :
  Pour $a > b$, on a :

  $$e^a > e^b \quad \text{et} \quad \ln a > \ln b$$

• Propriété fondamentale d'addition :

  $$e^{a+b} = e^a \times e^b$$

• Conséquence sur l'inverse :

  $$e^{-a} = \frac{1}{e^a}$$

2. Tableau de variation de $f(x) = e^x$

3. Fonction logarithme népérien $\ln x$

• Définition : La fonction $\ln x$ est définie sur $]0, +\infty[$, strictement croissante, et vérifie :

  $$\ln 1 = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$$

• Dérivée :

  $$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$

• Problème initial : Il n'existe pas de fonction dont la dérivée soit $y = \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}$, d'où la définition de $\ln x$ sur $]0, +\infty[$.

4. Propriétés fondamentales du logarithme

La fonction exponentielle et le logarithme népérien sont des fonctions réciproques strictement croissantes, liées par les relations $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$.

1. Fonction logarithme népérien

a) Définition et domaine

• La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
• Pour tout $x > 0$, $\ln x$ est la fonction inverse de l'exponentielle : $\ln(e^x) = x$.

b) Propriétés algébriques

• Pour tout $a > 0$ et tout entier $n$, $$\ln(a^n) = n \ln a$$
• Pour tout $a > 0$, $$\ln\left(\frac{1}{a}\right) = - \ln a$$

c) Dérivée

• La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ avec : $$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$
• Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable strictement positive sur un intervalle, alors : $$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$$

d) Sens de variation

• Comme $\frac{1}{x} > 0$ pour $x > 0$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ avec dérivée $\frac{1}{x}$.

2. Résumé tableau

1. Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants

Une équation différentielle du premier ordre s'écrit sous la forme
$a y' + b y = c$
avec $a, b, c$ constantes réelles, $a \neq 0$.

2. Équation homogène associée

L'équation homogène est
$a y' + b y = 0.$

• Solution générale :
  $y(x) = K e^{-\frac{b}{a} x}, \quad K \in \mathbb{R}.$

• Condition initiale : si $y(x_0) = y_0$ est donnée, alors
  $K = y_0 e^{\frac{b}{a} x_0}.$

3. Solution particulière pour un second membre constant

Si $c$ est une constante non nulle, on cherche une solution particulière constante $y = cst$.

• En posant $y = c$, on a $y' = 0$, donc
  $a \times 0 + b \times c = c \implies b c = c \implies c = \frac{c}{b}.$

• Solution particulière :
  $y_p = \frac{c}{b}.$

4. Solution générale de l'équation complète

La solution générale de
$a y' + b y = c$
est la somme de la solution générale de l'homogène et d'une solution particulière :
$y(x) = K e^{-\frac{b}{a} x} + \frac{c}{b}.$

À retenir : Toute équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant s'écrit
$a y' + b y = c,$
dont la solution générale est
$y(x) = K e^{-\frac{b}{a} x} + \frac{c}{b}.$
La constante $K$ se détermine par la condition initiale.

1. Suites numériques

Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel $n$ un nombre réel $u_n$.

2. Suite arithmétique

• Définition : $(u_n)$ est une suite arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que
  $u_{n+1} = u_n + r$

• Formules générales :

  • Si le premier terme est $u_0$ :
    $u_n = u_0 + n r$
  • Si le premier terme est $u_1$ :
    $u_n = u_1 + (n-1) r$

• Somme des $n+1$ premiers termes :
  $S_n = \sum_{k=0}^n u_k = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$

3. Suite géométrique

• Définition : $(u_n)$ est une suite géométrique s'il existe un réel $q$ (la raison) tel que
  $u_{n+1} = q \times u_n$

• Formule générale :

  • Si le premier terme est $u_0$ :
    $u_n = u_0 \times q^n$

• Somme des $n+1$ premiers termes (pour $q \neq 1$) :
  $S_n = \sum_{k=0}^n u_k = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

À retenir :

• Une suite arithmétique évolue par addition constante (raison $r$).
• Une suite géométrique évolue par multiplication constante (raison $q$).
• Les formules de somme permettent de calculer rapidement la somme des premiers termes.