Dérivées Partielles

1. Définition de la dérivée partielle

La dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables mesure la variation de la fonction par rapport à une seule variable, les autres variables étant considérées comme constantes.

Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, la dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_i$ en un point $a = (a_1, \ldots, a_n)$ est définie par :

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_i + h, \ldots, a_n) - f(a)}{h}$$

2. Interprétation géométrique

• La dérivée partielle correspond à la pente de la courbe obtenue en fixant toutes les variables sauf une.
• Elle représente la taux de variation instantané de la fonction selon une direction coordonnée.

1. Fonction de deux variables : exemple simple

Pour $f(x,y)$, on définit :

• Dérivée partielle par rapport à $x$ :

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$$

• Dérivée partielle par rapport à $y$ :

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h}$$

2. Règles de calcul

Les règles usuelles de dérivation s'appliquent en considérant les autres variables comme constantes :

1. Définition

Les dérivées partielles peuvent être itérées pour obtenir des dérivées d'ordre 2, 3, etc.

• Dérivée partielle seconde par rapport à $x$ :

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$$

• Dérivée partielle croisée :

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

2. Théorème de Schwarz (symétrie des dérivées croisées)

Si $f$ est de classe $C^2$ (deux fois continûment dérivable), alors :

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$

1. Approximation linéaire (plan tangent)

La dérivée partielle permet de construire l'approximation linéaire de $f$ au voisinage d'un point $a$ :

$$f(x) \approx f(a) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) (x_i - a_i)$$

2. Gradient

Le gradient de $f$ est le vecteur des dérivées partielles :

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$$

Il indique la direction de la plus forte croissance de la fonction.

À retenir : La dérivée partielle mesure la variation de la fonction par rapport à une variable, en fixant les autres constantes, et est la base pour étudier les fonctions multivariables.