Espaces Vectoriels

1. Espace vectoriel sur un corps $K$ (avec $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$)

Un espace vectoriel $E$ sur $K$ est un ensemble non vide muni de deux lois :

• une addition interne $+$ : $E \times E \to E$
• une multiplication externe (ou multiplication par un scalaire) $.$ : $K \times E \to E$

a) Propriétés de l'addition dans $E$

Pour tous $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in E$ :

b) Propriétés de la multiplication externe

Pour tous $\alpha, \beta \in K$ et $\vec{u}, \vec{v} \in E$ :

c) Règles de calcul importantes

• $\alpha \cdot \vec{u} = \vec{0} \iff \alpha = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$
• $-\vec{u} = (-1) \cdot \vec{u}$
• $\alpha \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \alpha \cdot \vec{u} - \alpha \cdot \vec{v}$
• $(\alpha - \beta) \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{u} - \beta \cdot \vec{u}$

d) Notion de combinaison linéaire

Soit une famille de vecteurs $\mathcal{F} = (\vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots, \vec{u}_p)$ dans $E$.

Une combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{F}$ est une expression de la forme :

$$\alpha_1 \vec{u}_1 + \alpha_2 \vec{u}_2 + \dots + \alpha_p \vec{u}_p = \sum_{i=1}^p \alpha_i \vec{u}_i$$

où chaque $\alpha_i \in K$ est un scalaire.

e) Exemples classiques d'espaces vectoriels sur $K$

• $K^n$ (espace des $n$-uplets de scalaires)
• $\mathbb{K}[X]$ (espace des polynômes à coefficients dans $K$)
• $\mathcal{A}(I, \mathbb{R})$ (espace des fonctions réelles définies sur un intervalle $I$)
• $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (espace des matrices $n \times p$ à coefficients dans $K$)
• $K^N$ (espace des suites à valeurs dans $K$)

À retenir : Un espace vectoriel est un ensemble où on peut additionner des vecteurs et les multiplier par des scalaires, en respectant les règles d'associativité, commutativité, distributivité, existence d'éléments neutres et opposés.

1. 2 Sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$

a) Définition et propriétés

• Définition : Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ et $F \subset E$.
  $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :

  1. $\vec{0}_E \in F$
  2. $F$ est stable par combinaison linéaire :
     $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}, \quad \forall \vec{u}, \vec{v} \in F, \quad \alpha \vec{u} + \beta \vec{v} \in F$

• Conséquences :

  • $F$ est stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire.
  • $F$, muni des lois induites, est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.
  • Toute combinaison linéaire finie d'éléments de $F$ appartient à $F$.

• Théorème :

  • L'intersection de deux sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  • Plus généralement, l'intersection d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

À retenir : Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble contenant $\vec{0}$ et stable par combinaisons linéaires.

b) Exemples à connaître

c) Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs

• Théorème : Soit $\mathcal{F} = (\vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots, \vec{u}_p)$ une famille de vecteurs de $E$.
  L'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

• Définition :
  Cet ensemble est appelé sous-espace vectoriel engendré par $\mathcal{F}$, noté
  $Vect(\mathcal{F}) = \left\{ \sum_{i=1}^p \alpha_i \vec{u}_i \mid \alpha_i \in \mathbb{K} \right\}$

• Propriétés :

  • Si $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ sont des combinaisons linéaires des vecteurs de $\mathcal{F}$, alors
    $Vect(\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n) \subset Vect(\mathcal{F})$
  • $Vect(\mathcal{F})$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant tous les vecteurs de $\mathcal{F}$.
  • $Vect(\mathcal{F})$ ne dépend pas de l'ordre des vecteurs dans $\mathcal{F}$.

À retenir : Le sous-espace engendré par une famille est l'ensemble de toutes ses combinaisons linéaires, c’est le plus petit ssev contenant cette famille.

1. Propriétés des familles de vecteurs

• Ajouter le vecteur nul à une famille $\mathcal{F}$ ne modifie pas l'espace vectoriel engendré :
  $\operatorname{Vect}(\mathcal{F} \cup \{ \vec{0} \}) = \operatorname{Vect}(\mathcal{F})$

• Retirer un vecteur de $\mathcal{F}$ s'il est combinaison linéaire des autres ne change pas $\operatorname{Vect}(\mathcal{F})$.

• Ajouter à un vecteur de $\mathcal{F}$ une combinaison linéaire des autres vecteurs ne modifie pas $\operatorname{Vect}(\mathcal{F})$.

• Multiplier un ou plusieurs vecteurs de $\mathcal{F}$ par un scalaire non nul ne change pas $\operatorname{Vect}(\mathcal{F})$.

2. Familles génératrices

Soit $E$ un espace vectoriel sur $K$ et $F$ une famille de vecteurs de $E$.

• Définition : $F$ est une famille génératrice de $F$ (sous-espace de $E$) si
  $\operatorname{Vect}(F) = F$
  Autrement dit, tout vecteur de $F$ s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de $F$.

• Remarques :

  • Si un vecteur de $F$ n'appartient pas à $F$, alors $F$ n'est pas génératrice de $F$.
  • Toute famille contenant une famille génératrice est aussi génératrice.
  • Si un vecteur de $F$ est combinaison linéaire des autres, on peut le retirer sans perdre la génération.

3. Familles libres

Soit $F = (\vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots, \vec{u}_p)$ une famille de vecteurs de $E$.

• Définition : $F$ est libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale :
  $\alpha_1 \vec{u}_1 + \alpha_2 \vec{u}_2 + \cdots + \alpha_p \vec{u}_p = \vec{0} \implies \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_p = 0$

• Définition : $F$ est liée si elle n'est pas libre, c’est-à-dire s’il existe des scalaires non tous nuls tels que
  $\alpha_1 \vec{u}_1 + \alpha_2 \vec{u}_2 + \cdots + \alpha_p \vec{u}_p = \vec{0}$

• Terminologie alternative :

  • Famille libre = vecteurs linéairement indépendants.
  • Famille liée = vecteurs linéairement dépendants.

• Relation de dépendance linéaire : une combinaison linéaire nulle non triviale.

• Propriétés clés :

  Famille libre	Famille liée
  Aucun vecteur est combinaison linéaire des autres	Au moins un vecteur est combinaison linéaire des autres

Une famille est libre si et seulement si aucun vecteur ne s'exprime comme combinaison linéaire des autres.

1. Familles libres et liées

• Indépendance de l'ordre : La liberté ou la liaison d'une famille de vecteurs ne dépend pas de l'ordre des vecteurs.
• Familles simples :
  • Une famille à un vecteur $\{\vec{u}\}$ est libre si et seulement si $\vec{u} \neq \vec{0}$.
  • Une famille à deux vecteurs $\{\vec{u}_1, \vec{u}_2\}$ est libre si et seulement si $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ ne sont pas colinéaires.
• Familles liées :
  • Toute famille contenant deux fois le même vecteur est liée.
  • Toute famille contenant le vecteur nul $\vec{0}_E$ est liée.
  • Toute famille contenant une famille liée est liée.
• Sous-familles : Toute famille extraite d'une famille libre est libre.

Toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.

2. Théorème d'enrichissement d'une famille libre

Soit $(\vec{u}_1, \vec{u}_2, ..., \vec{u}_p)$ une famille libre de $E$ et $\vec{u}_{p+1} \in E$.

• La famille $(\vec{u}_1, ..., \vec{u}_p, \vec{u}_{p+1})$ est libre si et seulement si $\vec{u}_{p+1}$ n'est pas combinaison linéaire des $\vec{u}_i$.
• Sinon, la famille est liée.

3. Bases

a) Définition

Une famille $\mathcal{F} = (\vec{u}_1, ..., \vec{u}_p)$ est une base de $E$ si :

• Elle est génératrice de $E$ (tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des $\vec{u}_i$).
• Elle est libre.

Autrement dit, pour tout $\vec{v} \in E$, il existe un unique $p$-uplet $(\alpha_1, ..., \alpha_p) \in \mathbb{K}^p$ tel que :

$$\vec{v} = \sum_{i=1}^p \alpha_i \vec{u}_i$$

Les scalaires $\alpha_i$ sont les coordonnées de $\vec{v}$ dans la base $\mathcal{F}$.

Deux vecteurs de $E$ sont égaux si et seulement si leurs coordonnées dans une même base sont égales.

b) Bases canoniques classiques

4. Matrice associée à un vecteur dans une base donnée

Soit $F$ un espace vectoriel de dimension $n$ avec base $\mathcal{B} = (\vec{\varepsilon}_1, ..., \vec{\varepsilon}_n)$.

Pour tout $\vec{x} \in F$, il existe un unique $n$-uplet $(x_1, ..., x_n) \in \mathbb{K}^n$ tel que :

$$\vec{x} = \sum_{i=1}^n x_i \vec{\varepsilon}_i$$

• La matrice-colonne des coordonnées de $\vec{x}$ dans la base $\mathcal{B}$ est :

$$X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

• Notation : $X = M_{\mathcal{B}}(\vec{x})$.

La matrice-colonne des coordonnées est unique.

1. Application matricielle associée à un vecteur dans une base

• Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie muni d'une base $\mathcal{B}$.

• L'application qui à un vecteur $\vec{x} \in E$ associe sa matrice-colonne $M_{\mathcal{B}}(\vec{x})$ dans la base $\mathcal{B}$ est une bijection linéaire.

• Pour tous $\vec{x}, \vec{y} \in E$ et scalaires $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ :

  $$M_{\mathcal{B}}(\lambda \vec{x} + \mu \vec{y}) = \lambda M_{\mathcal{B}}(\vec{x}) + \mu M_{\mathcal{B}}(\vec{y})$$

• Cas particulier : Si $F = \mathbb{K}^n$ et $\mathcal{B}$ est la base canonique, $M_{\mathcal{B}}(\vec{x})$ est la matrice-colonne canoniquement associée à $\vec{x}$.

2. Matrice associée à une famille de vecteurs

• Soit $\mathcal{B} = (\vec{\varepsilon}_1, ..., \vec{\varepsilon}_n)$ une base de $F$.
• Soit $\mathcal{F} = (\vec{u}_1, ..., \vec{u}_p)$ une famille de $p$ vecteurs de $F$.
• La matrice $M_{\mathcal{B}}(\mathcal{F})$ est la matrice de type $(n,p)$ dont la $j$-ième colonne est la matrice-colonne des coordonnées de $\vec{u}_j$ dans $\mathcal{B}$.

1. Définition

• Un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{K}$ est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie.

Exemples :

• $\mathbb{K}^n$, $\mathbb{K}_n[X]$ (polynômes de degré ≤ $n$), $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ sont de dimension finie.
• $\mathbb{K}[X]$ (polynômes de degré quelconque) n'est pas de dimension finie.

2. Existence de bases

• Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie non réduit au vecteur nul.
• Toute famille génératrice finie $\mathcal{F}$ contient une base de $E$ formée d'éléments de $\mathcal{F}$.
• Conséquence : Tout espace vectoriel non nul de dimension finie admet une base.

3. Comparaison des cardinaux d'une famille libre et d'une famille génératrice

• Dans un espace vectoriel de dimension finie, le nombre d'éléments d'une famille libre est toujours ≤ au nombre d'éléments d'une famille génératrice.

4. Dimension d'un espace vectoriel

• Théorème de la dimension : Toutes les bases d'un espace vectoriel non nul de dimension finie ont le même nombre d'éléments.
• Ce nombre commun est appelé la dimension de $E$, notée $\dim(E)$.
• Par convention, $\dim(\{ \vec{0} \}) = 0$.

5. Lien entre dimension et familles libres/génératrices

Soit $E$ un espace vectoriel non nul de dimension finie $n$.

• Si $F$ est une famille libre, alors $|F| \leq n$.
• Si $F$ est libre et $|F| = n$, alors $F$ est une base de $E$.
• Si $F$ est une famille génératrice, alors $|F| \geq n$.

1. Sous-espaces vectoriels en dimension finie

• Dimension d'un sous-espace vectoriel
  Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.
  • Tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est de dimension finie avec
    $\dim F \leq \dim E.$
  • Si $\dim F = \dim E$, alors $F = E$.
  • Pour deux sous-espaces $F, G$ de $E$ :

    Condition	Conséquence
    $F \subset G$	$\dim F \leq \dim G$
    $F \subset G$ et $\dim F = \dim G$	$F = G$

2. Rang d'une famille de vecteurs

a) Définition

Soit $E$ un espace vectoriel (pas forcément de dimension finie) et $\mathcal{F}$ une famille finie de vecteurs de $E$.

• Le rang de $\mathcal{F}$ est la dimension de l'espace vectoriel engendré par $\mathcal{F}$ :
  $\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = \dim \operatorname{Vect}(\mathcal{F}).$

b) Remarques importantes

• Le rang de $\mathcal{F}$ est toujours $\leq$ au nombre de vecteurs dans $\mathcal{F}$.
• $\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = \text{nombre de vecteurs}$ si et seulement si $\mathcal{F}$ est libre.
• Si $E$ est de dimension finie, alors
  $\operatorname{rg}(\mathcal{F}) \leq \dim E,$
  avec égalité si et seulement si $\mathcal{F}$ est génératrice de $E$.
• Le rang de $\mathcal{F}$ correspond au rang de la matrice associée à $\mathcal{F}$ dans n'importe quelle base de $E$.

c) Détermination pratique du rang

Soit $B$ une base de $E$ et $\mathcal{F} = (u_1, u_2, \ldots, u_p)$ une famille de vecteurs de $E$.

• Le rang de $\mathcal{F}$ est égal au rang de la matrice $M_B(\mathcal{F})$ (matrice des vecteurs de $\mathcal{F}$ exprimés dans la base $B$).
• On utilise la méthode de Gauss sur $M_B(\mathcal{F})$ pour déterminer le rang.
• Les colonnes pivot de la matrice échelonnée correspondent aux vecteurs de $\mathcal{F}$ qui forment une base de $\operatorname{Vect}(\mathcal{F})$.

3. Matrice de passage entre bases

• Soient $B$ et $B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
• La matrice $M_B(B')$ de $B'$ relativement à $B$ est une matrice carrée inversible appelée matrice de passage de la base $B$ à la base $B'$.
• Son inverse $M_B(B')^{-1}$ est la matrice de passage de la base $B'$ à la base $B$.

À retenir : Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension de l'espace qu'elle engendre, et il se calcule via le rang de la matrice associée dans une base donnée. Toute base peut être reliée à une autre par une matrice de passage inversible.