Fonction d’une variable réelle

1. Limites finies en un point

Soit une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie sur un intervalle $]a,b[$.
On dit que $f$ admet la limite $l$ en $x_0 \in ]a,b[$ si :

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = l$$

c’est-à-dire que $f(x)$ se rapproche arbitrairement de $l$ lorsque $x$ se rapproche de $x_0$ (avec $x \neq x_0$).

Exemple : pour $f(x) = 2x$ sur $[0,1[$, on a $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

2. Continuité en un point

Une fonction $f$ est continue en $x_0 \in ]a,b[$ si :

1. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existe (limite finie),
2. et cette limite est égale à la valeur de la fonction en ce point :

$$f \text{ continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Interprétation : la courbe de $f$ n’a pas de trou en $x_0$.

3. Fonction affine et continuité

Une fonction affine est définie par :

$$f(x) = ax + b, \quad a,b \in \mathbb{R}$$

• $a$ est le coefficient directeur (pente),
• $b$ est l’ordonnée à l’origine.

Exemple : $f(x) = 2x + 3$ est affine.

4. Calcul du coefficient directeur d’une fonction affine

Si $f$ est affine et on connaît deux points $(x_0, f(x_0))$ et $(x_1, f(x_1))$, alors :

$$a = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$$

et $b$ s’obtient par substitution dans $f(x) = ax + b$.

Exemple :
$f(1) = 1$, $f(3) = 2$
$\Rightarrow a = \frac{2 - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2}$
puis $b$ tel que $1 = \frac{1}{2} \times 1 + b \Rightarrow b = \frac{1}{2}$.

À retenir :
Une fonction est continue en un point si sa limite en ce point existe et coïncide avec sa valeur.
Toute fonction affine est continue sur $\mathbb{R}$.

1. Taux de variation

Soit $f : ]a,b[ \to \mathbb{R}$ et $x_0, x_1 \in ]a,b[$.
Le taux de variation de $f$ entre $x_0$ et $x_1$ est le nombre

$$\tau = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$$

Il mesure la pente de la corde joignant les points $(x_0, f(x_0))$ et $(x_1, f(x_1))$.

2. Dérivée et dérivabilité

• La fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si la limite

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

existe et est finie.

• Cette limite $f'(x_0)$ est appelée la dérivée de $f$ en $x_0$.
• La fonction $f$ est dérivable sur $]a,b[$ si elle est dérivable en tout point $x_0 \in ]a,b[$.

3. Interprétation géométrique

• La courbe représentative de $f$ admet en $(x_0, f(x_0))$ une tangente de coefficient directeur $f'(x_0)$.
• L'équation de cette tangente est

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$

ou encore

$$y = f'(x_0) x + f(x_0) - f'(x_0) x_0$$

4. Approximation locale

Pour $x$ proche de $x_0$, on a l'approximation

$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$

ou en posant $\Delta x = x - x_0$ et $\Delta f = f(x) - f(x_0)$,

$$\Delta f \approx f'(x_0) \Delta x$$

5. Fonction dérivée

• La fonction dérivée $f'$ est définie sur $]a,b[$ par

$$f' : x \mapsto f'(x)$$

• $f$ est dite de classe $C^1$ sur $]a,b[$ si
  • $f$ est dérivable sur $]a,b[$ ;
  • $f'$ est continue sur $]a,b[$.

6. Rôle de la dérivée dans le sens de variation

Soit $f : ]a,b[ \to \mathbb{R}$ dérivable sur $]a,b[$. Alors :

À retenir : La dérivée $f'(x_0)$ est la limite du taux de variation instantané en $x_0$ et donne la pente de la tangente à la courbe de $f$ en ce point.