Fonction Polynôme du Second Degré

1. Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$.

• $a$, $b$ et $c$ sont appelés les coefficients du polynôme.
• Cette fonction est aussi appelée fonction trinôme du second degré.

2. Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré

Pour toute fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$, il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ uniques tels que :

$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$

• Cette écriture est appelée la forme canonique de la fonction.
• Elle permet de mettre en évidence le sommet de la parabole représentative de $f$.

À retenir : Toute fonction polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ réels uniques.

1. Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ s'écrit :

$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$

avec

• $\alpha = -\frac{b}{2a}$
• $\beta = f(\alpha)$

2. Méthode pour trouver la forme canonique

1. Calculer $\alpha$ :
   $\alpha = -\frac{b}{2a}$

2. Calculer $\beta$ :
   $\beta = f(\alpha) = a\alpha^2 + b\alpha + c$

3. Écrire la forme canonique :
   $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$

3. Exemple

Pour $f(x) = 3x^2 + 24x + 55$ :

• $a = 3$, $b = 24$, $c = 55$
• $\alpha = -\frac{24}{2 \times 3} = -4$
• $\beta = f(-4) = 3 \times (-4)^2 + 24 \times (-4) + 55 = 7$

Donc :

$$f(x) = 3(x + 4)^2 + 7$$

4. Utilisation des identités remarquables

Pour transformer $f(x)$ en forme canonique, on peut aussi compléter le carré :

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Exemple :
$f(x) = x^2 - 12x - 1$

$$= x^2 - 2 \times 6 \times x + 36 - 36 - 1 = (x - 6)^2 - 37$$

Ici, $\alpha = 6$ et $\beta = -37$.

À retenir : La forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ permet de lire directement le sommet de la parabole en $(\alpha, \beta)$.

1. Discriminant

Soit la fonction polynôme du second degré définie par $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.

• Le discriminant est défini par :

  $$\Delta = b^2 - 4ac$$

• La forme canonique de $f$ est :

  $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$

  avec

  $$\alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$$

2. Résolution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Pour résoudre l’équation du second degré, on étudie le discriminant $\Delta$ :

Le discriminant $\Delta$ permet de déterminer le nombre et la nature des solutions de l’équation du second degré.

1. Racines d’un polynôme du second degré

Soit une fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.

• Racine : un nombre $x_1$ est une racine de $f$ si et seulement si $f(x_1) = 0$.
• Trouver les racines revient à résoudre l’équation $ax^2 + bx + c = 0$.

a) Résolution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$

Calcul du discriminant :
$\Delta = b^2 - 4ac$

Pour qu’un polynôme du second degré ait des racines réelles, il faut et il suffit que $\Delta \geq 0$.

2. Exemple de calcul de racines

Pour $f(x) = 2x^2 - 6x - 20$ :

• $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 2 \times (-20) = 36 + 160 = 196 > 0$
• $\sqrt{\Delta} = 14$
• $x_1 = \frac{6 - 14}{4} = -2$
• $x_2 = \frac{6 + 14}{4} = 5$
• Solutions : $S = \{-2, 5\}$

3. Factorisation d’un polynôme du second degré

Si $f(x) = ax^2 + bx + c$ admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ distinctes, alors :

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Si $f$ admet une racine double $x_0$, alors :

$$f(x) = a(x - x_0)^2$$

Si $f$ n’a pas de racine réelle, elle n’est pas factorisable sur $\mathbb{R}$.

À retenir : Les racines d’un polynôme du second degré sont les solutions de $f(x) = 0$ et permettent de factoriser $f$ en produit de facteurs du premier degré.

1. Racines et factorisation d’un polynôme du second degré

Pour un polynôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ :

2. Somme et produit des racines

Si $f(x) = ax^2 + bx + c$ admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$, alors :

• Somme des racines :

  $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

• Produit des racines :

  $$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$

À retenir : La somme et le produit des racines s’expriment directement en fonction des coefficients du polynôme.

3. Exemple d’utilisation

Pour $A(x) = x^2 - 3x + 2$ :

• Vérification qu’une racine est $1$ :
  $A(1) = 1 - 3 + 2 = 0$

• Somme des racines :
  $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$

• Trouver l’autre racine :
  $1 + x_2 = 3 \implies x_2 = 2$

• Factorisation :
  $A(x) = (x - 1)(x - 2)$

4. Méthode pour retrouver les racines

1. Trouver une racine $x_1$ par substitution ou calcul.
2. Utiliser la somme ou le produit des racines pour déterminer $x_2$.
3. Factoriser le polynôme si possible.

Exercice type :
Soit $D(x) = 2x^2 + 11x + 5$.
Prouver qu’une valeur est racine, puis retrouver l’autre en utilisant la somme ou le produit des racines.

1. Racines d’un polynôme du second degré

• Si $D(x) = 2x^2 + 11x + 5$, alors $D(-5) = 0$, donc $-5$ est une racine de $D$.
• Pour trouver l’autre racine, on utilise le produit des racines :
  $x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{2}$
  Avec $x_1 = -5$, on obtient :
  $x_2 = \frac{5/2}{-5} = -\frac{1}{2}$

2. Changement de variable

a) Équation bicarrée

• Équation donnée :
  $(E) : 3x^4 + 5x^2 - 12 = 0$
• Poser $X = x^2$ transforme $(E)$ en :
  $(E') : 3X^2 + 5X - 12 = 0$
• Résolution de $(E')$ :
  • $\Delta = 5^2 - 4 \times 3 \times (-12) = 169 > 0$
  • Racines :
    $X_1 = \frac{-5 - 13}{6} = -3 \quad ; \quad X_2 = \frac{-5 + 13}{6} = \frac{4}{3}$
• Retour à $x$ :
  • $X_1 = -3$ impossible car $x^2 \geq 0$
  • $X_2 = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$
• Solutions de $(E)$ :
  $S = \left\{ -\sqrt{\frac{4}{3}}, \sqrt{\frac{4}{3}} \right\}$

b) Équation plus compliquée (exemple)

• Équation :
  $(E) : \frac{9}{(x-1)^2} + \frac{6}{x-1} + 3 = 0, \quad x \neq 1$
• Poser $X = \frac{1}{x-1}$ pour simplifier l’équation.
• Résoudre ensuite l’équation en $X$ (méthode similaire à une équation du second degré).

À retenir : Le changement de variable $X = x^2$ ou $X = \frac{1}{x - a}$ permet de transformer des équations complexes en équations polynomiales classiques, plus faciles à résoudre.