Mathématiques avancées

1. Définition d'une fonction

Une fonction $f$ associe à chaque élément $x$ d'un ensemble de départ un unique élément $f(x)$ d'un ensemble d'arrivée.

2. Dérivée d'une fonction

La dérivée $f'(x)$ mesure le taux de variation instantané de $f$ en $x$.

• Formules clés :
  • $(x^n)' = n x^{n-1}$
  • $(e^x)' = e^x$
  • $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ (pour $x > 0$)

3. Tableau de variations

Permet de visualiser les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.

• Étapes :
  1. Calculer $f'(x)$.
  2. Trouver les points où $f'(x) = 0$ ou $f'(x)$ n'existe pas.
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle.
  4. Construire le tableau avec les variations de $f$.

À retenir : Le signe de la dérivée détermine la croissance (positive) ou décroissance (négative) de la fonction.

1. Limite d'une fonction

La limite $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ s'approche de $L$ quand $x$ tend vers $a$.

• Limites à l'infini et en un point.
• Limites infinies (tendances vers $+\infty$ ou $-\infty$).

2. Continuité d'une fonction

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

• Une fonction dérivable est continue.
• Continuité implique absence de "trou" ou "saut" dans le graphe.

1. Définition

Une primitive $F$ de $f$ est une fonction telle que $F'(x) = f(x)$.

• Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives sont $F(x) + C$, où $C$ est une constante.

2. Exemples de primitives usuelles

1. Fonction exponentielle $e^x$

• Définie sur $\mathbb{R}$, strictement croissante, toujours positive.
• Dérivée : $(e^x)' = e^x$.
• $e^0 = 1$.

2. Fonction logarithme népérien $\ln x$

• Définie sur $(0, +\infty)$, strictement croissante.
• Dérivée : $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
• Inverse de la fonction exponentielle : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$.

1. Suite arithmétique

• Définition : $u_{n+1} = u_n + r$, où $r$ est la raison.
• Terme général : $u_n = u_0 + n r$.
• Somme des $n+1$ premiers termes : $S_n = (n+1) \frac{u_0 + u_n}{2}$.

2. Suite géométrique

• Définition : $u_{n+1} = u_n \times q$, où $q$ est la raison.
• Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$.
• Somme des $n+1$ premiers termes (si $q \neq 1$) : $S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

1. Probabilité conditionnelle

La probabilité de $B$ sachant $A$ est notée $P(B|A)$ et définie par :

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad \text{si } P(A) > 0$$

2. Formules clés

• $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

3. Événements indépendants

$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

1. Définition

Modélise le nombre de succès dans $n$ essais indépendants, chacun avec probabilité $p$ de succès.

• Variable aléatoire $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.
• Probabilité d'obtenir exactement $k$ succès :

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

2. Espérance et variance

• Espérance : $E(X) = n p$
• Variance : $\mathrm{Var}(X) = n p (1-p)$

1. Vecteurs dans l'espace

• Un vecteur $\vec{u}$ est défini par ses coordonnées $(x, y, z)$.
• Opérations : addition, multiplication par un scalaire.

2. Produit scalaire

Pour $\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$ et $\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)$ :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$$

3. Droites et plans

• Équation paramétrique d'une droite : $\vec{r} = \vec{a} + t \vec{u}$.
• Équation cartésienne d'un plan : $ax + by + cz + d = 0$.

4. Distance et angles

• Norme d'un vecteur : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

$$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$$

À retenir : La maîtrise des dérivées, limites, suites, probabilités et géométrie dans l'espace est essentielle pour comprendre et résoudre de nombreux problèmes en Première générale.