Mathématiques de Seconde

1. Principaux ensembles de nombres

• Appartenance : $x \in E$ signifie que l’élément $x$ appartient à l’ensemble $E$.
• Inclusion : $A \subset B$ signifie que l’ensemble $A$ est inclus dans l’ensemble $B$ (tout élément de $A$ est dans $B$).

Exemple : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ car tout entier naturel est un entier relatif.

2. L’axe des réels

• Les nombres réels sont représentés sur une droite graduée appelée axe des réels.
• Un repère $(O, I)$ est défini où :
  • $O$ est l’origine (abscisse 0),
  • $I$ définit l’unité (abscisse 1).
• Chaque point $M$ de l’axe est repéré par son abscisse $x$.
• L’axe est infini dans les deux sens, on note :
  • $-\infty$ l’infini à gauche,
  • $+\infty$ l’infini à droite.

3. Intervalles de $\mathbb{R}$

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a < b$.

• Notation d’appartenance : $x \in [a; b]$ signifie que $x$ appartient à l’intervalle $[a; b]$.
• Symboles :
  • $\in$ signifie « appartient à »,
  • $\notin$ signifie « n’appartient pas à ».

À retenir : Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, avec ou sans inclusion des bornes.

4. Symboles à connaître

5. Connecteurs logiques

• « et » : $x \in A$ et $x \in B$ signifie $x \in A \cap B$.
• « ou » : $x \in A$ ou $x \in B$ signifie $x \in A \cup B$.

Attention : Le sens logique de « et » et « ou » en mathématiques peut différer du langage courant.

6. Résumé des inclusions importantes

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$$

• Tout entier naturel est un entier relatif.
• Tout entier relatif est un nombre réel.

7. Notions clés

• Ensemble : collection d’éléments.
• Élément : objet appartenant à un ensemble.
• Sous-ensemble : ensemble inclus dans un autre.
• Intervalle : ensemble de nombres réels compris entre deux bornes.
• Axe des réels : droite graduée représentant tous les nombres réels.

1. Intervalles

• Intervalle fermé : borne appartient à l’intervalle, noté avec un crochet fermé, ex. $[a; b]$.
• Intervalle ouvert : borne n’appartient pas à l’intervalle, noté avec un crochet ouvert, ex. $]a; b[$.
• L’infini ($+\infty$ ou $-\infty$) est toujours une borne ouverte.
• Un intervalle $[a; b]$ avec $a < b$ contient une infinité de nombres.

2. Union d’ensembles

• Pour deux ensembles $A$ et $B$, $x \in A \cup B$ signifie que $x$ appartient à $A$ ou à $B$ (ou aux deux).
• Exemples :
  • $x \in [-1; 3] \cup [4; 6]$ signifie $x$ est dans $[-1; 3]$ ou dans $[4; 6]$.
  • $x \in ]0; 4[ \cup \{5; 6\}$ signifie $x$ est strictement entre 0 et 4, ou égal à 5, ou égal à 6.

En mathématiques, le "ou" est inclusif : $A \cup B$ contient les éléments de $A$, de $B$, ou des deux.

3. Intersection d’ensembles

• Pour deux ensembles $A$ et $B$, $x \in A \cap B$ signifie que $x$ appartient à la fois à $A$ et à $B$.
• Exemples :
  • $[-1; 3] \cap [2; 6] = [2; 3]$ (les nombres communs aux deux intervalles).
  • $]0; 4[ \cap \{2; 6\} = \{2\}$ (seul 2 appartient aux deux ensembles).

4. Opérations algébriques de base

• Soustraire un nombre $x$ revient à ajouter son opposé $-x$ :
  $a - x = a + (-x)$
• Diviser par un nombre $x$ (non nul) revient à multiplier par son inverse $\frac{1}{x}$ :
  $\frac{a}{x} = a \times \frac{1}{x}$
• Attention : $0$ n’a pas d’inverse.

5. Nature d’une expression algébrique

• La dernière opération utilisée (en respectant les priorités) détermine la nature de l’expression :
  • Somme (+)
  • Différence (−)
  • Produit (×)
  • Quotient (÷)

Exemples :

• $(x - 1)(x + 2)$ est un produit.
• $x^2 + x - 2$ est une somme.

6. Réduire et ordonner une expression

• Ordonner : ranger les termes par ordre décroissant des puissances de la variable.
• Réduire : simplifier en regroupant les termes semblables (mêmes puissances).

Exemple :
$2x + 3 + x^2 + 4x - 5x^2 - 2 = -3x^2 + 6x + 1$
(termes regroupés et ordonnés)

7. Développer une expression

• Développer un produit, c’est l’écrire sous forme d’une somme.
• Distributivité :
  1. $a(b + c) = ab + ac$
  2. $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemple :
$(4x + 3)(8 - x) = -4x^2 + 29x + 24$

8. Factoriser une expression

• Factoriser c’est écrire une expression sous forme d’un produit.
• Facteurs : éléments d’un produit.
• Méthodes en seconde :
  1. Chercher un facteur commun apparent.
     Exemple :
     $(x + 1)(x + 7) - 2(x + 1) = (x + 1)(x + 5)$
  2. Reconnaître une identité remarquable.

Exemples d’identités remarquables :

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Exemple de factorisation :
$16x^2 + 24x + 9 = (4x + 3)^2$
$36 - (x + 3)^2 = (6 - (x + 3))(6 + (x + 3))$

À retenir :
Factoriser transforme une somme en produit, développer transforme un produit en somme. Ces opérations sont essentielles pour résoudre des équations et simplifier des expressions.

1. Factorisation et transformation d'expressions

• Factoriser une expression consiste à écrire un produit de facteurs équivalent à l'expression initiale.
• Exemple de factorisation : $$36 - (x+3)^2 = (6 - (x+3))(6 + (x+3)) = (3 - x)(9 + x)$$
• Dans Xcas, la commande pour factoriser est : factor(expression).

2. Trois méthodes pour démontrer une égalité entre deux expressions $A$ et $B$

À retenir : Pour montrer que deux expressions ne sont pas égales, il suffit de montrer que leur différence n'est pas nulle.

3. Égalités équivalentes

• Deux égalités sont équivalentes si elles sont vraies ou fausses simultanément.
• Le signe $\Leftrightarrow$ signifie "équivalent à", mais on privilégie l'écriture en français.

Propriétés clés :

4. Résolution d'équations

a) Définition

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'égalité.

b) Méthode 1 : Résolution d'une équation du premier degré

Isoler l'inconnue en appliquant les propriétés d'équivalence.

Exemple : Résoudre $7x + 3 = 2x - 5$
Étapes :

1. Soustraire 3 des deux côtés : $7x = 2x - 8$
2. Soustraire $2x$ des deux côtés : $5x = -8$
3. Diviser par 5 : $x = -\frac{8}{5}$

Solution : $S = \left\{-\frac{8}{5}\right\}$

c) Méthode 2 : Résolution par équation produit

Transformer l'équation en produit nul, puis résoudre chaque facteur.

Exemple : Résoudre $(x+1)(x+3) - 2(x+1) = 0$

1. Factoriser : $(x+1)(x+3) - 2(x+1) = (x+1)(x+3 - 2) = (x+1)(x+1)$
2. Équation produit : $(x+1)^2 = 0$
3. Solution : $x = -1$

5. Résolution d'inéquations

a) Définition

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'inégalité.

• L'inéquation peut être stricte ($<$, $>$) ou large ($\leq$, $\geq$).
• Les solutions peuvent être :
  • Aucune (ensemble vide $\emptyset$)
  • Toutes les valeurs réelles ($\mathbb{R}$)
  • Un ou plusieurs intervalles

b) Méthode 3 : Résolution d'une inéquation du premier degré

Similaire à la résolution d'équations, en respectant la règle importante :

Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

6. Résolution graphique

• Résoudre une équation ou une inéquation peut se faire graphiquement en utilisant la représentation des fonctions.
• Pour une équation $f(x) = k$, la solution correspond aux abscisses des points d'intersection de la courbe $y = f(x)$ et de la droite $y = k$.
• Pour une inéquation $f(x) < k$ ou $f(x) < g(x)$, la solution correspond aux intervalles où la courbe de $f$ est en dessous de la droite $y = k$ ou de la courbe $g$.

Attention : la résolution graphique donne une estimation des solutions, il faut toujours vérifier algébriquement.

À retenir :
Résoudre une équation ou une inéquation consiste à transformer l'expression initiale en une forme plus simple, en utilisant des propriétés d'équivalence, pour trouver les valeurs de l'inconnue qui vérifient l'égalité ou l'inégalité. La résolution graphique complète la résolution algébrique.

1. Modéliser par une fonction

• Fonction numérique à une variable : associe à chaque nombre $x$ d’un ensemble $D$ un unique nombre $f(x)$.
• Ensemble de définition $D$ : ensemble des valeurs possibles de $x$.
• Image : $f(x)$ est l’image de $x$.
• Antécédent : $x$ est un antécédent de $f(x)$.

Notations :

$$f : x \mapsto f(x)$$

Exemples de représentation d’une fonction :

2. Ensemble de définition

• Définition : ensemble des nombres pour lesquels on peut calculer l’image par la fonction.
• Notation habituelle : $D_f$.

Méthodes pour déterminer $D_f$ :

1. Selon la situation (ex : temps $t \geq 0$).
2. Graphiquement, par les abscisses des extrémités de la courbe.
3. Algébriquement, exclure les valeurs qui annulent le dénominateur (pour fonctions homographiques).

3. Courbe représentative

• Définition : la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$ est l’ensemble des points $(x, f(x))$ avec $x \in D_f$.
• $C_f$ permet de visualiser la fonction dans un repère.

4. Résolution d’équations et d’inéquations graphiquement

• Pour résoudre une équation $f(x) = g(x)$, on trace $C_f$ et $C_g$ et on cherche leurs points d’intersection.
• Pour résoudre une inéquation $f(x) > g(x)$, on cherche les intervalles où $C_f$ est au-dessus de $C_g$.

Remarques importantes :

• La résolution graphique donne une conjecture des solutions.
• Il faut vérifier les solutions en les remplaçant dans l’équation ou l’inéquation.
• Comparer les résultats graphiques et algébriques pour assurer leur cohérence.

5. Propriété sur les inégalités

• Propriété : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

À retenir : Une fonction associe à chaque valeur de la variable un unique nombre image, défini sur un ensemble appelé ensemble de définition, et sa représentation graphique permet de résoudre visuellement des équations et inéquations.

1. Sens de variations

a) Interprétation graphique et vocabulaire

• La courbe $C_f$ monte de gauche à droite $\Rightarrow$ la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
• La courbe $C_f$ descend de gauche à droite $\Rightarrow$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
• La courbe $C_f$ est parallèle à l'axe des abscisses $\Rightarrow$ la fonction $f$ est constante sur cet intervalle.

Une fonction est monotone sur un intervalle $I$ si elle ne change pas de sens de variation sur $I$.

Remarque : On parle de la fonction $f$ qui est croissante ou décroissante, jamais de la courbe ou des valeurs isolées.

b) Tableau de variations

• Flèche vers le haut : fonction strictement croissante.
• Flèche vers le bas : fonction strictement décroissante.
• Flèche horizontale : fonction constante.

2. Fonctions affines

Une fonction affine est définie par :

$$f(x) = ax + b$$

• $a$ est le coefficient directeur (pente).
• $b$ est l'ordonnée à l'origine (valeur de $f(0)$).

a) Sens de variation d'une fonction affine

b) Signe de $ax + b$

• Le signe de $ax + b$ dépend de $a$ et de la racine $x_0 = -\frac{b}{a}$.

• Pour $a > 0$ :

  $x$	$-\infty$	$x_0$	$+\infty$
  $ax + b$	$-$	$0$	$+$

• Pour $a < 0$ :

  $x$	$-\infty$	$x_0$	$+\infty$
  $ax + b$	$+$	$0$	$-$

3. Points importants sur les courbes et fonctions

• Un point $M(x_M; y_M)$ appartient à la courbe $C_f$ si et seulement si $x_M \in D_f$ et $y_M = f(x_M)$.

• Pour montrer qu'un point $M(x_M; y_M)$ n'appartient pas à $C_f$, il suffit de vérifier que $x_M \notin D_f$ ou $f(x_M) \neq y_M$.

• L'intersection des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ correspond aux solutions de l'équation :

  $$f(x) = g(x)$$

• Les abscisses des points d'intersection sont donc les solutions de cette équation.

4. Image et antécédent(s)

• Image de $a$ par $f$ : $f(a)$.
• Antécédents de $k$ par $f$ : les valeurs $x$ telles que $f(x) = k$.

a) Lecture à partir d'un tableau de valeurs

• L'image de $x$ se lit sur la ligne des $f(x)$.
• Les antécédents de $k$ sont les $x$ correspondants à $k$ dans la ligne des $f(x)$.

b) Lecture graphique

• Pour trouver l'image de $a$ :

  1. Tracer un segment vertical à partir de $(a; 0)$ jusqu'à $C_f$.
  2. Lire la valeur sur l'axe des ordonnées.

• Pour trouver les antécédents de $k$ :

  1. Tracer la droite $y = k$.
  2. Trouver les points d'intersection avec $C_f$.
  3. Lire les abscisses de ces points.

c) Calcul à partir d'une expression

• Calculer $f(a)$ en remplaçant $x$ par $a$ dans l'expression de $f$.
• Résoudre l'équation $f(x) = k$ pour trouver les antécédents de $k$.

À retenir : Le sens de variation d'une fonction affine dépend uniquement du signe de son coefficient directeur $a$.

1. Fonction carré

• Définition : La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f : x \mapsto x^2$.
• Variations :
  • Strictement décroissante sur $]-\infty; 0]$.
  • Strictement croissante sur $[0; +\infty[$.
• Représentation graphique : La courbe est une parabole d’équation $y = x^2$, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Sommet : Le point $O(0;0)$ est le sommet de la parabole.
• Équations :
  • $x^2 = a$ n’a pas de solution si $a < 0$.
  • $x^2 = 0$ a une solution unique $x=0$.
  • $x^2 = a$ avec $a > 0$ a deux solutions : $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$.

2. Fonction inverse

• Définition : La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ par $f : x \mapsto \frac{1}{x}$.
• Domaine : $0$ est une valeur interdite (pas d’image).
• Variations :
  • Strictement décroissante sur $]-\infty; 0[$.
  • Strictement décroissante sur $]0; +\infty[$.
• Représentation graphique : La courbe est une hyperbole d’équation $y = \frac{1}{x}$, avec l’origine comme centre de symétrie.

3. Fonctions affines

• Signe d’une fonction affine :
  • Si $a > 0$, $f(x) < 0$ pour $x < -\frac{b}{a}$ et $f(x) > 0$ pour $x > -\frac{b}{a}$.
  • Si $a < 0$, $f(x) > 0$ pour $x < -\frac{b}{a}$ et $f(x) < 0$ pour $x > -\frac{b}{a}$.

4. Fonctions polynômes de degré 2

• Variations : Une fonction polynôme de degré 2 admet un extremum (minimum ou maximum) et sa courbe est une parabole symétrique par rapport à un axe vertical.
• Propriété de symétrie : La parabole est symétrique par rapport à une droite verticale passant par le sommet.

5. Fonctions homographiques

• Définition : Une fonction homographique est une fonction de la forme $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ avec $ad - bc \neq 0$.
• Domaine : L’ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}$ (valeur interdite).
• Remarque : La fonction inverse est un cas particulier de fonction homographique avec $a=0$, $b=1$, $c=1$, $d=0$.

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$, sa courbe est une parabole symétrique d’équation $y=x^2$.
La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$, sa courbe est une hyperbole d’équation $y=\frac{1}{x}$ avec un centre de symétrie à l’origine.

1. Inéquations

a) Résolution d’une inéquation

Pour résoudre une inéquation de la forme $f(x) \leq g(x)$, on étudie le signe de l’expression $f(x) - g(x)$ :

$$f(x) \leq g(x) \iff f(x) - g(x) \leq 0$$

b) Étude du signe d’une expression factorisée

• Règle des signes pour un produit :

  Signe	$+$	$-$
  $+$	$+$	$-$
  $-$	$-$	$+$

• Méthode :

  1. Mettre l’expression sous forme factorisée.
  2. Étudier le signe de chaque facteur.
  3. Appliquer la règle des signes pour le produit.

• Tableau de signes : outil pratique pour visualiser les signes selon les intervalles.

Exemple : Résoudre
$(x+2)(7+3x) > 4x^2 + 8x$
équivaut à
$(x+2)(7+3x) - (4x^2 + 8x) > 0$
Factorisation :
$(x+2)(7 - x) > 0$
Solutions :
$S = ]-2; 7[$

c) Étude du signe d’un quotient

• Même principe que pour un produit, avec attention aux valeurs interdites (dénominateur nul).

Exemple : Résoudre
$\frac{3x+2}{5 - x} \geq 0$
Valeurs interdites : $x = 5$
Tableau de signes donne la solution :
$S = ]-\infty; -\frac{2}{3}] \cup ]5; +\infty[$

2. Sens de variation d’une fonction

a) Définitions

• Fonction strictement croissante sur un intervalle $I$ :
  Pour tous $a, b \in I$, si $a < b$ alors $f(a) < f(b)$.

• Fonction strictement décroissante sur un intervalle $I$ :
  Pour tous $a, b \in I$, si $a < b$ alors $f(a) > f(b)$.

3. Fonctions polynômes du second degré

a) Définition

Une fonction polynôme du second degré est définie par :

$$f : x \mapsto ax^2 + bx + c$$

avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$.

b) Propriétés

c) Représentation graphique

• La courbe est une parabole avec un axe de symétrie vertical.
• Le sommet $S(\alpha; \beta)$ est l’extrémum de la fonction.
• Forme canonique : $$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$ où $\alpha$ et $\beta$ sont les coordonnées du sommet.

4. Fonctions homographiques

a) Définition

Une fonction homographique est définie par :

$$f : x \mapsto \frac{ax + b}{cx + d}$$

avec $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $c \neq 0$ et $ad - bc \neq 0$.

• Domaine de définition : $$D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$$ car le dénominateur $cx + d$ ne doit pas s’annuler.

Exemple :

$$h(x) = \frac{x}{x - 2}$$

est définie pour $x \neq 2$.

À retenir :
Pour résoudre une inéquation, on étudie le signe de l’expression associée (différence, produit ou quotient) en utilisant la factorisation, la règle des signes et un tableau de signes.
Une fonction est strictement croissante (resp. décroissante) si l’ordre des images respecte (resp. inverse) l’ordre des antécédents.
Une fonction polynôme du second degré a un sens de variation déterminé par le signe de $a$ et un sommet donné par la forme canonique.
Une fonction homographique est définie partout sauf en une valeur interdite où le dénominateur s’annule.

1. Le cercle trigonométrique

• Définition : Le cercle trigonométrique est un cercle de centre $O$ et de rayon 1, muni d'un sens de parcours appelé sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
• On place ce cercle dans un repère orthonormé $(O, I, J)$ avec :
  • $I = (1,0)$
  • $J = (0,1)$

2. Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique

• À chaque réel $x$ correspond un point $M$ sur le cercle trigonométrique obtenu en "enroulant" la droite numérique sur le cercle dans le sens direct.
• Deux réels différents peuvent correspondre au même point $M$ si leur différence est un multiple de $2\pi$ (un tour complet).
• La longueur de l'arc $\overset{\frown}{IM}$ correspond à la valeur de $x$ modulo $2\pi$.

3. Valeurs remarquables des angles et leurs correspondances

4. Sinus et cosinus d’un nombre réel

• Soit $x$ un réel et $M$ son image sur le cercle trigonométrique.
  • cosinus de $x$ : abscisse de $M$, notée $\cos(x)$
  • sinus de $x$ : ordonnée de $M$, notée $\sin(x)$

a) Propriétés fondamentales

• Pour tout réel $x$, $$-1 \leq \cos(x) \leq 1 \quad \text{et} \quad -1 \leq \sin(x) \leq 1$$
• Relation fondamentale (théorème de Pythagore) : $$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$$

5. Lien avec la trigonométrie du triangle rectangle (angles aigus)

• Pour un angle aigu $x$ (en degrés ou radians), dans un triangle rectangle :
  • $\cos(x) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
  • $\sin(x) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
  • $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

6. Valeurs remarquables du sinus et du cosinus

À retenir : Le cosinus est l'abscisse et le sinus l'ordonnée du point image d'un réel $x$ sur le cercle trigonométrique de rayon 1.

7. Résumé des notions clés

1. Effectifs et fréquences

• Effectif d'une valeur : nombre de données correspondant à cette valeur.
• Fréquence d'une valeur :
  $f = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$
  avec $0 \leq f \leq 1$ et la somme des fréquences vaut toujours 1.
• Fréquences souvent exprimées en pourcentage.

Effectif cumulé et fréquence cumulée :

• Effectif cumulé à une valeur donnée = somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à cette valeur.
• Fréquence cumulée = somme des fréquences correspondantes.

Exemple : Pour un lancer de dé 50 fois, la fréquence cumulée pour la valeur 3 est 0,62, ce qui signifie que 62% des résultats sont inférieurs ou égaux à 3.

2. Représentations graphiques

3. Indicateurs de position

a) Moyenne

Pour une série de valeurs $x_1, x_2, ..., x_p$ avec effectifs $n_1, n_2, ..., n_p$ et fréquences $f_1, f_2, ..., f_p$ :

$$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{n_1 + n_2 + \cdots + n_p} = f_1 x_1 + f_2 x_2 + \cdots + f_p x_p$$

La moyenne est la valeur qui, si elle remplaçait toutes les données, donnerait la même somme totale.

b) Médiane

• La médiane $Me$ d'une série ordonnée partage la série en deux sous-séries de même effectif.
• Si l'effectif est impair : médiane = valeur du milieu.
• Si l'effectif est pair : médiane = moyenne des deux valeurs centrales.

c) Quartiles

• Premier quartile $Q_1$ : plus petite valeur telle qu'au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales.
• Troisième quartile $Q_3$ : plus petite valeur telle qu'au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales.

Médiane divise la série en 2 moitiés, quartiles en 4 quarts d'effectifs égaux (ou presque).

4. Indicateurs de dispersion

• Étendue :
  $\text{Étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$
• Écart interquartile :
  $\text{Écart interquartile} = Q_3 - Q_1$

Ces indicateurs mesurent l'homogénéité ou l'hétérogénéité des données.

5. Démarche statistique

Protocole pour répondre à une problématique par sondage :

1. Formuler la question.
2. Présenter la question à la population ciblée.
3. Recueillir et présenter les données brutes.
4. Examiner les valeurs aberrantes ou extrêmes, corriger si nécessaire.
5. Résumer statistiquement les données (moyenne, médiane, etc.).
6. Présenter les résultats par tableaux ou graphiques adaptés.

Attention aux biais d'échantillonnage, valeurs aberrantes et pertinence des indicateurs choisis.

1. Simulation d’une expérience aléatoire

• Les outils numériques (tableurs, calculatrices) disposent de générateurs de nombres aléatoires pour simuler des expériences aléatoires.

• Exemples de fonctions :

  Outil	Nombre aléatoire dans $[0;1[$	Nombre aléatoire entre $a$ et $b$ (inclus)
  Tableur	=ALEA()	=ALEA.ENTRE.BORNE(a;b)
  TI	Rand()	RandInt(a,b)
  Casio	Ran#	RandInt#(a,b)

• Pour simuler un dé à 6 faces sans fonction RandInt, on peut utiliser :
  TI : $\text{int}(6 \times \text{Rand}()) + 1$
  Casio : \text{Int}(6 \times \text{Ran#}) + 1

2. Modéliser une expérience aléatoire

• Loi des grands nombres : en répétant une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, les fréquences observées tendent vers des nombres fixes.
• Loi de probabilité : associe à chaque issue $a_i$ de l’univers $E$ une probabilité $p_i \geq 0$ telle que
  $\sum_{i=1}^N p_i = 1$
  où $N$ est le nombre d’issues.
• Expérience équiprobable : toutes les issues ont la même probabilité
  $p_i = \frac{1}{N}$
  La loi est dite équirépartie ou uniforme.

Exemple : lancer un dé équilibré à 6 faces

3. Probabilité d’un évènement

• Évènement : une partie de l’univers $E$, c’est-à-dire un ensemble d’issues.

• Notations usuelles :

  • $A$ : évènement « obtenir un nombre strictement inférieur à 3 »
  • $B$ : évènement « obtenir un nombre pair »

• Vocabulaire :

  • Évènement certain : $p(A) = 1$
  • Évènement impossible : $p(A) = 0$
  • Évènement contraire de $A$ : $A^c$, constitué des issues ne réalisant pas $A$

• Probabilité d’un évènement $A$ dans une expérience équiprobable :
  $p(A) = \frac{\text{nombre d’issues réalisant } A}{\text{nombre total d’issues}}$

Exemples (avec un dé à 6 faces) :

• $A = \{\text{obtenir un nombre} < 3\} = \{1,2\}$
  $p(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
• $B = \{\text{obtenir un nombre pair}\} = \{2,4,6\}$
  $p(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

4. Opérations sur les évènements

Propriété importante :
$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$

Cette formule évite de compter deux fois les issues communes à $A$ et $B$.

5. Échantillonnage et fluctuation d’échantillonnage

• Échantillon aléatoire de taille $n$ : liste des résultats obtenus par $n$ répétitions indépendantes d’une même expérience aléatoire.
• Proportion $p$ : part d’éléments dans la population possédant une caractéristique donnée (fixe).
• Fréquence $f$ : part d’éléments dans un échantillon possédant cette caractéristique (varie d’un échantillon à l’autre).
• Fluctuation d’échantillonnage : variation de la fréquence $f$ autour de la proportion $p$ lorsque l’on répète la prise d’échantillons.

Exemple :
Dans un lycée de 320 élèves, 240 font partie de l’Association Sportive, donc
$p = \frac{240}{320} = 0{,}75$
Un échantillon de taille 50 peut donner une fréquence $f$ différente de 0,75 (ex. $f = \frac{29}{50} = 0{,}58$).

6. Simulation et analyse critique

• On peut simuler plusieurs échantillons pour observer la fluctuation des fréquences.
• L’objectif est d’estimer une proportion inconnue à partir d’un échantillon et de prendre des décisions basées sur ces résultats.
• L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % permet d’encadrer la fréquence attendue dans un échantillon de taille $n$.

Pour un échantillon de taille $n$ et une proportion $p$, la fréquence $f$ observée varie généralement dans un intervalle autour de $p$ (à approfondir en classe).

1. Fluctuation d'échantillonnage

a) Intervalle de fluctuation (au seuil de 95 %)

• Définition :
  Pour une proportion $p$ d’un caractère dans une population, l’intervalle de fluctuation à 95 % est l’intervalle centré sur $p$ dans lequel la fréquence observée $f$ d’un échantillon de taille $n$ se trouve avec une probabilité de 95 %.

• Propriété (si $0{,}2 \leq p \leq 0{,}8$ et $n > 25$) :
  L’intervalle de fluctuation est approximativement

  $$\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; \quad p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$

• Remarque :
  Plus $n$ est grand, plus la fréquence $f$ se rapproche de $p$.

b) Prise de décision avec un intervalle de fluctuation

• Méthode :

  1. Calculer la fréquence observée $f$ dans l’échantillon.
  2. Calculer l’intervalle de fluctuation autour de $p$ (proportion connue dans la population).
  3. Comparer $f$ à cet intervalle :
     • Si $f$ appartient à l’intervalle, l’échantillon est conforme à la population.
     • Sinon, l’échantillon est non conforme.

• Exemple :
  Population : $p=0{,}75$ (75 % d’élèves à l’AS), échantillon $n=50$, fréquence observée $f = \frac{29}{50} = 0{,}58$.
  Intervalle de fluctuation :

  $$\left[0{,}75 - \frac{1}{\sqrt{50}} ; \quad 0{,}75 + \frac{1}{\sqrt{50}}\right] = [0{,}608 ; 0{,}891]$$

  Comme $0{,}58 \notin [0{,}608 ; 0{,}891]$, l’échantillon n’est pas conforme.

c) Estimation d’une proportion à partir d’un échantillon

• Définition (intervalle de confiance à 95 %) :
  Pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance à 95 % est l’intervalle centré sur $f$ dans lequel se situe la proportion $p$ réelle dans la population avec une probabilité de 95 %.

• Propriété (si $0{,}2 \leq f \leq 0{,}8$ et $n > 25$) :
  L’intervalle de confiance est approximativement

  $$\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; \quad f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$

• Remarques :

  • Plus $n$ est grand, plus l’estimation $f$ est précise.
  • L’intervalle de confiance dépend de la taille de l’échantillon, pas de la population totale.
  • Pour une bonne précision, il faut interroger environ 1000 personnes.

À retenir :
L’intervalle de fluctuation (ou de confiance) à 95 % s’écrit approximativement

$$\left[\text{proportion} - \frac{1}{\sqrt{n}} ; \quad \text{proportion} + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$

avec $n$ la taille de l’échantillon, et la proportion connue ou estimée entre 0,2 et 0,8.

1. Positions relatives en géométrie dans l’espace

a) Positions relatives de deux plans

• Plans parallèles : deux plans sont parallèles s’ils sont confondus ou n’ont aucun point commun.
• Plans sécants : deux plans sécants ont une intersection qui est une droite.

Notation :
Si $(ABG)$ et $(CDG)$ sont deux plans sécants, leur intersection est une droite notée
$(ABG) \cap (CDG) = (HG)$

b) Position relative d’une droite et d’un plan

Une droite et un plan sont soit :

• Parallèles : la droite est contenue dans le plan ou n’a aucun point commun avec lui.
• Sécants : ils ont un unique point commun.

Notation :

• Droite contenue dans un plan : $(AG) \subset (ABG)$
• Intersection d’une droite et d’un plan en un point $M$ : $(EB) \cap (DCG) = \{M\}$

2. Vecteurs et translations dans le plan

a) Translation et vecteur associé

• La translation qui transforme un point $A$ en un point $B$ transforme tout point $M$ en un point $N$ tel que $ABNM$ est un parallélogramme.
• Le vecteur associé à cette translation est noté $\vec{AB}$.
• La norme (longueur) du vecteur $\vec{AB}$ est la distance $AB$, notée $\|\vec{AB}\| = AB$.

b) Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si la translation de vecteur $\vec{AB}$ transforme $C$ en $D$.
Notation :
$\vec{AB} = \vec{CD}$
Ils sont alors deux représentants d’un même vecteur.

c) Somme de deux vecteurs

• La somme $\vec{u} + \vec{v}$ est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
• La somme est commutative :
  $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
• Relation de Chasles : pour tous points $A, B, C$ du plan,
  $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

d) Multiplication d’un vecteur par un réel

• Pour un vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(a; b)$, et un réel $\lambda$,
  $\lambda \vec{u} = (\lambda a; \lambda b)$
• Le vecteur $\lambda \vec{u}$ est colinéaire à $\vec{u}$.

3. Résumé des notations importantes

À retenir : Deux plans parallèles n’ont aucun point commun ou sont confondus, deux plans sécants s’intersectent selon une droite. Une droite et un plan sont parallèles ou sécants en un point unique. Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme, et la somme de vecteurs correspond à l’enchaînement des translations associées.

1. Vecteur nul et vecteur opposé

• Vecteur nul $\vec{0}$ : translation qui transforme tout point en lui-même.
  Pour tout point $A$, $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$.

• Vecteur opposé : pour $\overrightarrow{AB}$, l'opposé est $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.

• Soustraction de vecteurs :
  $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$.

• Multiplication par un réel $k$ :

  • Si $k > 0$, $k \times \vec{u}$ est la répétition $k$ fois de $\vec{u}$.
  • Si $k < 0$, $k \times \vec{u} = (-k) \times (-\vec{u})$.