Mathématiques du second degré

1. Concavité de la parabole

• Si $a > 0$, la parabole est concave vers le haut (forme en U : $\cup$).
• Si $a < 0$, la parabole est concave vers le bas (forme en ∩).

2. Sommet de la parabole

• Le sommet est le point le plus bas (minimum) si $a > 0$, ou le plus haut (maximum) si $a < 0$.
• Coordonnées du sommet :
  $S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

3. Intersection avec l'axe des abscisses (axe $Ox$)

• Les racines de la fonction sont les solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$.
• Le nombre de points d'intersection dépend du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :
  • $\Delta > 0$ : deux points d'intersection distincts.
  • $\Delta = 0$ : un point d'intersection (la parabole touche l'axe $Ox$ en un seul point).
  • $\Delta < 0$ : pas d'intersection avec l'axe $Ox$.

La concavité et la position du sommet déterminent la forme générale de la parabole et son comportement par rapport à l'axe des abscisses.

1. Intersections avec les axes

Pour étudier les intersections d'une fonction du second degré avec les axes, on cherche les points où la courbe coupe les axes Ox (axe des abscisses) et Oy (axe des ordonnées).

a) Intersection avec l'axe Oy

• L'axe Oy correspond à $x = 0$.
• Pour trouver l'intersection avec Oy, on calcule $f(0)$.
• Le point d'intersection est donc $(0, f(0))$.
• Exemple : si $f(x) = ax^2 + bx + c$, alors l'intersection avec Oy est $(0, c)$.

b) Intersection avec l'axe Ox

• L'axe Ox correspond à $y = 0$.
• Pour trouver les intersections avec Ox, on résout l'équation $f(x) = 0$.
• Les solutions $x_1$ et $x_2$ (réelles ou non) sont les abscisses des points d'intersection.
• Les points d'intersection sont donc $(x_1, 0)$ et $(x_2, 0)$.
• Selon le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :
  • Si $\Delta > 0$, deux intersections distinctes.
  • Si $\Delta = 0$, une intersection unique (la parabole est tangente à l'axe).
  • Si $\Delta < 0$, pas d'intersection réelle.

2. Parité et symétrie

La parité d'une fonction influence la symétrie de sa courbe, ce qui peut simplifier l'étude des intersections.

3. Axe de symétrie d'une parabole

• La parabole d'équation $f(x) = ax^2 + bx + c$ possède un axe de symétrie vertical.
• Cet axe est la droite d'équation :

$$x = -\frac{b}{2a}$$

• L'axe de symétrie permet de comprendre la forme de la parabole et facilite la recherche des intersections.

À retenir :
L'intersection avec l'axe Oy se trouve en évaluant $f(0)$, et les intersections avec l'axe Ox sont les solutions de $f(x) = 0$. La parité de la fonction détermine la symétrie de la courbe, et l'axe de symétrie d'une parabole est donné par $x = -\frac{b}{2a}$.

1. Parité d'une fonction

• Une fonction $f$ est paire si, pour tout $x$ de son domaine, on a :
  $f(-x) = f(x)$
  Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

• Une fonction $f$ est impaire si, pour tout $x$ de son domaine, on a :
  $f(-x) = -f(x)$
  Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

2. Symétrie et forme canonique d'un polynôme du second degré

Pour une fonction polynôme du second degré :
$f(x) = ax^2 + bx + c$

• Forme canonique :
  $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$
  avec
  $\alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$
  où $\Delta = b^2 - 4ac$ est le discriminant.

• Axe de symétrie (A.S.) :
  La droite verticale d'équation
  $x = \alpha = -\frac{b}{2a}$
  est l'axe de symétrie de la parabole.

• Sommet (S) :
  Le point
  $S = (\alpha ; \beta) = \left(-\frac{b}{2a} ; -\frac{\Delta}{4a}\right)$
  est le sommet de la parabole.

3. Concavité de la parabole

• Si $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut (concavité vers le haut, forme en U).
• Si $a < 0$, la parabole est ouverte vers le bas (concavité vers le bas, forme en ∩).

À retenir : La parabole $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ est symétrique par rapport à la droite $x = \alpha$, avec un sommet en $S(\alpha, \beta)$, et sa concavité dépend du signe de $a$.

1. Forme canonique d'un polynôme du second degré

La forme canonique d'un polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ s'écrit :

$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$

avec

• $\alpha = -\frac{b}{2a}$ (abscisse du sommet)
• $\beta = f(\alpha)$ (ordonnée du sommet)

2. Transformations graphiques liées à la forme canonique

La forme canonique permet d'interpréter graphiquement la fonction $f$ à partir de la fonction de référence $x \mapsto x^2$.

3. Résumé des effets sur le graphe

• Translation horizontale : déplace le sommet sur l'axe des abscisses.
• Dilataion verticale : modifie la "largeur" de la parabole et son orientation (ouverte vers le haut ou vers le bas).
• Translation verticale : déplace le sommet sur l'axe des ordonnées.

La forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$ correspond à une transformation du graphe de $x^2$ par une translation horizontale de $\alpha$, une dilatation verticale de rapport $a$, puis une translation verticale de $\beta$.