physique 3

1. Lentilles convergentes : synthèse

La relation entre la position de l'objet $p$, la position de l'image $p'$ et la distance focale $f$ d'une lentille convergente est donnée par la formule des lentilles minces :

$$\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}$$

ou réarrangée :

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f}$$

avec $f > 0$.

Cette relation correspond à une hyperbole lorsque l'on trace $p'$ en fonction de $p$.

2. Lentilles divergentes (rappel)

• Le rayon passant par le centre optique $O$ n'est pas dévié.
• Un rayon parallèle à l'axe optique diverge comme s'il provenait du foyer image $F'$.
• Un rayon dirigé vers le foyer objet $F$ ressort parallèlement à l'axe optique.

Pour une lentille divergente, la distance focale $f$ est négative ($f < 0$).

La formule des lentilles minces reste applicable :

$$\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f}$$

avec $f < 0$.

Exemple numérique :
Si $f = -40\,cm$ et $p = 30\,cm$,

$$p' = \left(\frac{1}{f} - \frac{1}{p}\right)^{-1} = -17\,cm$$

La valeur négative de $p'$ indique que l'image est virtuelle.

Le grandissement est :

$$\gamma = \frac{i}{o} = -\frac{p'}{p} = \frac{17}{30} \approx 0,57$$

Le rapport positif et inférieur à 1 signifie que l'image est droite et plus petite que l'objet.

À retenir : Pour une lentille convergente, $f > 0$ et l'image peut être réelle ou virtuelle selon la position de l'objet. Pour une lentille divergente, $f < 0$ et l'image est toujours virtuelle, droite et plus petite.

1. Propriétés principales des lentilles divergentes

2. Puissance d'une lentille divergente

• La puissance $\Pi$ d'une lentille est définie par :

  $$\Pi = \frac{1}{f}$$

  avec $f$ en mètres et $\Pi$ en dioptries (D).

• Pour une lentille divergente, la puissance est négative.

• Exemple : une lentille divergente de focale $f = -20$ cm a une puissance

  $$\Pi = \frac{1}{-0,20} = -5,0 \text{ D}$$

3. Système de lentilles minces accolées

• Deux lentilles minces accolées sont équivalentes à une lentille unique dont la puissance est la somme algébrique des puissances des lentilles :

  $$\Pi_{\text{système}} = \Pi_1 + \Pi_2$$

• Exemple d'application :
  On a une lentille convergente de focale $f_1 = 10$ cm ($\Pi_1 = 10$ D).
  Pour obtenir un système de puissance $\Pi_s = 5,0$ D, la puissance de la deuxième lentille doit être :

  $$\Pi_2 = \Pi_s - \Pi_1 = 5,0 - 10 = -5,0 \text{ D}$$

  Donc, la distance focale de la deuxième lentille est :

  $$f_2 = \frac{1}{\Pi_2} = \frac{1}{-5,0} = -0,20 \text{ m} = -20 \text{ cm}$$

  Il faut donc accoler une lentille divergente de focale $-20$ cm.

À retenir : La puissance d'une lentille divergente est négative et la distance focale est négative. Les lentilles divergentes forment des images virtuelles, droites et plus petites que l'objet.

1. Aberrations des lentilles

Les lentilles parfaites devraient faire converger tous les rayons issus d’un point objet en un point image unique. En réalité, plusieurs types d’aberrations empêchent cette convergence parfaite.

a) Aberration sphérique

• Les rayons marginaux (proches des bords de la lentille) ne convergent pas au même point que les rayons centraux (proches de l’axe optique).
• Cette aberration provoque un flou autour du foyer.
• Solution : intercaler un diaphragme pour ne laisser passer que les rayons centraux, limitant ainsi l’aberration.

b) Aberration d’obliquité

• Lorsque le faisceau de rayons est très incliné par rapport à l’axe optique, les rayons ne convergent pas en un point mais en deux segments orthogonaux.
• Cela déforme l’image, surtout sur les bords du champ de vision.

c) Aberration chromatique

• La lentille est constituée d’un matériau dispersif : l’indice de réfraction dépend de la couleur (longueur d’onde).
• Les rayons bleus et rouges ne convergent pas au même point car leurs distances focales diffèrent.
• Cette aberration provoque des franges colorées autour des images.
• Correction : utiliser un système de lentilles dites achromatiques qui compensent cette dispersion.

À retenir : Les aberrations (sphérique, d’obliquité, chromatique) limitent la qualité des images formées par une lentille ; elles sont corrigées par des dispositifs optiques spécifiques (diaphragme, lentilles achromatiques).

1. Caractéristique principale

• La distance entre les lentilles est négligeable devant leurs distances focales respectives.
• Le système se comporte comme une lentille unique dont la vergence est la somme des vergences des lentilles individuelles.

2. Vergence du système

Si on note $V_i$ la vergence de la $i$-ème lentille, alors la vergence totale $V$ du système est :

$$V = \sum_i V_i$$

3. Distance focale équivalente

La distance focale $f$ du système est liée à la vergence par :

$$V = \frac{1}{f}$$

avec $f$ en mètres et $V$ en dioptries (D).

4. Propriétés importantes

• Le système peut être convergent ou divergent selon le signe de $V$.
• Cette règle s'applique uniquement si les lentilles sont en contact (accollées).
• Si un espace existe entre les lentilles, il faut utiliser une méthode plus complexe (formule de Gullstrand).

À retenir : La vergence d’un système de lentilles minces accolées est la somme algébrique des vergences des lentilles qui le composent.

1. Les aberrations optiques

Les aberrations sont des défauts des lentilles qui empêchent la formation d'une image parfaite, nette et sans déformation.

a) Types principaux d’aberrations

b) Remarques importantes

• Les aberrations sont plus marquées pour les lentilles de grande ouverture.
• Elles limitent la qualité des images réelles, contrairement à l’approximation des lentilles minces parfaites.
• La correction des aberrations est essentielle en optique pour obtenir des images nettes et fidèles.

À retenir : Les aberrations sont des défauts optiques qui dégradent la qualité de l’image en provoquant flou, déformation ou coloration anormale.