Proportions et Pourcentages

1. Définitions

a) Proportion

• Proportion d'une partie dans un ensemble =
  $p = \frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$
• Valeurs : $p \in [0,1]$
• Formes : fraction ou décimale (arrondie si besoin)

Exemple :
Dans une classe de 25 élèves (24 filles, 1 garçon) :

• Proportion garçons = $\frac{1}{25} = 0,04$
• Proportion filles = $\frac{24}{25} = 0,96$

b) Propriétés sur proportions emboîtées

Soient trois ensembles emboîtés : $C \subset B \subset A$ avec effectifs $n_C$, $n_B$, $n_A$.

• Proportion de $B$ dans $A$ :
  $p_1 = \frac{n_B}{n_A}$
• Proportion de $C$ dans $B$ :
  $p_2 = \frac{n_C}{n_B}$
• Proportion de $C$ dans $A$ :
  $p = \frac{n_C}{n_A} = p_1 \times p_2$

À retenir : La proportion d’un sous-ensemble emboîté est le produit des proportions successives.

1. Proportions imbriquées

Pour calculer la proportion d'une sous-population $C$ dans une population $A$ via une population intermédiaire $B$ :

• Soit $p_1 = \frac{n_B}{n_A}$ la proportion de $B$ dans $A$.
• Soit $p_2 = \frac{n_C}{n_B}$ la proportion de $C$ dans $B$.

Alors, la proportion de $C$ dans $A$ est donnée par la multiplication des proportions :

$$p = p_1 \times p_2$$

Pour calculer la proportion d’une proportion, il faut multiplier les proportions entre elles.

2. Exemple d’application

Un magazine compte 120 pages, dont la moitié (60 pages) est consacrée à la publicité, et un quart des pages publicitaires (15 pages) à la mode.

• $p_1 = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$ (proportion de pages publicitaires)
• $p_2 = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ (proportion de pages mode parmi la publicité)
• Proportion des pages mode dans le magazine :

$$p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$$

3. Exemple avec des proportions dans une population

Dans une portée de 10 chatons :

• Proportion des femelles : $0,4 = 40$
• Proportion des mâles noirs : $0,3 = 30$

4. Pourcentages (%)

• Définition : Un pourcentage est une proportion multipliée par 100.

$$\text{Pourcentage} = \text{Proportion} \times 100$$

• Exemple : une proportion de $0,3$ correspond à $0,3 \times 100 = 30$.

1. Coefficient Multiplicateur (CM)

Le coefficient multiplicateur relie une valeur initiale (VI) à une valeur finale (VF) par une multiplication :

$$\text{CM} = \frac{\text{VF}}{\text{VI}}$$

Ce coefficient permet de calculer rapidement une nouvelle valeur après une augmentation ou une diminution.

2. Augmentation en pourcentage

Augmenter une quantité de $t$ revient à multiplier cette quantité par :

$$C = 1 + \frac{t}{100}$$

• $t$ est le taux d’augmentation en pourcentage.
• $C$ est le coefficient multiplicateur.

Exemple : une augmentation de 4 % correspond à $C = 1 + \frac{4}{100} = 1,04$.

Si la valeur initiale est 200 €, la valeur finale est :

$$\text{VF} = 200 \times 1,04 = 208 \text{ €}$$

3. Récapitulatif

Le coefficient multiplicateur est toujours positif et permet de passer de la valeur initiale à la valeur finale par multiplication.