Schéma cinématique

1. Définition et rôle du schéma cinématique

• Un mécanisme est constitué de plusieurs sous-ensembles reliés par des liaisons.
• Le schéma cinématique facilite la lecture et la compréhension du mécanisme, surtout lorsque celui-ci est complexe ou en phase de conception.
• Il doit refléter fidèlement les relations fonctionnelles entre les groupes de pièces, sans limiter la forme ou la taille des pièces.

2. Composition du schéma cinématique

• Groupes de pièces représentés par des fils de fer appelés aussi :
  • blocs cinématiques
  • classes d’équivalence
• Liaisons normalisées indiquées aux points de contact entre ces groupes.

3. Méthode d’élaboration du schéma cinématique

Le schéma cinématique met en lumière les interactions fonctionnelles entre pièces, essentielles pour analyser ou concevoir un mécanisme.

1. Méthode d'élaboration du schéma cinématique

Le schéma cinématique représente les liaisons mécaniques entre les pièces d’un mécanisme. Sa réalisation suit une méthode rigoureuse en plusieurs étapes :

1. Choisir la vue la plus pertinente
   Placer les axes correspondant à la vue qui décrit le mieux le fonctionnement du mécanisme.

2. Placer les centres des liaisons
   Respecter la disposition géométrique réelle des centres des liaisons entre pièces.

3. Dessiner les liaisons sur chaque centre
   Utiliser deux couleurs pour représenter clairement le schéma de chaque liaison.

4. Relier les couleurs identiques
   Connecter les éléments de même couleur pour montrer les liaisons entre pièces.

5. Indiquer la partie fixe
   Repérer et marquer la partie fixe du mécanisme (souvent la base ou le bâti).

2. Points clés à retenir

• Le schéma cinématique traduit les liaisons mécaniques (nom, axe, centre) entre les classes d’équivalence du graphe des liaisons.
• La méthode est identique quel que soit le système, simple ou complexe.
• Ne jamais sauter une étape pour garantir un schéma complet et informatif (classes d’équivalence, contacts, liaisons, représentations).

À retenir : La rigueur dans chaque étape est essentielle pour un schéma cinématique clair et exploitable.

1. Les actions mécaniques et la force

a) La force

• Définition : Une force (ou effort) est une action de tirer ou pousser suivant un axe.
• Unité : Elle s’exprime en Newton (N).
• Exemple : Lorsqu’une pomme tombe et touche la tête d’Isaac Newton, elle exerce une force due à sa vitesse. La tête exerce une force opposée sur la pomme (principe d’action-réaction).

b) Modélisation d’une force par un vecteur

Un vecteur force est défini par :

c) Le moment d’une force

• Définition : Le moment (ou couple) d’une force est la capacité de cette force à faire tourner un objet autour d’un point ou d’un axe.
• Expression : Le moment est calculé par rapport à un point donné.

2. Le principe fondamental de la statique (PFS)

• Définition : Un ensemble matériel {E} est en équilibre dans un repère R si la somme des actions mécaniques extérieures qui agissent sur {E} est nulle.
• Formule : $$\sum \vec{R}_{\text{ext} \to E} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \sum \vec{M}_{A(\text{ext} \to E)} = \vec{0}$$

a) Théorèmes associés

À retenir : Un système est en équilibre statique si la somme des forces extérieures et la somme des moments extérieurs sont toutes deux nulles.

1. Notion d’actions mécaniques extérieures

• Avant d’appliquer le PFS, il faut définir une frontière d’isolement autour du système étudié.
• Les actions mécaniques internes au système (situées à l’intérieur de cette frontière) ne sont pas prises en compte dans le PFS.
• Seules les actions mécaniques extérieures (qui traversent la frontière) interviennent dans l’écriture du PFS.

2. Exemple d’identification des actions extérieures

Pour un solide $S_2$ isolé, les actions mécaniques extérieures sont :

• le poids de $S_2$,
• l’action exercée en $C$ par $S_0$ sur $S_2$,
• l’action exercée en $D$ par $S_0$ sur $S_2$,
• l’action exercée en $B$ par $S_1$ sur $S_2$.

3. Application du PFS

Pour un solide isolé, on écrit :

$$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \sum \vec{M}_O(\vec{F}_{\text{ext}}) = \vec{0}$$

avec $O$ un point quelconque du solide.

4. Conseils pour le bac

• La statique est un cas particulier de la dynamique (état d’équilibre).
• Il est crucial de ne pas oublier d’inclure toutes les actions mécaniques extérieures dans le bilan pour que le PFS soit correctement appliqué.
• La rigueur dans l’identification des forces extérieures garantit la validité des calculs.

Le PFS est la base pour résoudre les problèmes d’équilibre des solides en mécanique.

1. Hypothèses du modèle poutre

Pour modéliser une poutre en Résistance des Matériaux (RDM), plusieurs hypothèses sont posées :

• Matériau homogène : le matériau est identique en tout point de la poutre.
• Matériau isotrope : les propriétés mécaniques sont les mêmes dans toutes les directions.
• Forme assimilable à une poutre :
  • La courbe moyenne (ensemble des centres de gravité des sections droites) est continue, différentiable, et son rayon de courbure est grand devant sa longueur.
  • Les sections droites restent perpendiculaires à la courbe moyenne et varient lentement.
  • La racine carrée de la surface des sections droites est petite devant la longueur de la courbe moyenne.

2. La traction-compression

Une poutre est en traction simple (ou compression simple) lorsqu’elle subit deux forces axiales opposées appliquées au centre des surfaces extrêmes, provoquant un allongement ou un raccourcissement.

a) Essai de traction

• Permet de déterminer les caractéristiques mécaniques essentielles en RDM :

  • Résistance élastique
  • Résistance mécanique
  • Allongement

• Principe :
  Une éprouvette, assimilable à une poutre, est soumise à un effort de traction croissant à une extrémité. On mesure les allongements correspondants aux différentes valeurs de l’effort.

L’essai de traction est la base pour prévoir le comportement des pièces en traction, compression, cisaillement, flexion ou torsion.

1. La traction-compression

a) Zones du graphique d’un essai de traction

• Zone 1 : Partie élastique (linéaire)

  • Déformations réversibles : l’éprouvette reprend sa forme initiale si l’effort cesse.
  • Limite élastique notée $R_e$ : fin de la zone élastique.

• Zone 2 : Partie plastique

  • Déformations irréversibles : déformation permanente (allongement résiduel $A_g$).
  • Résistance mécanique notée $R_m$ : fin de la zone plastique.

• Zone 3 : Partie endommagée

  • Striction : rétrécissement brutal de la section avant rupture.

b) Flexion simple

• Une poutre est en flexion simple si toutes les forces appliquées sont perpendiculaires à la ligne moyenne et symétriques par rapport au plan de symétrie.
• Exemple : poutre reposant sur deux appuis avec une charge concentrée verticale.
• Répartition des contraintes dans la poutre :

  Zone de la poutre	Type de sollicitation
  Partie supérieure	Compression
  Fibre neutre	Ni traction ni compression
  Partie inférieure	Traction

c) Contrainte et déformation

• Déformation : modification de la forme ou de la taille d’un matériau sous l’effet d’une force.
• Déformation réversible : matériau élastique retrouve sa forme initiale après suppression de la force (jusqu’à une certaine limite).
• La déformation s’exprime en pourcentage (%).

À retenir : La limite élastique $R_e$ sépare la déformation réversible (élastique) de la déformation irréversible (plastique).

1. La flexion simple

La flexion simple correspond à la déformation d'une poutre soumise à un moment fléchissant, provoquant une courbure sans torsion ni effort tranchant important.

a) Hypothèses de la flexion simple

• La poutre est prismatique (section constante) et homogène.
• Les déformations restent petites.
• Les sections droites initialement perpendiculaires à l'axe neutre restent planes et perpendiculaires à l'axe déformé.
• La poutre subit uniquement un moment fléchissant $M$.

b) Axe neutre et contraintes

• L'axe neutre est la fibre de la poutre où la contrainte normale est nulle.
• Au-dessus de l'axe neutre, la fibre est en compression ; en dessous, en traction.
• La contrainte normale $\sigma$ varie linéairement avec la distance $y$ à l'axe neutre :

$$\sigma(y) = -\frac{M}{I} y$$

avec :

• $M$ : moment fléchissant (en N·m),
• $I$ : moment d'inertie de la section par rapport à l'axe neutre (en m⁴),
• $y$ : distance à l'axe neutre (en m).

c) Moment d'inertie $I$

Le moment d'inertie dépend de la forme de la section. Par exemple, pour une section rectangulaire de largeur $b$ et hauteur $h$ :

$$I = \frac{b h^3}{12}$$

d) Loi de Hooke et déformations

• La déformation longitudinale $\varepsilon$ est proportionnelle à la contrainte selon la loi de Hooke :

$$\sigma = E \times \varepsilon$$

• $E$ est le module de Young (en Pa).

• La déformation varie aussi linéairement avec $y$ :

$$\varepsilon(y) = -\frac{y}{\rho}$$

où $\rho$ est le rayon de courbure de la fibre neutre.

e) Relation entre moment et courbure

La courbure $\frac{1}{\rho}$ est liée au moment fléchissant par :

$$\frac{1}{\rho} = \frac{M}{E I}$$

2. Résumé des formules clés

À retenir : La contrainte de flexion varie linéairement avec la distance à l'axe neutre, et la courbure de la poutre est proportionnelle au moment fléchissant.

1. Le maillage en simulation par éléments finis

• Le produit est modélisé par un maillage constitué de sous-domaines simples (volumes, surfaces, lignes selon la théorie).
• Chaque sous-domaine est associé à des nœuds qui définissent des fonctions de base pour interpoler le champ de déplacement.
• Cette méthode est une approximation de la mécanique classique.

2. Validité du modèle RDM

• Le modèle de la Résistance des Matériaux (RDM) est invalide près des liaisons, appuis ou points d’application des forces.
• Cette invalidité correspond à la non-satisfaction du principe de Saint-Venant.

3. Types de sollicitations sur une poutre

• La direction et le sens des efforts extérieurs par rapport à la ligne moyenne de la poutre définissent le type de sollicitation.
• Pour analyser, on divise la poutre en deux tronçons et on isole une partie pour établir le torseur des forces et de cohésion.

4. La contrainte

• La contrainte est une force appliquée sur une surface, exprimée en Pascal (Pa).
• 1 Pa = 1 N/m², mais on utilise souvent ses multiples :
  • MPa = 1 N/mm²
  • GPa = 1000 MPa
• La contrainte représente la pression interne subie par un matériau sous charge.

La contrainte est la force par unité de surface exercée à l’intérieur d’un matériau.

1. Moment quadratique

• Le moment quadratique (en mm⁴) caractérise la raideur d’une poutre au fléchissement.
• Exemple : un réglet fléchit plus facilement à plat qu’à la verticale (sur la tranche).

• $I_{Gz}$ : moment quadratique par rapport à l’axe $Gz$ (axe passant par le centre de gravité).
• $I_0$ : moment quadratique par rapport à un point $O$.

2. Calcul par éléments finis

1. Pré-traitement

   • Maillage de la pièce en éléments finis.
   • Application des actions extérieures (efforts, déplacements imposés).
   • Choix du modèle de matériau.

2. Résolution

   • Calcul des déplacements et efforts aux nœuds du maillage.

3. Post-traitement

   • Reconstruction des résultats (déplacements, contraintes).
   • Visualisation et analyse des résultats.

Même si la simulation est automatisée, comprendre ces étapes est essentiel pour éviter des erreurs liées aux hypothèses du modèle ou à une mauvaise interprétation des résultats.

3. Lecture des résultats

• Les logiciels affichent principalement :
  • La répartition des contraintes dans la pièce.
  • La déformation de la pièce.

La lecture des résultats doit être rigoureuse pour une interprétation précise, mais une certaine tolérance est admise au bac en cas d’écarts raisonnables.