Seq 3 parit 2

1. Modèle optique de la lunette astronomique

• Lunette astronomique : système optique constitué de deux lentilles convergentes alignées sur un même axe optique.
• Objectif : lentille située côté objet observé, elle collecte la lumière provenant de l'objet.
• Oculaire : lentille située côté œil de l'observateur, elle permet de voir l'image formée.

2. Identification des lentilles

• L'axe optique indique la direction de propagation de la lumière, de l'objet vers l'œil.
• L'objectif est la lentille la plus éloignée de l'œil, l'oculaire est la plus proche.

3. Lunette afocale

• Une lunette est dite afocale si elle ne forme pas d'image réelle à l'intérieur du système.
• Cela signifie que le faisceau lumineux entrant parallèle à l'axe optique ressort également parallèle.
• Cette propriété est obtenue lorsque la distance entre les deux lentilles est égale à la somme de leurs distances focales :

$$d = f_{\text{objectif}} + f_{\text{oculaire}}$$

• Dans ce cas, un objet situé à l'infini (rayons parallèles) produit un faisceau émergent parallèle, facilitant l'observation.

Une lunette astronomique afocale est modélisée par deux lentilles convergentes espacées de la somme de leurs distances focales, ce qui permet d'observer des objets à l'infini avec un faisceau lumineux parallèle en sortie.

1. Image formée par la première lentille convergente

• Pour un objet à l’infini, la première lentille convergente forme une image réelle dans son plan focal image.

  

  L’image d’un objet à l’infini par une lentille convergente est située dans son plan focal image.

2. Condition pour que la lunette soit afocale

• L’image formée par la première lentille doit être l’objet de la deuxième lentille.
• Pour que la lunette soit afocale, la deuxième lentille doit former une image réelle à l’infini.
• Cela implique que l’objet de la deuxième lentille est situé dans son plan focal objet.

3. Position relative des lentilles pour un système afocal

• La condition essentielle est que le foyer image de la première lentille coïncide avec le foyer objet de la deuxième lentille.
• Ainsi, la distance entre les deux lentilles est égale à la somme de leurs distances focales principales.

4. Résumé des conditions afocales

5. Vergence et distances focales

• Vergence $\nu$ (en dioptries $\delta$) : $\nu = \frac{1}{f'}$ avec $f'$ en mètres.
• Exemple : $\nu_1 = 2,0\,\delta \Rightarrow f'_1 = \frac{1}{2,0} = 0,5\,m$.
• Exemple : $\nu_2 = 5,0\,\delta \Rightarrow f'_2 = \frac{1}{5,0} = 0,2\,m$.

6. Représentation schématique

• Le foyer image $F'_1$ de la première lentille $L_1$ est situé à $f'_1$ de $L_1$.
• La deuxième lentille $L_2$ est placée de sorte que son foyer objet $F_2$ coïncide avec $F'_1$.
• Les centres optiques $O_1$ et $O_2$ sont situés respectivement au centre des lentilles.

À retenir : Un système afocal est obtenu lorsque la distance entre les deux lentilles est égale à la somme de leurs distances focales, assurant que les rayons parallèles en entrée ressortent parallèles en sortie.

1. Trajet des rayons lumineux dans la lunette

La lunette astronomique est constituée de deux lentilles convergentes :

• Objectif : première lentille par laquelle entre la lumière.
• Oculaire : seconde lentille par laquelle sort la lumière.

a) Règles de construction des rayons lumineux à travers une lentille convergente

• Un rayon passant par le centre optique de la lentille n'est pas dévié.
• Un rayon issu du foyer objet devient parallèle à l’axe optique après la lentille.
• Un rayon parallèle à l’axe optique passe par le foyer image après la lentille.
• Tous les rayons qui se croisent en un point du plan focal objet deviennent parallèles après la lentille.
• Tous les rayons parallèles se croisent en un point du plan focal image après la lentille.

b) Trajet des rayons dans la lunette astronomique

1. Après la première lentille (objectif) :

   • Un rayon passant par le centre optique n’est pas dévié.
   • Un rayon parallèle à l’axe optique converge vers le foyer image de la lentille.
   • L’image formée par l’objectif d’un objet à l’infini est une image réelle dans le plan focal image de l’objectif.

2. Après la deuxième lentille (oculaire) :

   • L’image formée par l’objectif sert d’objet pour l’oculaire.
   • La lunette est conçue pour que le foyer image de l’objectif coïncide avec le foyer objet de l’oculaire.
   • Les rayons issus de ce point focal objet deviennent parallèles après l’oculaire, ce qui produit une image à l’infini.

c) Propriété afocale de la lunette astronomique

• La lunette est un système afocal :
  • Les rayons parallèles entrants (objet à l’infini) ressortent parallèles (image à l’infini).
  • Cela signifie que la lunette ne forme pas d’image réelle à une distance finie, mais modifie la direction des rayons pour l’observation.

À retenir : La lunette astronomique est composée de deux lentilles convergentes placées de telle sorte que le foyer image de la première coïncide avec le foyer objet de la seconde, assurant un système afocal.

2. Schéma résumé du trajet des rayons

Cette organisation des rayons permet à la lunette astronomique de former une image nette d’un objet lointain tout en conservant un faisceau parallèle à la sortie, facilitant ainsi l’observation à travers l’oculaire.

1. Taille apparente

• Taille apparente (ou diamètre apparent) d’un objet : angle $\alpha$ entre les droites reliant les extrémités de l’objet à l’observateur.
• Approximation des petits angles (en radians) : $$\alpha \approx \tan \alpha = \frac{a}{D}$$ avec $a$ la taille réelle de l’objet et $D$ sa distance.

L’approximation est valable pour les objets célestes car leurs angles apparents sont très petits (ex. : la Lune a un diamètre angulaire d’environ 31,5 minutes d’arc, soit environ 0,0092 rad, où $\tan \alpha \approx \alpha$).

2. Grossissement théorique d’une lunette astronomique

• La lunette augmente l’angle apparent de l’objet :

  $$G = \frac{\alpha'}{\alpha}$$

  où $\alpha$ est l’angle entrant (objet) et $\alpha'$ l’angle sortant (image vue à travers la lunette).

• Signe des angles :

  • $\alpha < 0$ (objet réel situé devant l’objectif)
  • $\alpha' > 0$ (image virtuelle droite vue à travers l’oculaire)

• Signe du grossissement :

  $$G = \frac{\alpha'}{\alpha} < 0$$

  donc le grossissement est négatif, indiquant une image inversée.

3. Relations angulaires dans la lunette

4. Expression du grossissement en fonction des focales

• En combinant les relations précédentes :

  $$G = \frac{\alpha'}{\alpha} = -\frac{f_1'}{f_2'}$$

• Interprétation :

  • Le grossissement est égal au rapport des distances focales, avec un signe négatif indiquant une inversion d’image.
  • Pour que la lunette grossisse effectivement, il faut que : $$f_1' > f_2'$$

À retenir :
Le grossissement théorique d’une lunette astronomique est

$$\boxed{G = -\frac{f_1'}{f_2'}}$$

avec $f_1'$ la focale de l’objectif et $f_2'$ celle de l’oculaire.

1. Définitions des caractéristiques

2. Exemple d'une lunette commerciale

• Ouverture : 50 mm
• Longueur focale : 600 mm
• Oculaires : 3 oculaires de 20 mm, 12 mm, 4 mm
• Grossissements associés : 30x, 50x, 150x

3. Comparaison de trois lunettes astronomiques

• Meilleur grossissement : Lunette B (plus petit oculaire → plus grand grossissement)
• Meilleure luminosité : Lunette A (plus grande ouverture → plus de lumière collectée)

4. Formule du grossissement $G$

$$G = \frac{f_{\text{objectif}}}{f_{\text{oculaire}}}$$

• $f_{\text{objectif}}$ : longueur focale de l'objectif (en mm)
• $f_{\text{oculaire}}$ : longueur focale de l'oculaire (en mm)

À retenir : Le grossissement d'une lunette est le rapport entre la focale de l'objectif et celle de l'oculaire, tandis que la luminosité dépend directement de l'ouverture (diamètre de l'objectif).

1. Modélisation de l'œil pour mesurer le grossissement

• L'œil est modélisé par une lentille convergente et un écran (rétine).
• Pour un objet à l'infini, l'image se forme sur le plan focal image de la lentille.
• L'écran doit être placé sur ce plan focal image pour simuler la rétine.

2. Relation entre angle apparent et taille de l'image

• Soit $\alpha$ l'angle apparent de l'objet, $\overline{OF'}$ la distance focale, $\overline{FA}$ la taille de l'image sur l'écran.
• Dans le triangle $OF'A$, on a :

$$\tan \alpha = \frac{\overline{FA}}{\overline{OF'}}$$

• Pour les petits angles, $\tan \alpha \approx \alpha$, donc :

$$\alpha = \frac{\overline{FA}}{\overline{OF'}}$$

3. Définition expérimentale du grossissement

• Après la lunette, l'angle apparent devient $\alpha' = \frac{\overline{FB}}{\overline{OF'}}$ avec $\overline{FB}$ la taille de l'image sur l'écran.
• Le grossissement est le rapport des angles apparents :

$$G = \frac{\alpha'}{\alpha} = \frac{\frac{\overline{FB}}{\overline{OF'}}}{\frac{\overline{FA}}{\overline{OF'}}} = \frac{\overline{FB}}{\overline{FA}}$$

• Ainsi, le grossissement peut se mesurer par le rapport des tailles des images sur l'écran.

4. Vérification expérimentale

• Le grossissement théorique d'une lunette est :

$$G = -\frac{f_1'}{f_2'}$$

avec $f_1'$ la distance focale de l'objectif et $f_2'$ celle de l'oculaire.

• La mesure expérimentale du grossissement (rapport des tailles d'images) doit correspondre à ce résultat théorique.

5. Image intermédiaire dans la lunette astronomique

• Une image intermédiaire réelle se forme à l'intérieur de la lunette.
• Elle se situe au niveau du plan focal image de l'objectif et du plan focal objet de l'oculaire.
• Cette image peut être observée sur une feuille de papier placée à cet endroit.

6. Résumé des points clés

Le grossissement d'une lunette astronomique peut être mesuré expérimentalement par le rapport des tailles des images formées sur un écran modélisant la rétine, ce qui correspond au rapport des angles apparents.