Statistiques et Organisation des Données

1. Collecte et organisation des données statistiques

a) Définitions clés

• Population : ensemble des individus étudiés.
• Effectif : nombre d’individus correspondant à une modalité donnée.
• Modalité : valeur ou catégorie prise par une variable statistique.
• Série statistique : ensemble des modalités et de leurs effectifs.

b) Niveau de vie selon le revenu annuel

• Une population est pauvre si le revenu annuel par personne est < 180 000 F CFA.
• Une population est extrêmement pauvre si elle est pauvre et que plus de la moitié de la population a un revenu inférieur au revenu annuel moyen.

2. Organisation des données

a) Le mode

• Mode : modalité qui a le plus grand effectif dans une série statistique.
• Pour déterminer le mode, on identifie la modalité avec l’effectif maximal.

Exemple :

• Le plus grand effectif est 25, donc le mode est la modalité 10.

b) La fréquence

• Fréquence d’une modalité : rapport de l’effectif de cette modalité à l’effectif total.

$$\text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la modalité}}{\text{effectif total}}$$

• La fréquence peut s’exprimer en pourcentage :

$$\text{fréq}(\%) = \frac{\text{effectif de la modalité}}{\text{effectif total}} \times 100$$

3. Exemple d’application

• Données de revenus annuels (en milliers de F CFA) pour 100 personnes dans un quartier.
• Objectif : déterminer le niveau de vie en organisant ces données (calcul du mode, fréquences, etc.).

À retenir : Le mode est la valeur la plus fréquente dans une série statistique, et la fréquence mesure la proportion d’individus ayant cette valeur.

1. Fréquence d'une modalité

• Fréquence d'une modalité = quotient de son effectif par l'effectif total.
• Exemple : fréquence de la modalité 7 = $\frac{15}{60} = 0,25$ soit 25 %.

2. Fréquence cumulée croissante

• Effectif cumulé croissant d'une modalité = somme des effectifs de toutes les modalités inférieures ou égales à cette modalité.
• Fréquence cumulée croissante = quotient de l'effectif cumulé croissant par l'effectif total.
• Exemple :
  • Modalité 10 : fréquence cumulée = $\frac{52}{60} = \frac{13}{15}$.
  • Modalité 13 : fréquence cumulée = $\frac{60}{60} = 1$.

3. Moyenne d’une série statistique

• Définition :
  La moyenne est la somme de toutes les données divisée par l’effectif total.
• Formule : $$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i \times n_i}{N}$$ où $x_i$ est la modalité, $n_i$ son effectif, et $N$ l’effectif total.

4. Médiane d’une série statistique

• Définition :
  La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux sous-séries de même effectif :

  • valeurs inférieures ou égales à la médiane,
  • valeurs supérieures ou égales à la médiane.

• Cas selon l’effectif total $N$ :

  $N$	Médiane
  impair	modalité de rang $\frac{N+1}{2}$
  pair	moyenne des modalités de rang $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$

• Exemple :
  Série ordonnée : 2 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15
  Effectif $N=11$ (impair), donc médiane = modalité de rang $\frac{11+1}{2} = 6$ → 9.

• Si $N$ pair, médiane = moyenne des deux valeurs centrales.
  Exemple : pour $N=6$, médiane = $\frac{7+8}{2} = 7,5$.

À retenir : La médiane divise la série en deux groupes d’effectifs égaux, assurant une mesure de tendance centrale robuste aux valeurs extrêmes.

1. Médiane d’une série statistique

• Définition : La médiane est la valeur qui partage la série statistique en deux parties égales, c’est-à-dire que 50 % des données sont inférieures ou égales à cette valeur, et 50 % sont supérieures ou égales.

• Calcul selon l’effectif total $n$ :

  • Si $n$ est impair, la médiane est la valeur située à la position $\frac{n+1}{2}$ dans la série ordonnée.
  • Si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs aux positions $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2} + 1$.

Exemple : Pour la série 25 ; 33 ; 34 ; 37 ; 39 ; 40 ; 37 ; 28, ordonnée : 28 ; 33 ; 34 ; 35 ; 37 ; 37 ; 39 ; 40 (effectif $n=8$ pair),
Médiane = $\frac{35 + 37}{2} = 36$.

2. Regroupement en classes d’égale amplitude

• Principe : Pour faciliter l’analyse, on regroupe les données en intervalles (classes) de même amplitude.

• Exemple : Taille des élèves regroupée en 3 classes d’amplitude 0,10 m :

  • [1,50 ; 1,60[
  • [1,60 ; 1,70[
  • [1,70 ; 1,80[

• Classe modale : La classe qui contient le plus grand effectif.
  Ici, la classe modale est [1,60 ; 1,70[ car elle a l’effectif maximal.

3. Moyenne d’une série regroupée en classes

• Définition :
  La moyenne $\bar{x}$ d’une série regroupée en classes est donnée par :

$$\bar{x} = \frac{\sum (\text{centre de classe} \times \text{effectif})}{\text{effectif total}}$$

• Calcul des centres de classes :
  Pour une classe $[a ; b[$, le centre est $\frac{a + b}{2}$.

• Exemple avec les classes et effectifs :

• Formule appliquée :

$$\bar{x} = \frac{13 \times 1,55 + 20 \times 1,65 + 18 \times 1,75}{13 + 20 + 18}$$

À retenir :
La médiane divise la série en deux parts égales, et pour une série regroupée en classes, la moyenne se calcule à partir des centres de classes pondérés par leurs effectifs.

1. Regroupement en classes

• Une classe est un intervalle de valeurs regroupant des données continues.
• Le centre de classe est la moyenne des bornes de l’intervalle :
  $\text{centre} = \frac{\text{borne inférieure} + \text{borne supérieure}}{2}$
  Exemple : pour la classe $[1,60 ; 1,70[$, le centre est $(1,60 + 1,70)/2 = 1,65$.

• La moyenne d’une série regroupée en classes s’obtient par : $$M = \frac{\sum (\text{centre de classe} \times \text{effectif})}{\text{effectif total}} = \frac{1,55 \times 13 + 1,65 \times 20 + 1,75 \times 18}{51} = \frac{84,65}{51} \approx 1,66$$

2. Représentation graphique : diagramme circulaire

• La mesure en degrés d’un secteur angulaire est proportionnelle à l’effectif de la classe : $$\text{mesure secteur} = \frac{360^\circ \times \text{effectif de la classe}}{\text{effectif total}}$$

3. Effectifs cumulés croissants et polygone des effectifs cumulés

• L’effectif cumulé croissant à une valeur $x$ est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à $x$.
• Exemple d’effectifs cumulés croissants devant un poste téléviseur :

• Pour construire le polygone des effectifs cumulés croissants :
  1. Placer les points $(x_i, \text{effectif cumulé})$ dans un repère orthogonal.
  2. Relier ces points par des segments de droite.

Exemple de points : $(1;0)$, $(3;2)$, $(5;8)$, $(7;12)$, $(9;19)$, $(11;28)$.

La représentation graphique par polygone des effectifs cumulés permet de visualiser la répartition progressive des données.