Suites terminales

1. Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe une constante $r$ telle que :

$$u_{n+1} = u_n + r \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

$r$ est la raison de la suite.

2. Propriétés

• Terme général :

$$u_n = u_0 + n r$$

• Somme des $n+1$ premiers termes :

$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$$

3. Sens de variation

• Si $r > 0$, la suite est strictement croissante.
• Si $r < 0$, la suite est strictement décroissante.
• Si $r = 0$, la suite est constante.

1. Définition

Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe une constante $q \neq 0$ telle que :

$$u_{n+1} = q \times u_n \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

$q$ est la raison de la suite.

2. Propriétés

• Terme général :

$$u_n = u_0 \times q^n$$

• Somme des $n+1$ premiers termes (si $q \neq 1$) :

$$S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$

3. Sens de variation

• Si $q > 1$ et $u_0 > 0$, la suite est croissante.
• Si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$, la suite est décroissante.
• Si $q < 0$, la suite est oscillante.

1. Définition

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - \ell| < \varepsilon$$

On note alors :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$$

Si la limite est $\pm \infty$, on dit que la suite diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$.

2. Limites usuelles

1. Définitions

• Suite croissante : $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$.
• Suite strictement croissante : $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$.
• Suite décroissante : $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$.
• Suite strictement décroissante : $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$.
• Suite monotone : croissante ou décroissante.

2. Propriétés

• Une suite monotone et bornée converge.
• Une suite monotone non bornée diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$.

1. Étapes pour étudier une suite récurrente

1. Déterminer le domaine de définition.
2. Calculer les premiers termes.
3. Étudier la monotonie (comparer $u_{n+1}$ et $u_n$).
4. Chercher une limite éventuelle $\ell$ en résolvant l'équation $\ell = f(\ell)$.
5. Justifier la convergence (monotonie + bornitude).
6. Exprimer éventuellement le terme général (rarement simple).

2. Exemple type

Si $u_{n+1} = f(u_n)$ et la suite converge vers $\ell$, alors :

$$\ell = f(\ell)$$