Vecteurs 1

1. Translation et vecteur

a) Définitions

• Translation : La translation qui transforme un point $M$ en $M'$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{MM'}$.
• Vecteur : Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme (longueur).

Représentation géométrique :

• Direction : droite passant par $M$ et $M'$
• Sens : de $M$ vers $M'$ (indiqué par la flèche)
• Norme : longueur du segment $[MM']$

Notations :

• Vecteur allant de $M$ à $M'$ : $\overrightarrow{MM'}$
• Vecteur générique : $\overrightarrow{u}$
• Norme du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ : $||\overrightarrow{MM'}|| = MM'$
• Norme du vecteur $\overrightarrow{u}$ : $||\overrightarrow{u}||$

b) Vecteurs égaux

• Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
• Si $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{NN'}$, alors $MM'N'N$ est un parallélogramme.

c) Vecteurs particuliers

d) Milieu d’un segment

• Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$$

e) Enchaînement de deux translations : somme de vecteurs

• La composition de deux translations de vecteurs $\overrightarrow{u}$ puis $\overrightarrow{v}$ est une translation de vecteur

  $$\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$$

• Cela signifie que l’image d’une figure par la translation $\overrightarrow{u}$ puis par $\overrightarrow{v}$ est la même que son image par la translation $\overrightarrow{w}$.

À retenir : La somme de deux vecteurs correspond à l’enchaînement des translations associées.

1. Somme de vecteurs

• La somme de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est un vecteur $\overrightarrow{w}$ tel que la translation de vecteur $\overrightarrow{w}$ correspond à la composition des translations de vecteurs $\overrightarrow{u}$ puis $\overrightarrow{v}$.
• Formellement, on note : $$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{w}$$

2. Relation de Chasles

• Pour tous points $A$, $B$, $C$, la relation de Chasles s'exprime par : $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$
• Cette relation permet de simplifier la somme de vecteurs liés par des points consécutifs.

3. Construction d'un vecteur somme

Pour construire un représentant du vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ :

1. Construire un vecteur $\overrightarrow{AB}$ tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$.
2. Construire un vecteur $\overrightarrow{BC}$ tel que $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{v}$.
3. Alors, $$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$
4. Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ est un représentant de la somme $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$.

La somme de vecteurs est commutative :
$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$.

4. Différence de vecteurs

• La différence de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est définie par : $$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v})$$
• Où $-\overrightarrow{v}$ est l'opposé de $\overrightarrow{v}$ (même direction et norme, sens inverse).

5. Simplifications courantes avec la relation de Chasles

• Attention : la relation de Chasles s'applique uniquement avec des somme (+) de vecteurs, pas avec des différences directement.

La relation de Chasles permet de simplifier la somme de vecteurs en reliant les points extrêmes.