Économétrie des Séries Temporelles

A) 🤔 Caractère aléatoire des données

• Les séries temporelles économiques résultent de variables aléatoires.
• Il est essentiel de considérer le caractère aléatoire lors de l'analyse des données.

B) 📊 Importance de l'analyse

• L'analyse des séries temporelles permet de détecter des tendances et des cycles.
• Comprendre la nature aléatoire aide à modéliser et à prévoir les comportements futurs des données.

A) 📈 Composition de l'Indice CAC40

• L'indice CAC40 est constitué des 40 plus grandes capitalisations boursières des entreprises françaises.
• Sa composition est mise à jour trimestriellement par un comité d'experts.
• Lorsqu'une société sort du CAC40, elle est généralement remplacée par une valeur du CAC Next 20.
• 12 sociétés ont intégré l'indice à sa création le 31 décembre 1987 et n'en ont jamais quitté, incluant des leaders comme Air Liquide, L'Oréal, LVMH, et Michelin.

B) 📊 Critères d'Intégration au CAC40

1. Les sociétés sont choisies parmi les 100 entreprises françaises avec les volumes d'échanges les plus importants.
2. Les critères financiers incluent :
   • Liquidité du titre
   • Capitalisation boursière
   • Échanges quotidiens importants
3. Le concept de flottant est essentiel, désignant la part des titres d'une société pouvant être échangée sur le marché.

C) 📅 Cotations en Temps Réel

• Les cotations en temps réel des 40 entreprises composant l'indice CAC40 sont disponibles sur des plateformes comme Boursorama.

A) 📊 Définition

• Un processus stochastique est une suite de variables aléatoires indexées par le temps.
• Il est également connu sous le nom de processus de séries chronologiques.
• Lors de la collecte de données temporelles, nous obtenons une réalisation unique d'un processus stochastique.

B) 🕒 Échantillon de données

• La taille de l'échantillon d'une série temporelle correspond au nombre de périodes durant lesquelles nous observons les variables du modèle.

C) 🎲 Exemple : Marche aléatoire

• La marche aléatoire est un exemple de processus stochastique.
• Elle est définie par une séquence de variables aléatoires indépendamment distribuées avec des valeurs dans { -1, 1}.
• Les probabilités sont données par : $P[X_t = 1] = P[X_t = -1] = \frac{1}{2}$
• Dans cet exemple, $X_t$ représente le gain après avoir lancé une pièce :
  • Si on obtient face, on gagne 1 euro.
  • Si on obtient pile, on perd 1 euro.

D) 📈 Formule de la marche aléatoire

• La marche aléatoire est définie par : $S_t = S_{t-1} + X_t$
• Où :
  • $S_t$ est le montant après $t$ lancers de pièce.
  • $X_t$ est le résultat du lancer à l'instant $t$.

A) 📈 Qu'est-ce qu'une série temporelle ?

• Une série temporelle est un ensemble de variables aléatoires indexées par le temps.
• Notation : $\{Y_t\}_{t=1}^{T}$, où $Y_t$ représente la variable à l'instant $t$.

B) 📊 Échantillon de réalisations

• Supposons que les réalisations de $T$ variables aléatoires soient i.i.d. (indépendamment et identiquement distribuées).
• Ces réalisations proviennent d'un même processus stochastique.
• Notation : $Y_t \sim N(\mu, \sigma^2)$ pour $t = 1, \ldots, T$.

C) 🔄 Processus générateur

• Le processus générateur (DGP) est la source des données de la variable $Y_t$.
• Une collection de réalisations sur une infinité de périodes peut être notée comme suit : $\{Y_{t}\}_{t=-\infty}^{+\infty}$

D) 📏 Fonction de densité

• La variable aléatoire $Y_t$ possède une fonction de densité notée $f_{Y_t}(y)$.
• Exemple de fonction de densité pour une loi normale : $f_{Y_t}(y) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

E) 📚 Rappels sur les moments

• Moment ordinaire d'ordre k : $E(X^k) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k dF(x)$
• Moment centré d'ordre k : $E((X - E(X))^k) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E(X))^k dF(x)$
• L'espérance est notée $E(X)$ et correspond au moment d'ordre un.

A) 📊 Définition du Moment d'Ordre 1

• Le moment d'ordre 1 donne une idée de la moyenne des réalisations de la variable aléatoire $X$.
• Il est calculé en effectuant plusieurs tirages de cette variable.

B) 📈 Variance

• La variance est le moment centré d'ordre 2.
• Elle représente la moyenne des écarts par rapport à l'espérance $E(X)$.

C) ⏳ Dépendance Temporelle

• Sous l'hypothèse de normalité, l'espérance est constante.
• En levant l'hypothèse i.i.d. (indépendance et identiquement distribuée), l'espérance peut dépendre du temps.
• On a alors : $E[Y_t] = \mu(t)$

D) 📉 Stationnarité

• La notion de stationnarité est essentielle en analyse de séries temporelles.
• Le fait que le moment d'ordre 1 soit ou non une fonction du temps caractérise la stationnarité.

E) 🔍 Moments d'Ordre 2

• Les moments d'ordre 2 de la variable $Y_t$ ne se limitent pas à la simple variance.
• Il est crucial d'étudier les corrélations (ou covariances) entre $Y_t$ et les variables $Y_{t-1}, Y_{t-2}, Y_{t-3}, \ldots$.

A) 📊 Définition de l'Autocovariance

• La fonction d’autocovariance, notée généralement $\gamma(h)$, mesure la covariance entre la variable $Y_t$ et la variable $Y_{t-h}$.
• Elle est définie par : $\gamma(h) = E[(Y_t - E[Y_t])(Y_{t-h} - E[Y_{t-h}])]$

B) 📈 Propriétés de l'Autocovariance

1. À l'ordre 0, on obtient la variance de la variable $Y_t$ : $\gamma(0) = Var(Y_t) = E[Y_t^2] - (E[Y_t])^2$
2. Pour des variables i.i.d., les moments d'ordre deux sont identiques pour toutes les variables $Y_t$.
3. En général, la fonction d’autocovariance peut dépendre de l’indice de temps $t$.

C) 📅 Stationnarité

• La fonction d’autocovariance est indépendante du temps si elle est stationnaire, c'est-à-dire : $\gamma(h) = \gamma(h) \quad \forall t$

D) 📚 Exemples

• Exemple 1a : Série historique du PIB semestriel aux États-Unis (1Q:1947 - 4Q:2011).
• Exemple 1b : Série historique de la croissance du PIB semestriel aux États-Unis (1Q:1947 - 4Q:2011).
• Exemple 2 : Immatriculations de voitures neuves en France (août 1985 à novembre 1994).

E) 🛠️ Modélisation

• La première étape de la modélisation d'une série temporelle consiste à déterminer si le processus générateur est stationnaire.

A) 📏 Définition de la stationnarité

• La stationnarité du second ordre se concentre sur la constance des grandeurs dans le temps.
• Un processus stochastique stationnaire existe si les variables $Y_1, Y_2, \ldots, Y_t$ peuvent être représentées par un tel processus.

B) 🛠️ Types de processus stationnaires

1. Processus stationnaire au sens strict (stationnarité forte)
2. Stationnarité du second ordre (stationnarité faible)
3. Bruits blancs : processus stationnaires particuliers.

C) 📊 Processus stationnaire au sens strict

• Un processus $x_t$ est dit strictement stationnaire si, pour tout temps $t$ et tout ensemble de temps $t_1, t_2, \ldots, t_n$, la distribution conjointe des variables est invariante par translation dans le temps.

D) 📈 Stationnarité d'ordre deux

• Un processus est stationnaire au second ordre si les conditions suivantes sont remplies :
  1. La moyenne $E[x_t]$ est constante.
  2. La variance $Var(x_t)$ est constante.
  3. La covariance $Cov(x_t, x_{t+h})$ dépend uniquement de $h$ et non de $t$.

E) ⚖️ Propriétés des processus stationnaires

• La fonction d'autocovariance $\gamma(h)$ est symétrique.
• La variance du processus $x_t$ doit être constante et indépendante du temps.

F) 📉 Simulation de processus stationnaires et non stationnaires

• Un examen graphique peut être trompeur et ne constitue pas un test statistique de stationnarité. Il est crucial d'utiliser des tests appropriés pour vérifier l'hypothèse de stationnarité.

G) ❓ Stationnaire ou non stationnaire ?

• Il est essentiel de déterminer si un processus est stationnaire ou non pour appliquer les bonnes méthodes d'analyse.

A) 🎵 Définition du Bruit Blanc

• Un bruit blanc est un processus stationnaire à accroissements indépendants.
• On parle aussi de processus i.i.d. (indépendants et identiquement distribués).

B) 📏 Conditions d'un Processus Bruit Blanc

Un processus est considéré comme un bruit blanc s'il satisfait les deux conditions suivantes :

1. Moyenne nulle : ( E[x_t] = 0 )
2. Autocovariance :
   • ( \gamma(h) = \begin{cases} \sigma^2 & \text{si } h = 0 \ 0 & \text{si } h \neq 0 \end{cases} )

C) 📊 Processus Moyenne-Mobile d'Ordre 1 (MA(1))

• Un processus MA(1) est défini par : $X_t = Z_t + \theta Z_{t-1}$ où ( Z ) est un bruit blanc.

1) 📈 Fonction d'Autocovariance

• La fonction d'autocovariance est donnée par : \sigma^2(1 + \theta^2) & \text{si } h = 0 \\ \sigma^2\theta & \text{si } h = 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

2) 📉 Fonction d'Autocorrélation

• La fonction d'autocorrélation est : 1 & \text{si } h = 0 \\ \theta & \text{si } h = 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

D) 🚶‍♂️ Marche Aléatoire (Random Walk)

• Une marche aléatoire est définie par : $X_t = X_{t-1} + Z_t$ où ( Z_t ) est un bruit blanc.

1) 🧐 Stationnarité de la Marche Aléatoire

• La marche aléatoire n'est pas stationnaire car sa variance augmente avec le temps.

A) 📜 Définition du théorème

• Le théorème de Wold (1938) est fondamental pour l'analyse des séries temporelles stationnaires.
• Il stipule que tout processus stationnaire d'ordre deux peut être représenté comme une somme pondérée infinie de chocs passés.

B) 🔍 Décomposition de Wold

• La représentation d'un processus stationnaire est donnée par : $$x_t = \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \epsilon_{t-j} + \kappa$$ où :
  • $\epsilon_t$ est un bruit blanc avec variance finie.
  • $\kappa$ est une composante linéaire déterministe.

C) ⚙️ Remarques importantes

1. Si l'on omet la composante déterministe, tout processus stationnaire peut être écrit comme une somme de chocs passés.
2. Connaître les pondérations et la variance du bruit blanc permet de représenter n'importe quel processus stationnaire.

D) 📊 Composante déterministe

• La composante déterministe est indépendante des chocs, souvent représentée par l'espérance du processus : $$E[x_t] = m \neq 0$$

E) 📏 Conditions sur les pondérations

1. Normalisation : Le poids du choc présent doit être unitaire.
2. Nullité possible : Les pondérations des chocs passés peuvent être nulles pour certains retards.
3. Sommabilité : Condition d'intégrabilité des carrés pour assurer l'existence des moments d'ordre 2 du processus.

A) 📉 Définition

• Un processus non stationnaire ne satisfait pas les conditions d'un processus stationnaire.
• Les moments d'ordre un et d'ordre deux dépendent du temps.
• La stationnarité conditionne le choix de la modélisation.

B) 🔍 Règle Générale (Méthodologie de Box et Jenkins)

1. Si la série est stationnaire :
   • Chercher le meilleur modèle parmi les processus stationnaires (AR, MA, ARMA, ARCH, GARCH, etc.).
2. Si la série est non stationnaire :
   • Chercher à stationnariser le processus avant de modéliser.

C) 🌊 Sources de Non Stationnarité

• Deux classes de processus non stationnaires (Nelson et Plosser, 1982) :
  1. Processus TS (Trend Stationary)
  2. Processus DS (Differency Stationary)

D) 📊 Exemples Simples de Processus Non Stationnaires

1) 📈 Rupture de Moyenne

• Simulation d'un processus avec une rupture de moyenne à t0=125.
• Non stationnarité due à la rupture du modèle.

2) 📉 Inclusion de Tendance

• Processus défini par $x_t = 1 + 0.05t + \epsilon_t$ avec $\epsilon_t \sim iid(0, 0.1)$.
• Non stationnarité due à la tendance déterministe.

3) 🌪️ Marche Aléatoire Pure

• Non stationnarité due à l'accumulation de chocs stochastiques.
• La variance augmente avec le temps.

E) ⚖️ Distinction entre Processus TS et DS

• Processus TS : Non stationnarité de type déterministe.
• Processus DS : Non stationnarité de type stochastique.
• Cette distinction est essentielle pour l'analyse statistique et économique.

F) 📚 Processus TS (Trend Stationary)

• Peut s'écrire sous la forme : $x_t = f(t) + z_t$, où $z_t$ est un processus stationnaire.
• Les chocs stochastiques ont un effet transitoire, sans persistance.
• La trajectoire à long terme est insensible aux aléas conjoncturels.