Probabilités et Statistiques

1. Succession d’épreuves indépendantes

Une succession d’épreuves indépendantes signifie que le résultat d’une épreuve n’influence pas celui des autres.

2. Probabilités dans une succession d’épreuves indépendantes

• Si $A_1, A_2, \dots, A_n$ sont des événements issus d’épreuves indépendantes, alors :

$$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times \cdots \times P(A_n)$$

• Pour un événement $A$ défini sur une épreuve, la probabilité de ne pas obtenir $A$ est $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

3. Exemple type : lancer de dé

• Dé équilibré à 6 faces, faces numérotées de 1 à 6.
• Probabilité d’obtenir un nombre pair : $P(\text{pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Probabilité d’obtenir un 6 : $P(6) = \frac{1}{6}$.

4. Calculs classiques

5. Événement « au moins une fois »

Soit $A_n$ l’événement « obtenir au moins une fois un 6 en $n$ lancers » :

• $A_n =$ « au moins un 6 en $n$ lancers »
• Sa probabilité est :

$$P(A_n) = 1 - P(\text{pas de 6 en } n \text{ lancers}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n$$

• Limite : $\lim_{n \to +\infty} P(A_n) = 1$
  → Plus on lance, plus on est sûr d’obtenir un 6 au moins une fois.

• Pour garantir $P(A_n) \geq 0,95$ :

$$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \geq 0,95 \implies \left(\frac{5}{6}\right)^n \leq 0,05$$

6. Application à un groupe de candidats indépendants

• Probabilité qu’un candidat soit admis : $p = 0,24$.
• Pour $n$ candidats indépendants, la probabilité qu’aucun ne soit admis :

$$P(\text{aucun admis}) = (1-p)^n = 0,76^n$$

• Probabilité qu’au moins un soit admis :

$$P(\text{au moins un admis}) = 1 - 0,76^n$$

• Pour que cette probabilité soit $\geq 0,99$ :

$$1 - 0,76^n \geq 0,99 \implies 0,76^n \leq 0,01$$

À retenir : Dans une succession d’épreuves indépendantes, la probabilité que plusieurs événements se produisent simultanément est le produit des probabilités de chacun. Pour un événement « au moins une fois », on utilise la complémentarité.

1. Loi binomiale : définition et conditions

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité de succès) si :

• On réalise $n$ épreuves indépendantes identiques.
• Chaque épreuve a deux issues possibles : succès (avec probabilité $p$) ou échec (avec probabilité $1-p$).
• $X$ compte le nombre de succès obtenus sur les $n$ épreuves.

On note alors :
$X \sim \mathcal{B}(n, p)$

2. Formule de probabilité

La probabilité que $X$ prenne la valeur $k$ (nombre de succès) est donnée par :
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
avec $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$.

3. Espérance et variance

Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ :

• Espérance :
  $E(X) = np$
• Variance :
  $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$
• Écart-type :
  $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

4. Exemples typiques de variables binomiales

5. Calculs de probabilités usuels

• $P(X = k)$ : probabilité d'avoir exactement $k$ succès.
• $P(X \leq k)$ : probabilité d'avoir au plus $k$ succès.
• $P(X \geq k)$ : probabilité d'avoir au moins $k$ succès.

Ces probabilités peuvent être calculées à l'aide de la formule binomiale ou d'une calculatrice/statistiques.

6. Interprétation et utilisation

• La loi binomiale modélise des situations d'expériences répétées indépendantes avec deux issues.
• Elle permet de calculer la probabilité d'un nombre donné de succès.
• L'espérance donne le nombre moyen de succès attendus.
• La variance mesure la dispersion autour de cette moyenne.

À retenir :
Une variable suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ si elle compte le nombre de succès dans $n$ épreuves indépendantes identiques, chacune avec probabilité $p$ de succès.
Sa probabilité est donnée par $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

1. Exercice 1 : Matelas RESSORTS et MOUSSE

• Données :
  • $P(R) = 0,2$ (client achète matelas RESSORTS)
  • $P(S|R) = 0,9$ (satisfait sachant R)
  • $P(S) = 0,82$ (client satisfait)
  • $x = P(S|\overline{R})$ (probabilité satisfait sachant pas R)

a) Arbre pondéré

b) Calcul de $x$

$$P(S) = P(R) \times P(S|R) + P(\overline{R}) \times P(S|\overline{R}) \\ 0,82 = 0,2 \times 0,9 + 0,8 \times x \\ 0,82 = 0,18 + 0,8x \Rightarrow 0,8x = 0,64 \Rightarrow x = 0,8$$

c) Probabilité qu’un client satisfait ait acheté un matelas RESSORTS

$$P_R(S) = \frac{P(R \cap S)}{P(S)} = \frac{0,2 \times 0,9}{0,82} \approx 0,22$$

d) Variable aléatoire $X$ = nombre de clients satisfaits parmi 5

• (a) $X \sim \mathcal{B}(n=5, p=0,82)$
• (b) Probabilité qu’au plus 3 clients soient satisfaits :

$$P(X \leq 3) = 1 - P(X=4) - P(X=5) \approx 0,222$$

e) Probabilité que $n$ clients soient tous satisfaits

• (a) $p_n = (0,82)^n$
• (b) Trouver $n$ tel que $p_n < 0,01$ :

$$(0,82)^n < 0,01 \iff n > \frac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)} \approx 23,2$$

Interprétation : à partir de 24 clients, la probabilité que tous soient satisfaits est inférieure à 1%.

2. Exercice 2 : Ampoules fabriquées par machines A et B

• Données :
  • $P(A) = 0,65$, $P(B) = 0,35$
  • $P(\text{sans défaut}|A) = 0,92$, $P(\text{sans défaut}|B) = 0,95$

a) Arbre pondéré

b) Probabilité d’une ampoule sans défaut

$$P(\text{sans défaut}) = 0,65 \times 0,92 + 0,35 \times 0,95 = 0,9305$$

c) Probabilité qu’une ampoule sans défaut provienne de la machine A

$$P_A(\text{sans défaut}) = \frac{P(A \cap \text{sans défaut})}{P(\text{sans défaut})} = \frac{0,65 \times 0,92}{0,9305} \approx 0,643$$

d) Variable aléatoire $X$ = nombre d’ampoules sans défaut parmi 10 issues de la machine A

• (a) $X \sim \mathcal{B}(n=10, p=0,92)$
• (b) Probabilité qu’exactement une ampoule présente un défaut :

$$P(X=9) = \binom{10}{9} 0,92^9 \times 0,08 \approx 0,377$$

• (c) Probabilité d’au moins 9 ampoules sans défaut :

$$P(X \geq 9) = P(X=9) + P(X=10) \approx 0,812$$

3. Exercice 3 : Test anti-dopage

• Données :
  • $P(D) = 0,08$ (athlète dopé)
  • $P(T|D) = 0,98$ (test positif si dopé)
  • $P(\overline{T}|\overline{D}) = 0,995$ (test négatif si non dopé)

a) Arbre pondéré

b) Probabilité que le test soit positif

$$P(T) = P(D) \times P(T|D) + P(\overline{D}) \times P(T|\overline{D}) = 0,08 \times 0,98 + 0,92 \times 0,005 = 0,083$$

c) (a) Probabilité qu’un athlète avec test positif soit dopé

$$P_D(T) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)} = \frac{0,08 \times 0,98}{0,083} \approx 0,945$$

(b) Le test sera-t-il commercialisé ?
Non, car $0,945 < 0,95$ (seuil requis).

d) Contrôle de 5 athlètes

• (a) $X \sim \mathcal{B}(n=5, p=0,103)$ (probabilité test positif)
• (b) Espérance :

$$E[X] = 5 \times 0,103 = 0,515$$

• (c) Probabilité qu’au moins un soit positif :

$$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1 - 0,103)^5 \approx 0,419$$

e) Nombre minimal d’athlètes à contrôler pour $P(\text{au moins un positif}) \geq 0,75$

$$1 - (1 - 0,103)^n \geq 0,75 \iff (1 - 0,103)^n \leq 0,25 \\ n \geq \frac{\ln(0,25)}{\ln(0,897)} \approx 12,75$$

Il faut contrôler au moins 13 athlètes.

4. Exercice 4 : Jeu télévisé à deux phases

• 4 candidats, probabilité de qualification par candidat : $p=0,6$
• Deuxième phase a lieu si au moins 2 candidats qualifiés
• Durée deuxième phase selon nombre qualifiés :

a) Loi de $X$ = nombre de candidats qualifiés

$$X \sim \mathcal{B}(4, 0,6)$$

b) Probabilité que la deuxième phase ait lieu

$$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0,3456 + 0,3456 + 0,1296 = 0,8208 > 0,8$$

Condition 1 respectée.

c) Durée moyenne de la deuxième phase

$$E[T] = \sum_k k \times P(T=k) = 0 \times 0,1792 + 5 \times 0,3456 + 9 \times 0,3456 + 11 \times 0,1296 = 6,264 > 6$$

Condition 2 non respectée.

Conclusion : Le jeu ne peut pas être retenu.

À retenir :

• Utiliser la formule des probabilités totales pour calculer des probabilités globales.
• La loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ modélise le nombre de succès dans $n$ épreuves indépendantes identiques.
• Pour $X \sim \mathcal{B}(n,p)$, $P(X \leq k)$ se calcule souvent via la complémentarité.
• Pour $n$ tirages indépendants, la probabilité que tous réussissent est $p^n$.
• Le logarithme permet de résoudre des inégalités impliquant des puissances.