Statique des Solides

1. Isolement d'un système matériel

L'isolement d'un système matériel consiste à définir un ensemble matériel distinct du reste du mécanisme pour analyser les actions mécaniques qui lui sont appliquées.

a) Définition d'un système isolé

• Un ensemble isolé est un système matériel défini par ses éléments constitutifs, pouvant être représenté seul.
• Exemple : Pour un bras Maxpid, l'ensemble isolé $E = \{2,3,4\}$ regroupe certains composants distincts du mécanisme complet.

b) Actions mécaniques : extérieures et intérieures

• Une action mécanique est toujours exercée d'un ensemble matériel sur un autre.

• Pour l'étude, il faut faire un bilan exhaustif des actions extérieures, incluant :
  • Actions mécaniques de contact (liaisons normalisées)
  • Actions mécaniques à distance (ex. pesanteur)

c) Exemple d'isolement et identification des actions

• Sur le graphe des liaisons, on peut représenter les actions mécaniques autres que celles dues aux liaisons, formant un graphe des actions mécaniques.
• Pour l'ensemble isolé $E = \{2,3,4\}$ du bras Maxpid, la frontière d'isolement permet de définir :
  • Actions intérieures : $\{J_{1/2}\}$, $\{J_{5/4}\}$
  • Actions extérieures à $E$ : $\{J_{3/2}\}$, $\{J_{4/3}\}$, $\{J_{\not 1/2}\}$

À retenir : L'isolement d'un système matériel permet de distinguer clairement les actions mécaniques extérieures (sur lesquelles porte l'analyse) des actions intérieures (interne au système), base indispensable pour appliquer le principe fondamental de la statique.

1. Équilibre d’un ensemble matériel

• Définition : Un ensemble matériel $E$ est en équilibre par rapport à un repère $R$ si chaque point de $E$ conserve une position fixe dans $R$ au cours du temps.
• En conséquence, le torseur cinématique de $E$ est nul dans $R$ à tout instant.

2. Principe fondamental de la statique (PFS)

• Énoncé :
  Il existe un repère galiléen $R_0$ tel que, pour qu’un ensemble isolé $E$ soit en équilibre dans $R_0$, il faut et il suffit que le torseur des actions mécaniques extérieures sur $E$ soit nul : $$\{T_{\vec{E} \to E}\} = \{0\}$$
• Repère galiléen : référentiel où tout point matériel isolé est immobile ou en translation rectiligne uniforme (ex. repère lié à la Terre).
• Remarque :
  • Le PFS peut s’appliquer en première approche à des mouvements lents ou à vitesse constante.
  • La condition $\{T_{\vec{E} \to E}\} = \{0\}$ est nécessaire mais pas suffisante pour l’équilibre d’un ensemble de solides : il faut vérifier le PFS pour chaque solide.

3. Formulation vectorielle du PFS

Le torseur nul s’écrit :

$$\{T_{\vec{E} \to E}\} = \left\{ \frac{\vec{R}_{\vec{E} \to E}}{\vec{M}_{\vec{E} \to E}^A} \right\}_A = \left\{ \frac{\vec{0}}{\vec{0}} \right\}_A$$

Ce qui donne deux conditions vectorielles indépendantes :

• En base, ces équations donnent 6 équations scalaires (3 en modélisation plane).

4. Théorème des actions réciproques

• Énoncé : Pour deux solides $S_1$ et $S_2$, le torseur des actions mécaniques exercées par $S_1$ sur $S_2$ est l’opposé de celui exercé par $S_2$ sur $S_1$ : $$\{T_{S_2 \to S_1}\} = -\{T_{S_1 \to S_2}\}$$

5. Application au micro-compresseur (exemple)

• Hypothèse : Effets dynamiques négligeables → pièces en équilibre quasi-statique.
• Étapes :
  1. Modéliser les efforts mécaniques dans les liaisons.
  2. Modéliser les efforts extérieurs (pression $P$, couple moteur $C_m$).
  3. Isoler chaque pièce (bielle, arbre, piston) et appliquer le PFS.
• Résultat attendu :
  • Système d’équations (nombre d’équations vs inconnues).
  • Relation entre $C_m$ et $P$.

6. Résumé des conditions d’équilibre

À retenir : Pour qu’un ensemble matériel soit en équilibre dans un repère galiléen, la résultante des forces extérieures et la somme des moments extérieurs en un point quelconque doivent être nulles.

1. Méthodes de résolution en statique des solides

a) Méthode systématique (laborieuse)

• Objectif : déterminer toutes les actions mécaniques dans un système de solides liés.

• Étapes :

  1. Isoler chaque solide (sauf le bâti).
  2. Dresser le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME) pour chaque isolement.
  3. Appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) :
     • Choisir un point quelconque pour exprimer les moments.
     • Choisir une base quelconque pour projeter les torseurs.
  4. Résoudre le système d’équations obtenu.

• Nombre d’équations :

  • $6 \times (p - 1)$ équations (avec $p$ le nombre de solides, bâti inclus).
  • $m$ équations triviales liées à la mobilité ($m$ = mobilité du système).
  • Le système a donc $6(p-1) - m$ équations indépendantes.

• Condition de résolution :

  • $6(p-1) - m = I_s$ (avec $I_s$ le nombre d’inconnues statiques).
  • Degré d’hyperstatisme :
    $h = I_s - [6(p-1) - m] \geq 0$
  • Si $h=0$, le système est isostatique (résoluble).
  • Si $h>0$, le système est hyperstatique d’ordre $h$ (certaines inconnues restent indéterminées).

À retenir : Le système est résoluble si et seulement si le nombre d’équations indépendantes égale le nombre d’inconnues.

b) Méthode optimisée (performante)

• But : déterminer seulement certaines inconnues recherchées, en évitant d’introduire d’autres inconnues inutiles.

• Stratégie :

  1. Identifier les actions mécaniques connues et celles recherchées.
  2. Choisir un isolement coupant la liaison des inconnues recherchées, en limitant les autres coupures.
  3. Appliquer le PFS en choisissant judicieusement :
     • Le point de réduction des moments (pour éliminer des inconnues non recherchées).
     • Les équations vectorielles à écrire (pour éviter d’introduire des inconnues inutiles).
     • La base de projection (pour isoler les inconnues recherchées).
  4. Résoudre le système. Si impossible, revoir l’isolement.

• Conseils :

  • Repérer les solides soumis à deux forces : leur isolement donne directement les forces opposées sans écrire d’équations.
  • Écrire les équations du PFS en projection sur les directions où les inconnues non recherchées n’ont pas de composantes.

• Exemple :
  Pour un solide en liaison pivot d’axe $(O, \vec{z})$, le moment résultant en $O$ projeté sur $\vec{z}$ ne fait pas apparaître d’inconnue de liaison.

À retenir : La méthode optimisée réduit le nombre d’équations et d’inconnues en exploitant la géométrie et la nature des liaisons, rendant la résolution plus efficace.

2. Résumé des notions clés

Point clé : Le choix du point de réduction, des projections et de l’isolement est crucial pour simplifier la résolution et éviter les inconnues inutiles.

1. Modélisation plane en statique

Un problème de statique est plan si le mécanisme possède un plan de symétrie commun à sa géométrie et aux actions mécaniques appliquées.

a) Caractéristiques d'une modélisation plane

• Efforts : tous dans le plan de symétrie.
• Moments : tous normaux au plan.

Les torseurs d'actions mécaniques dans ce cas ont :

b) Forme générale d'un torseur dans un problème plan (plan normal $\vec{z}$)

$$\left\{ \mathcal{T}_{1/2} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \vec{F}_{1/2} \\ \vec{M}_{A,1/2} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} X \vec{x} + Y \vec{y} + Z \vec{z} \\ X' \vec{x} + Y' \vec{y} + N \vec{z} \end{array} \right\}$$

Dans un problème plan, on a :

• $Z = 0$ (pas de force hors plan)
• $X' = 0$, $Y' = 0$ (pas de moment dans le plan)
• Seule la composante $N$ (moment normal) est non nulle

Donc le torseur se réduit à :

$$\left\{ \mathcal{T}_{1/2} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} X \\ Y \\ 0 \end{array} \right\} \quad \text{et} \quad \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ N \end{array} \right\}$$

c) Conséquences sur les équations d'équilibre

• Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) appliqué à un solide isolé dans un problème plan fournit 3 équations scalaires :

À retenir : Dans un problème plan, seules 3 équations d'équilibre sont disponibles, ce qui simplifie l'analyse statique.

1. Systèmes soumis à deux forces

• Équilibre sous deux forces $\vec{F}_A$ en A et $\vec{F}_B$ en B implique :
  • $\vec{F}_B = -\vec{F}_A$ (forces opposées)
  • $\vec{F}_B$ colinéaire à $\vec{AB}$
• Théorème : Les deux forces sont opposées et ont pour support la droite $(AB)$.
• Conséquence : Pour un système à deux forces, les supports des forces sont connus immédiatement.

2. Systèmes soumis à trois forces non parallèles

• Soit trois forces $\vec{F}_A$, $\vec{F}_B$, $\vec{F}_C$ en A, B, C.
• Conditions d'équilibre (PFS) en un point $I$ quelconque : $$\begin{cases} \vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_C = \vec{0} \\ \vec{M}_{I,\vec{F}_A} + \vec{M}_{I,\vec{F}_B} + \vec{M}_{I,\vec{F}_C} = \vec{0} \end{cases}$$
• En choisissant $I$ à l'intersection des supports de $\vec{F}_A$ et $\vec{F}_B$ : $$\vec{M}_{I,\vec{F}_A} = \vec{M}_{I,\vec{F}_B} = \vec{0} \Rightarrow \vec{M}_{I,\vec{F}_C} = \vec{0} \Rightarrow \vec{F}_C \text{ passe par } I$$
• Théorème : Les trois forces sont coplanaires, concourantes en un point $I$, et forment un triangle lorsqu'elles sont mises bout à bout.
• Méthode graphique :
  1. Trouver le point de concours $I$ des supports de $\vec{F}_A$ et $\vec{F}_B$.
  2. Tracer la direction de $\vec{F}_C$ passant par $I$.
  3. Connaissant $\vec{F}_A$ et la direction de $\vec{F}_B$, utiliser le triangle des forces pour déterminer normes et sens de $\vec{F}_B$ et $\vec{F}_C$.

3. Systèmes soumis à trois forces parallèles

• Trois forces parallèles $\vec{F}_A$, $\vec{F}_B$, $\vec{F}_C$ avec $\vec{F}_A$ connue et $\vec{F}_B$ parallèle.
• Les trois forces sont concourantes en l'infini, donc parallèles.
• Conditions d'équilibre :
  • Moment (par rapport à C) : $$L_{CA} \cdot \|\vec{F}_A\| - L_{CB} \cdot \|\vec{F}_B\| = 0 \Rightarrow \vec{F}_B = -\frac{L_{CA}}{L_{CB}} \vec{F}_A$$
  • Résultante : $$\vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_C = \vec{0} \Rightarrow \vec{F}_C = -\vec{F}_A - \vec{F}_B$$
• Cette méthode est semi-graphique car elle combine tracé et calculs.

À retenir :

• Deux forces en équilibre sont opposées et colinéaires.
• Trois forces non parallèles en équilibre sont coplanaires, concourantes et forment un triangle vectoriel.
• Trois forces parallèles en équilibre satisfont une relation de moment et une relation de résultante, permettant de déterminer les forces inconnues.