Statistiques Inférentielles

1. Organisation générale du cours

• 1 TD par semaine (2h), sur 11 semaines.
• Apporter une calculatrice si possible.
• Deux contrôles continus (CC) sous forme d’exercices sur ordinateur :
  • CC1 : semaine du 19/10
  • CC2 : semaine du 23/11
• Rattrapage possible la semaine du 07/12.
• Pas de cours la semaine du 12/10.
• Exercices à faire en autonomie à la maison, corrections en cours pour ceux qui n’ont pas fini.
• CC blancs prévus, sans temps dédié en cours, questions possibles.
• Format et contenu des CC peuvent évoluer, précisions en cours.
• Questions possibles en direct, à la fin du cours ou par mail (nele.claes@uca.fr).

2. Pourquoi étudier les statistiques en psychologie ?

• La psychologie est une discipline expérimentale et quantitative.
• Comprendre les statistiques est essentiel pour lire et comprendre une recherche.
• Vous serez amené·e·s à produire, traiter et interpréter des données dès le semestre 4, puis en L3 et au-delà.
• Le cours alterne entre parties théoriques et exercices pratiques proches des contrôles continus.

3. Rappel des notions de L1 et L2

4. Exemple d’étude (niveau stress des voyageurs SNCF)

1. Collecte des données : questionnaire avec échelle de stress (1 = confiant, 4 = très stressé).
2. Traitement des données : utilisation d’indicateurs chiffrés et visuels (statistiques descriptives).
3. Interprétation : vérifier si l’échantillon représente bien la population (statistiques inférentielles).

5. Population, échantillon et paramètres

• Population : ensemble complet d’individus concernés par l’étude.
• Échantillon : sous-ensemble de la population, utilisé pour les analyses.
• Paramètres : caractéristiques inconnues de la population (ex. moyenne $\mu$, variance $\sigma^2$).
• Statistiques : caractéristiques calculées sur l’échantillon (ex. moyenne $\bar{x}$, variance $s^2$).

6. Statistique inférentielle : définition et utilité

• Permet de raisonner probabilistement pour estimer des paramètres inconnus de la population à partir de l’échantillon.
• Répond à la question : Quelle est la probabilité que les résultats observés soient dus au hasard ?
• Exemple : comparer deux thérapies (68% vs 60% de réussite) → déterminer si la différence est significative ou due au hasard.
• Exemple : évaluer si un score individuel (ex. 85) est compatible avec un vieillissement normal (moyenne population 100).

À retenir : La statistique inférentielle permet de généraliser les résultats d’un échantillon à la population en évaluant la probabilité que les observations soient dues au hasard.

1. Population, échantillon et paramètres

• Population : ensemble complet d'individus ou d'unités étudiées.
• Échantillon : sous-ensemble de la population, utilisé pour estimer ses caractéristiques.
• Paramètres : caractéristiques inconnues de la population (lettres grecques).
• Statistiques : caractéristiques connues calculées sur l’échantillon (lettres latines).

2. Statistique inférentielle : principe

• Objectif : inférer des propriétés de la population à partir d’un échantillon.
• Exemple : jeu avec une pièce lancée 10 fois, résultat 9 pertes sur 10.
• Question : la pièce est-elle truquée ou équilibrée ?
• Plus le résultat s’éloigne de l’équilibre (5-5), plus il est improbable sous l’hypothèse d’une pièce équilibrée.
• La décision repose sur la probabilité d’observer un tel résultat si la pièce est équilibrée.

La statistique inférentielle permet de décider si un résultat observé est suffisamment improbable pour rejeter une hypothèse.

3. Raisonnement probabiliste

• C’est un raisonnement mathématique pour décrire des situations avec incertitude.
• Nécessite de modéliser une expérience aléatoire.

4. Expérience aléatoire

Définition : expérience dont le résultat est incertain, peut être répétée dans les mêmes conditions, et dont les résultats peuvent varier.

• Exemple : lancer une pièce (expérience aléatoire).
• Exemple non aléatoire : contrôle unique non répétable dans les mêmes conditions.
• Exemple aléatoire : choisir un étudiant au hasard et observer sa note.

5. Issues et événements aléatoires

• Issue : résultat possible d’une expérience aléatoire.
• Événement : ensemble d’issues.
• Événement élémentaire : événement constitué d’une seule issue.

6. Opérations sur événements

7. Exemple d’événements

Soit l’expérience : choisir un étudiant au hasard, note entre 0 et 20.

• $A$ : note $\geq 15$ → $\{15,16,17,18,19,20\}$
• $B$ : note multiple de 5 → $\{0,5,10,15,20\}$

Calculs :

• $A \cap B = \{15,20\}$
• $A \cup B = \{0,5,10,15,16,17,18,19,20\}$
• $\overline{A} = \{0,1,2,...,14\}$

8. Probabilité

• Définition : grandeur entre 0 et 1 quantifiant le degré de croyance dans la réalisation d’un événement.
• Permet d’évaluer la plausibilité d’un résultat dans une expérience aléatoire.
• Base mathématique pour la prise de décision en statistique inférentielle.

La probabilité mesure l’incertitude et guide l’inférence statistique à partir d’un échantillon vers la population.

1. Évènements et probabilités

• Évènement impossible : probabilité $P = 0$.
• Évènement certain : probabilité $P = 1$.
• Plus la probabilité d’un évènement est proche de 1, plus il a de chances de se réaliser.

2. Règles fondamentales des probabilités

• L’univers $\Omega$ (ensemble des issues possibles) vérifie :
  $P(\Omega) = 1$

• Pour deux évènements $A$ et $B$ :
  $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

• Si $A$ et $B$ sont disjoints (aucune issue commune) :
  $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

• Probabilité du complémentaire :
  $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

3. Calcul de probabilité

Deux méthodes :

• $n(A)$ : nombre d’issues ou d’occurrences dans $A$
• $N$ : nombre total d’issues ou de répétitions

4. Exemple simple

Lancer un dé à 6 faces équilibré, évènement $A$ : obtenir un 3.

• Analytique :
  $P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.17$

• Empirique (sur 10 lancers, 1 fois le 3) :
  $P(A) = \frac{1}{10} = 0.1$

• Empirique (sur 100 lancers, 18 fois le 3) :
  $P(A) = \frac{18}{100} = 0.18$

5. Propriétés sur des évènements (exemples cartes)

• $A \cap B = \emptyset \Rightarrow P = 0$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

6. Variables aléatoires et loi de probabilité

• Variable aléatoire (VA) : fonction $X$ qui associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.
• Loi de probabilité : ensemble des valeurs possibles de $X$ avec leurs probabilités associées $P(X = x_i)$.

a) Exemple

Jeu avec un dé à 6 faces :

• $X$ = gain associé à chaque issue.
• Loi de probabilité donnée par les probabilités des gains.

7. Paramètres d’une variable aléatoire

• Espérance mathématique $E(X)$ : moyenne pondérée des valeurs possibles par leurs probabilités.
  $E(X) = \sum_i x_i \times P(X = x_i)$

• Exemple pour le jeu du dé :
  $E(X) = 2 \times \frac{1}{3} + (-1) \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$

À retenir : La probabilité mesure la chance qu’un évènement se réalise, la variable aléatoire associe un nombre à chaque issue, et sa loi de probabilité décrit la distribution de ces valeurs. L’espérance donne la valeur moyenne attendue.

1. Variable aléatoire : paramètres essentiels

• Espérance $E(X)$ : moyenne pondérée des valeurs possibles de $X$ selon leurs probabilités.
• Variance $Var(X)$ : mesure de la dispersion autour de l'espérance, définie par $$Var(X) = \sum p_i (X_i - E(X))^2 = \sum p_i X_i^2 - (E(X))^2$$
• Écart-type $\sigma_X = \sqrt{Var(X)}$.

La variance quantifie la variabilité d'une variable aléatoire autour de sa moyenne.

2. Exemple de calcul d'espérance et variance

• $E(X) = \sum p_i X_i = 6,36$
• $Var(X) = \sum p_i X_i^2 - (E(X))^2 = 44,52 - 6,36^2$

3. Lois de probabilité classiques

a) Loi de Bernoulli

• Variable aléatoire $X$ prenant 2 valeurs : $$X = \begin{cases} 1 & \text{avec probabilité } \pi \\ 0 & \text{avec probabilité } 1-\pi \end{cases}$$
• Espérance : $E(X) = \pi$
• Variance : $Var(X) = \pi (1-\pi)$

Modélise une expérience à deux issues (succès/échec).

b) Exemple Bernoulli : risque de burn-out

• Population : 25% en burn-out ($X=1$), 75% non ($X=0$).
• $E(X) = 0,25$, $Var(X) = 0,25 \times 0,75 = 3/16$.

c) Limite de la loi de Bernoulli

• Ne convient que pour une seule expérience.
• Pour plusieurs répétitions indépendantes, on utilise la loi binomiale.

d) Loi binomiale

• $X$ = nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une expérience de Bernoulli de paramètre $\pi$.
• Notation : $X \sim \mathcal{B}(n, \pi)$.
• Probabilité d'obtenir $k$ succès : $$P(X = k) = \binom{n}{k} \pi^k (1-\pi)^{n-k}$$
• Espérance : $E(X) = n \pi$
• Variance : $Var(X) = n \pi (1-\pi)$

Modélise le nombre de succès dans $n$ essais indépendants identiques.

e) Exemple loi binomiale

• Jeu : lancer une pièce 10 fois, $X$ = nombre de piles.
• Si pièce équilibrée, $\pi = 0,5$, $X \sim \mathcal{B}(10, 0,5)$.
• Probabilités associées aux valeurs $k=0,\dots,10$ données par la formule binomiale.

f) Application : tirage dans une population à risque

• Population avec $\pi=0,25$ risque de burn-out.
• Tirage de $n=3$ personnes indépendantes.
• $X \sim \mathcal{B}(3, 0,25)$, $X$ = nombre de personnes en burn-out.
• Probabilités calculées via la loi binomiale.

À retenir : La loi de Bernoulli modélise un seul essai binaire, la loi binomiale étend ce modèle à plusieurs essais indépendants identiques.

1. Loi binomiale

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une suite de $n$ essais indépendants, chacun ayant une probabilité $\pi$ de succès.

• Définition : Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n, \pi)$, alors pour $k = 0, 1, \dots, n$,

  $$P(X = k) = C_n^k \pi^k (1 - \pi)^{n-k}$$

  où

  $$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

• Paramètres :

  • $n$ : nombre d'essais
  • $\pi$ : probabilité de succès à chaque essai
  • $1 - \pi$ : probabilité d'échec

• Exemple : Pour $n=3$ essais et $\pi = \frac{1}{4}$,

  $$P(X=1) = C_3^1 \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 3 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 0.4219$$

2. Espérance et variance de la loi binomiale

La variable binomiale $X$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes $X_i$ de paramètre $\pi$.

• Pour une variable de Bernoulli $X_i \sim \mathcal{B}(\pi)$ :

  • $E(X_i) = \pi$
  • $\mathrm{Var}(X_i) = \pi(1-\pi)$

• Pour $X = \sum_{i=1}^n X_i$ :

  $$E(X) = n \pi$$ $$\mathrm{Var}(X) = n \pi (1-\pi)$$

• Exemple : Pour $n=3$ et $\pi=0.25$,

  $$E(X) = 3 \times 0.25 = 0.75$$ $$\mathrm{Var}(X) = 3 \times 0.25 \times 0.75 = 0.5625$$

3. Utilisation pratique de la loi binomiale

• La loi binomiale permet de calculer rapidement les probabilités sans construire un arbre complet.

• Exemple des probabilités pour $X \sim \mathcal{B}(3, 0.25)$ :

  $k$	0	1	2	3
  $P(X=k)$	0.4219	0.4219	0.1406	0.0156

• Logiciels comme JAMOVI avec le module « distrAction » permettent de :

  • Calculer $P(X=k)$, $P(X \leq k)$, $P(X \geq k)$
  • Obtenir des diagrammes en bâtons pour visualiser la distribution
  • Calculer des probabilités sur des intervalles $P(X_1 \leq X \leq X_2)$

La loi binomiale donne la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès en $n$ essais indépendants avec probabilité $\pi$ de succès à chaque essai.

4. Loi normale

La loi normale est une loi continue majeure en statistiques, modélisant de nombreuses variables naturelles (taille, poids, QI).

• Caractéristiques :

  • Variable continue $X$ pouvant prendre une infinité de valeurs.
  • La probabilité qu'elle prenne une valeur précise est nulle : $P(X = x) = 0$.
  • On calcule des probabilités sur des intervalles : $P(a \leq X \leq b)$ correspond à la surface sous la courbe de densité.

• Paramètres :

  • Moyenne $\mu$ (centre de la distribution)
  • Écart-type $\sigma$ (dispersion)

• Notation : $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$

• La courbe est symétrique autour de $\mu$ et son étalement dépend de $\sigma$.

5. Propriétés et utilisation

• Exemple : QI modélisé par $X \sim \mathcal{N}(100, 15)$

  • $P(X \leq 127) = 0.9641$
  • $P(X > 127) = 1 - 0.9641 = 0.0359$

• Avant l'informatique, on utilisait la loi normale centrée réduite $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ et la transformation :

  $$z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

  pour calculer les probabilités via des tables.

• Aujourd'hui, les logiciels (ex : JAMOVI) calculent directement ces probabilités.

La loi normale modélise des phénomènes naturels avec une distribution en cloche, caractérisée par sa moyenne $\mu$ et son écart-type $\sigma$, et les probabilités s'interprètent comme des surfaces sous la courbe de densité.