Calcul de limites et dérivées

1. Taux instantané de variation

• Définition : Le taux instantané de variation de $f$ en $a$ est la limite du taux de variation moyen quand $h \to 0$ :

  $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

• Cette limite, si elle existe, est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.

2. Interprétation géométrique

• $f'(a)$ est la pente de la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $a$.
• La tangente est la limite des sécantes passant par $A$ et $B$ lorsque $B$ tend vers $A$.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite du taux de variation moyen lorsque l'intervalle tend vers zéro, et correspond à la pente de la tangente au point $a$.

1. Limite d'une expression et taux de variation instantané

Le taux moyen de variation de la fonction $N(t)$ entre $t$ et $t - \Delta t$ est donné par :

$$\frac{N(t) - N(t - \Delta t)}{\Delta t}$$

La limite de ce taux moyen lorsque $\Delta t \to 0$ définit le taux instantané de variation en $t$ :

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{N(t) - N(t - \Delta t)}{\Delta t} = \text{taux instantané de variation en } t$$

2. Calcul du taux instantané de variation (exemple)

Pour $t = 12$, avec $N(t) = (38 - t)^3$, on calcule :

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{N(12) - N(12 - \Delta t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{26^3 - (26 + \Delta t)^3}{\Delta t}$$

En développant $(26 + \Delta t)^3$ et simplifiant, on obtient :

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{26^3 - \left(26^3 + 3 \times 26^2 \Delta t + \text{termes en } (\Delta t)^2, (\Delta t)^3\right)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{-3 \times 26^2 \Delta t + o(\Delta t)}{\Delta t} = -3 \times 26^2 = -2028$$

3. Résultats clés

À retenir : Le taux instantané de variation est la limite du taux moyen lorsque l'intervalle de temps tend vers zéro, et correspond à la dérivée de la fonction en ce point.

4. Efficacité instantanée de l'antibiotique

L'efficacité instantanée correspond au taux instantané de variation de la quantité $N(t)$, c’est-à-dire la dérivée $N'(t)$, qui mesure la vitesse de diminution de la bactérie à l'instant $t$.

Formule générale pour $N(t) = (38 - t)^3$ :

$$N'(t) = -3 \times (38 - t)^2$$

Cette dérivée négative indique une décroissance rapide de la quantité bactérienne, donc une efficacité élevée de l'antibiotique à l'instant $t$.

1. Vitesse de décroissance et taux de variation instantané

La vitesse de décroissance d'une quantité à un instant donné correspond au taux de variation instantané de cette quantité en ce point. Pour une fonction $N(t)$ représentant le nombre de microbes à l'instant $t$, ce taux s'obtient en calculant la limite du taux moyen de variation lorsque l'intervalle de temps tend vers zéro.

2. Calcul du taux moyen de variation

Pour un intervalle de temps $\Delta t$ juste avant $t=12$ heures, le taux moyen de variation est :

$$\frac{N(12) - N(12 - \Delta t)}{\Delta t}$$

avec $N(t) = (38 - t)^3$.

3. Définition du taux de variation instantané

Le taux de variation instantané de $N$ en $t=12$ est la limite du taux moyen quand $\Delta t \to 0$ :

$$N'(12) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{N(12) - N(12 - \Delta t)}{\Delta t}$$

4. Calcul de la dérivée de $N(t)$

Pour $N(t) = (38 - t)^3$, la dérivée est :

$$N'(t) = 3(38 - t)^2 \times (-1) = -3(38 - t)^2$$

5. Vitesse de décroissance à $t=12$

En remplaçant $t=12$ :

$$N'(12) = -3(38 - 12)^2 = -3 \times 26^2 = -3 \times 676 = -2028$$

À retenir : La vitesse de décroissance instantanée du nombre de microbes à 12 heures est $-2028$ microbes par heure, ce qui correspond au taux de variation instantané $N'(12)$.

1. Dérivée de fonctions usuelles

• Pour $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, la dérivée est
  $f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

• Pour $f(x) = \sqrt{9x} = (9x)^{\frac{1}{2}}$, on utilise la dérivée d'une fonction composée :
  $f'(x) = \frac{1}{2} (9x)^{-\frac{1}{2}} \times 9 = \frac{9}{2\sqrt{9x}} = \frac{9}{6\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

• Pour $f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}$,
  $f'(x) = 3 \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

2. Règles de dérivation importantes

3. Dérivées d'expressions données

1. $f(x) = 9\sqrt{x} = 9x^{\frac{1}{2}}$
   $f'(x) = 9 \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{9}{2\sqrt{x}}$

2. $f(x) = \sqrt{9x} = 3\sqrt{x}$ (voir ci-dessus)
   $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

3. $f(x) = (x^2 + x - 3)(x^3 + 1)$
   $f'(x) = (2x + 1)(x^3 + 1) + (x^2 + x - 3)(3x^2)$

4. $f(x) = 5x^2(x^3 - 2)$
   $f'(x) = 5 \left(2x(x^3 - 2) + x^2 \times 3x^2 \right) = 5 \left(2x^4 - 4x + 3x^4 \right) = 5(5x^4 - 4x) = 25x^4 - 20x$

5. $f(x) = \frac{2}{(4x + 1)^2} = 2(4x + 1)^{-2}$
   $f'(x) = 2 \times (-2)(4x + 1)^{-3} \times 4 = -16 (4x + 1)^{-3} = -\frac{16}{(4x + 1)^3}$

6. $f(x) = \frac{x^2 + 1}{3x} = \frac{1}{3} \times \frac{x^2 + 1}{x}$
   $f(x) = \frac{1}{3}(x + x^{-1})$
   $f'(x) = \frac{1}{3}(1 - x^{-2}) = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) = \frac{x^2 - 1}{3x^2}$

7. $f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}$
   $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

8. $f(x) = \frac{3}{4x^2} = \frac{3}{4} x^{-2}$
   $f'(x) = \frac{3}{4} \times (-2) x^{-3} = -\frac{3}{2x^3}$

9. $f(x) = \frac{x - 3x^2}{6x - 12}$
   Dérivée du quotient :
   $f'(x) = \frac{(1 - 6x)(6x - 12) - (x - 3x^2) \times 6}{(6x - 12)^2}$
   Simplifier après calcul.

10. $f(x) = x^3 - \frac{x^2 + 5}{x} = x^3 - (x + \frac{5}{x})$
    $f'(x) = 3x^2 - \left(1 - \frac{5}{x^2}\right) = 3x^2 - 1 + \frac{5}{x^2}$

4. Définitions clés

• Taux moyen de variation entre $x$ et $x + \Delta x$ :
  $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
  C’est la pente de la sécante entre ces deux points.

• Taux instantané de variation en $x$ (nombre dérivé) :
  $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
  C’est la pente de la tangente à la courbe en $x$.

Le nombre dérivé en un point donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.

5. Résolution d'équations du second degré

• Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$

• Formule des racines :
  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

6. Calcul de coordonnées de points sur une courbe

Pour un point d’abscisse $x_0$, ses coordonnées sont :
$A(x_0, f(x_0))$

Exemple : calculer $A$ et $B$ pour $x = -8$ et $x = -4$ en remplaçant dans $f(x)$.

1. Fonction dérivée et pente de la tangente

La fonction dérivée $f'(x)$ donne, en chaque point $x$, la pente de la tangente à la courbe de la fonction $f$.

a) Définition de la fonction dérivée

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle, la fonction dérivée $f'$ est définie par la limite du taux de variation lorsque $\Delta x \to 0$ :

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

Cette limite, si elle existe, correspond à la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x$.

À retenir : La fonction dérivée mesure le taux instantané de variation de $f$ en un point.

b) Calcul de la dérivée d'une fonction polynomiale

Pour $f(x) = -\frac{x^2}{8} - 2,5x + 7$, on calcule $f'(x)$ en dérivant terme à terme :

Donc :

$$f'(x) = -\frac{1}{4}x - 2,5$$

c) Interprétation et utilisation de la fonction dérivée

• La valeur $f'(x_0)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$.
• Elle correspond aussi au nombre dérivé de $f$ en $x_0$.

Exemples de calculs :

À retenir : La pente de la tangente peut être positive, négative ou nulle, ce qui indique la direction locale de la courbe.

d) Comparaison taux de variation moyen / taux de variation instantané

• Le taux de variation moyen entre deux points $A$ et $B$ est donné par :

$$\frac{f(x_B) - f(x_A)}{x_B - x_A}$$

• Lorsque $B$ tend vers $A$ (c'est-à-dire $\Delta x \to 0$), ce taux moyen tend vers le taux de variation instantané, qui est la dérivée $f'(x_A)$.

À retenir : La fonction dérivée $f'(x)$ est la limite du taux de variation moyen lorsque l'intervalle entre deux points devient infinitésimal, et représente la pente de la tangente à la courbe en chaque point.

2. Résumé des formules clés

3. Exemple concret

Pour $f(x) = -\frac{x^2}{8} - 2,5x + 7$ :

• $f'(x) = -\frac{1}{4}x - 2,5$
• $f'(-8) = -0,5$ (pente négative)
• $f'(-10) = 0$ (pente nulle)

Attention : Ne pas confondre la limite de $f(x)$ en l'infini ($f(\infty)$) avec la limite de $f'(x)$ en l'infini ($f'(\infty)$). Ce sont des notions différentes.