Choix d'investissement

1. La valeur temps de l'argent

• Préférence pour le présent : Les agents préfèrent consommer aujourd’hui plutôt que demain, sauf compensation financière.
• Indifférence temporelle : Consommer 100 aujourd’hui ou 100 × (1 + r) dans un an, où $r$ est le taux d’intérêt.
• Conséquence : Prêter de l’argent implique un dédommagement (intérêt) pour compenser le report de consommation.

2. Opportunités et rémunération du prêt

• Prêter signifie renoncer à d’autres placements ou investissements productifs.
• Rationnel économique : Exiger une rémunération (intérêt) pour compenser ce renoncement.

3. Inflation anticipée et taux d’intérêt nominal

• Inflation : Hausse durable du niveau général des prix, réduisant le pouvoir d’achat si les revenus ne sont pas indexés.
• Le taux d’intérêt nominal intègre l’inflation anticipée pour préserver le pouvoir d’achat du prêteur.

4. Valeurs acquise (future) et actuelle (présente)

• Exemple : Placer 100 € aujourd’hui, combien aura-t-on dans un an ? (valeur acquise)
• Exemple : Combien faut-il placer aujourd’hui pour obtenir 100 000 € dans 5 ans ? (valeur actuelle)

5. Notations et hypothèses générales

• $k$ : indice de période ($k=0$ période courante)
• $C_0$ : capital initial à la date 0
• $C_n$ : valeur acquise du capital $C_0$ à la date $n$
• $C_p$ : valeur actuelle du capital $C_0$ à la date $p$
• $I_k$ : intérêts perçus ou versés à la période $k$ (en euros)

Relations fondamentales :

$$C_n = C_0 + I_n$$ $$C_p = C_0 - I_p$$

6. Taux d’intérêt

• Définition : Le taux d’intérêt $i$ est le revenu produit par un capital de 1 € pendant une unité de temps.
• Exprimé en pourcentage annuel, mensuel, etc.
• Déterminé sur les marchés financiers, il peut varier selon les conditions économiques.

À retenir : La valeur temps de l’argent repose sur le principe que 1 € aujourd’hui vaut plus que 1 € demain, ce qui justifie l’existence d’un taux d’intérêt pour compenser le report de consommation et l’inflation anticipée.

1. Intérêts simples

• Intérêt simple : proportionnel au capital initial $C_0$, au taux d’intérêt $i$ et à la durée $n$ (en périodes de référence, $n < 1$ an)
  $I_n = C_0 \times i \times n$

• Unité de temps cohérente : $i$ et $n$ doivent être exprimés dans la même unité (ex : mois, trimestres).

• Calcul de la durée : souvent exprimée en fraction d’année, avec dénominateur 360 (année commerciale) ou 365 (année exacte), et numérateur nombre de jours exacts.

2. Valeur acquise à court terme (intérêts simples)

• Définition : valeur acquise $C_n$ à la date $n$ = capital initial + intérêts simples
  $C_n = C_0 + I_n = C_0 (1 + i n)$

• Propriété : relation affine et croissante entre valeur acquise et temps, intérêts capitalisés une seule fois.

3. Valeur escomptée (valeur actuelle)

• Définition : valeur escomptée $C_p$ à la date $p$ d’un capital $C_0$ disponible à la date 0, telle que placée à intérêts simples au taux $i$ de $p$ à 0, elle donne $C_0$ à la date 0 :
  $C_0 = C_p (1 + i p) \implies C_p = \frac{C_0}{1 + i p}$

• Escompte rationnel : différence entre valeur acquise et valeur escomptée
  $e_R = C_0 - C_p = \frac{C_0 i p}{1 + i p}$

• Remarque : existe aussi l’escompte commercial, calculé sur la valeur acquise.

À retenir : En intérêts simples, la valeur acquise est donnée par $C_n = C_0 (1 + i n)$, et la valeur escomptée par $C_p = \frac{C_0}{1 + i p}$. Les intérêts sont proportionnels au temps et au capital initial, sans capitalisation intermédiaire.

1. Intérêts composés

• Définition : Les intérêts composés signifient que les intérêts produits à chaque période sont ajoutés au capital initial pour produire eux-mêmes des intérêts lors des périodes suivantes.

• Valeur acquise après $n$ périodes d’un capital initial $C_0$ placé au taux périodique $i$ :

  $$C_n = C_0 (1 + i)^n$$

• Montant des intérêts composés produits sur $n$ périodes :

  $$I_n = C_n - C_0 = C_0 \left[(1 + i)^n - 1\right]$$

• La formule est valable même si $n$ n’est pas un entier.

• La relation entre la valeur acquise et le temps est croissante et convexe.

2. Exemple de valeurs acquises pour 1 € investi à différents taux et durées

3. Actualisation et valeur actuelle

• Définition : La valeur actuelle $C_0$ d’un capital $C_p$ payable à la date $p$ (en années) au taux $i$ est la somme qui, placée à intérêts composés au taux $i$ pendant $p$ périodes, donne $C_p$ à l’échéance.

• Formule de la valeur actuelle :

  $$C_0 = \frac{C_p}{(1 + i)^p} = C_p (1 + i)^{-p}$$

• La valeur actuelle peut être calculée à n’importe quelle date antérieure à la date de disponibilité du capital.

4. Capitaux équivalents à intérêts composés

• Principe : Deux capitaux sont équivalents à une date donnée s’ils ont la même valeur actuelle à cette date, actualisés au même taux.

• Soient $C_1$ et $C_2$ des capitaux échéant aux dates $k_1$ et $k_2$ respectivement, au taux composé $i$. Ils sont équivalents à la date $d$ si :

  $$C_1 (1 + i)^{-(k_1 - d)} = C_2 (1 + i)^{-(k_2 - d)}$$

À retenir : La capitalisation composée permet de valoriser un capital dans le temps en tenant compte des intérêts cumulés, tandis que l’actualisation ramène un capital futur à sa valeur présente en tenant compte du taux d’intérêt.

1. Capitaux équivalents à intérêts composés

• Définition : Deux capitaux sont dits équivalents à intérêts composés s'ils ont la même valeur à une même date, en tenant compte du taux d'intérêt composé.
• Propriété clé : Si deux capitaux sont équivalents à une date donnée, ils le sont à toutes les dates.
• Conséquences :
  • On peut choisir n'importe quelle date pour exprimer l'équivalence.
  • Deux capitaux égaux ne sont équivalents que s'ils ont la même échéance.
  • Deux capitaux équivalents à un taux composé $i$ ne le sont pas à un autre taux.

2. Notion de taux équivalents

• Définition : Deux taux d’intérêt relatifs à des périodes de capitalisation différentes sont dits équivalents si, appliqués à un même capital pendant une même durée, ils produisent la même valeur acquise.

• Relation fondamentale : Soit $i$ un taux annuel et $i_k$ un taux pour une période $k$ fois plus courte que l’année, alors

  $$1 + i = (1 + i_k)^k$$

• Formules de conversion :

  $$i_k = (1 + i)^{\frac{1}{k}} - 1$$ $$i = (1 + i_k)^k - 1$$

• Exemple : Si $i_k$ est un taux mensuel, alors $k=12$.

• Remarque importante : Deux taux périodiques sont dits proportionnels s'ils sont dans le même rapport que leurs périodes, mais à intérêts composés, deux taux proportionnels ne sont pas équivalents.

3. Exemple d’application

• Calcul du taux annuel équivalent à un taux trimestriel composé de 3 % :

  $$i_1 = (1 + 0.03)^4 - 1 \approx 0.1255 \quad (12,55\%)$$

• Calcul du taux annuel équivalent à un taux mensuel composé de 1 % :

  $$i_2 = (1 + 0.01)^{12} - 1 \approx 0.1268 \quad (12,68\%)$$

4. Annuités

• Définition : Une annuité est une série de versements effectués à intervalles réguliers, servant à constituer un capital, rembourser une dette, etc.

• Caractéristiques (4 paramètres) :

  Paramètre	Description
  $d$	Intervalle entre deux versements consécutifs
  $n$	Nombre de versements (fixé ou non)
  $a_i$	Montants des versements (identiques ou différents)
  Date du 1er versement	Annuité de fin de période, rente différée, ou annuité de début de période

À retenir : Deux capitaux équivalents à intérêts composés le sont à toutes les dates, et deux taux sont équivalents s’ils produisent la même valeur acquise sur une même durée, selon la relation $1 + i = (1 + i_k)^k$.

1. Notations et hypothèses générales

• $a_k$ : annuité versée en fin de période $k$.
• $i$ : taux d’intérêt par période (entre deux annuités).
• Dates d’évaluation privilégiées : date 0 (origine) et date $n$ (dernière annuité).

2. Valeurs acquise et actuelle d’une suite d’annuités

Deux méthodes pour évaluer la valeur d’une suite d’annuités à une date quelconque :

1. Somme des annuités actualisées ou capitalisées

   • À la date $n$ :
   $$V_n = \sum_{k=1}^n a_k (1+i)^{n-k}$$
   • À la date 0 :
   $$V_0 = \sum_{k=1}^n a_k (1+i)^{-k}$$

2. Utilisation d’une valeur connue $V_0$ ou $V_n$

   • À une date postérieure au dernier versement ($n+t$) :
   $$V_{n+t} = V_n (1+i)^t = V_0 (1+i)^{n+t}$$
   • À une date antérieure à 0 ($p<0$) :
   $$V_p = V_0 (1+i)^p = V_n (1+i)^{p - n}$$
   • À une date intermédiaire $k$ ($0 \leq k \leq n$) :
   $$V_k = V_0 (1+i)^k = V_n (1+i)^{k - n}$$

À retenir : La valeur à une date $k$ est la valeur à la date 0 capitalisée $k$ périodes, ou la valeur à la date $n$ actualisée $(n-k)$ périodes.

3. Annuités constantes

Cas fréquent : annuités constantes $a$ versées aux dates 1 à $n$.

• Valeur actuelle (à la date 0) :
  La valeur actuelle est la somme d’une progression géométrique de raison $q = \frac{1}{1+i}$ :

  $$V_0 = a \sum_{k=1}^n (1+i)^{-k} = a \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$$

• Valeur future (à la date $n$) :

  $$V_n = a \sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^k = a \frac{(1+i)^n - 1}{i}$$

• Lien entre $V_0$ et $V_n$ :

  $$V_0 = V_n (1+i)^{-n}$$

4. Rentes perpétuelles

• Rente constante versée indéfiniment.
• Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de montant $a$ : $$V_0 = \frac{a}{i}$$

5. Exemple d’application

Un prêt de 120 000 € au taux annuel de 9,38 % est remboursé en 48 mensualités constantes, la première échéance un mois après le prêt.

• Calcul de l’annuité constante $a$ : $$a = \frac{V_0 \times i}{1 - (1+i)^{-n}}$$ avec $i$ taux mensuel et $n=48$.

À retenir :

• La valeur actuelle d’une annuité constante est une somme géométrique.
• La valeur future est la capitalisation des annuités.
• La valeur d’une rente perpétuelle est le quotient du montant par le taux.
• Les valeurs acquises et actuelles permettent d’évaluer un flux à différentes dates selon la capitalisation ou l’actualisation.

1. Résolution d'équations financières

a) Contexte

• Objectif : Trouver la solution d’une équation financière complexe de type $f(x) = y$.
• Hypothèse : La fonction $f$ est monotone sur un intervalle donné, ce qui permet une résolution par méthodes numériques.
• Exemple type : Calculer une mensualité ou un taux d’intérêt à partir d’une équation non triviale.

2. Méthodes de résolution numérique

a) Méthode de dichotomie (ou bissection)

• Principe : Encadrer la solution $x$ par deux valeurs $a$ et $b$ telles que $f(a)$ et $f(b)$ ont des signes opposés.
• Processus :
  • Calculer $f(m)$ avec $m = \frac{a+b}{2}$.
  • Remplacer $a$ ou $b$ par $m$ selon le signe de $f(m)$.
  • Répéter jusqu’à la précision souhaitée.
• Condition : $f$ strictement monotone (ex. $f'(x) > 0$).
• Exemple :
  • $f(0.01) = 63.6487 > 0$
  • $f(0.005) = -20.8864 < 0$
  • Solution entre $0.005$ et $0.01$.
  • Affinage : $f(0.00682149) = -3.79464$, $f(0.00720732) = 1.74305$.

b) Méthode d’interpolation linéaire

• Principe : Approximer $f$ entre deux points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ par une droite et calculer la racine de cette droite.
• Formule (Théorème de Thalès) : $$x_0' = b - \frac{(b - a) f(b)}{f(b) - f(a)}$$
• Utilisation : Permet d’affiner rapidement la solution après un encadrement par dichotomie.
• Exemple avec les valeurs précédentes : $$x_0' = 0.00720732 - \frac{(0.00720732 - 0.00682149) \times 1.74305}{1.74305 - (-3.79464)} = 0.00708587568$$

3. Cas particulier : annuités constantes et rentes perpétuelles

• Valeur actuelle d’une rente perpétuelle (annuités constantes $a$, taux $i$) : $$V_0 = \frac{a}{i}$$
• Interprétation : Le capital à placer aujourd’hui pour obtenir une rente constante à vie.

À retenir : La résolution d’équations financières complexes s’appuie sur des méthodes numériques (dichotomie, interpolation linéaire) exploitant la monotonie de la fonction pour encadrer et affiner la solution.