Estimation Statistique

1. Estimation ponctuelle d'une moyenne

• Estimation ponctuelle : la moyenne empirique $\bar{X}$ est l'estimateur naturel de la moyenne inconnue $\mu$.
• Exemple : Pour un échantillon de taille $n=100$, $\bar{X} = 8,76$ minutes.

2. Intervalle de confiance pour la moyenne (variance inconnue)

• Si la variance est inconnue et $n$ est grand, on utilise l'approximation normale.

• Marge d'erreur (ME) au niveau de confiance $(1-\alpha)$ :

  $$\text{ME} = z_c \frac{s}{\sqrt{n}}$$

  où $z_c$ est le quantile de la loi normale centrée réduite associé au niveau de confiance, $s$ l'écart-type empirique.

• Intervalle de confiance (IC) :

  $$\bar{X} - \text{ME} \leq \mu \leq \bar{X} + \text{ME}$$

• Exemple :

  • $n=100$, $s=2,3$, niveau 90% $\Rightarrow z_c=1,645$
  • $\text{ME} = 1,645 \times \frac{2,3}{\sqrt{100}} = 0,37835$
  • IC 90% : $[8,38165; 9,13835]$

3. Taille d'échantillon pour une marge d'erreur donnée

• Pour une marge d'erreur maximale $\text{ME}_{\max}$ au niveau de confiance $(1-\alpha)$ :

  $$\text{ME} = z_c \frac{s}{\sqrt{n}} \leq \text{ME}_{\max} \implies n \geq \left(\frac{z_c s}{\text{ME}_{\max}}\right)^2$$

• Exemple :

  • $\text{ME}_{\max} = 0,3$, $z_c=1,645$, $s=2,3$
  • $n \geq \left(\frac{1,645 \times 2,3}{0,3}\right)^2 = 159,054 \Rightarrow n \geq 160$

4. Intervalle de confiance avec loi de Student (variance inconnue, petit échantillon)

• Si $n < 30$ et la population est normale, on utilise la loi de Student à $n-1$ degrés de liberté.

• IC à $(1-\alpha)$ :

  $$\bar{X} - t_c \frac{s}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + t_c \frac{s}{\sqrt{n}}$$

  où $t_c$ est le quantile de Student.

• Exemple :

  • $n=20$, $\bar{X}=21,3$, $s=6,1567$, niveau 95% $\Rightarrow t_c=2,093$
  • $\text{ME} = 2,093 \times \frac{6,1567}{\sqrt{20}} = 2,8814$
  • IC 95% : $[18,4186; 24,1814]$

5. Taille d'échantillon pour loi de Student (approximation normale)

• Pour une marge d'erreur maximale $\text{ME}_{\max}$ au niveau 95%, on approxime avec $z_c=1,96$ :

  $$n \geq \left(\frac{z_c s}{\text{ME}_{\max}}\right)^2$$

• Exemple :

  • $\text{ME}_{\max} = 1$, $s=6,1567$
  • $n \geq (1,96 \times 6,1567)^2 = 145,61 \Rightarrow n \geq 146$

À retenir :

• L'estimation ponctuelle de la moyenne est la moyenne empirique $\bar{X}$.
• L'intervalle de confiance s'appuie sur la marge d'erreur calculée avec $z_c$ (grands échantillons) ou $t_c$ (petits échantillons).
• La taille d'échantillon nécessaire pour une précision donnée se calcule via $n \geq \left(\frac{z_c s}{\text{ME}_{\max}}\right)^2$.

1. Estimation d'une proportion

a) Intervalle de confiance pour une proportion

Soit $\hat{p}$ la proportion observée dans un échantillon de taille $n$. Un intervalle de confiance (IC) à un niveau de confiance $(1-\alpha)$ pour la proportion inconnue $p$ est donné par :

$$\hat{p} \pm z_c \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

• $z_c$ est le quantile de la loi normale centrée réduite correspondant à un risque $\alpha$ (exemple : $z_{0.025} = 1,96$ pour un IC à 95%).
• L'intervalle est valide si $n$ est suffisamment grand pour que la loi binomiale soit approximée par la loi normale.

b) Exemple numérique

Pour $\hat{p} = 0,4$, $n=160$, et $z_c = 2,576$ (niveau de confiance 99%) :

$$0,4 \pm 2,576 \sqrt{\frac{0,4 \times 0,6}{160}} = 0,4 \pm 0,0998$$

Donc :

$$0,3002 \leq p \leq 0,4998$$

c) Conversion en nombre de sujets

Pour un échantillon de taille $n=160$, le nombre de sujets correspondant à la proportion $p$ est dans l'intervalle :

$$n \times \text{borne inférieure} \leq \text{nombre} \leq n \times \text{borne supérieure}$$

Exemple :

$$51 \leq n \leq 77$$

d) Taille d'échantillon nécessaire pour une marge d'erreur donnée

La marge d'erreur (ME) est :

$$ME = z_c \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

Pour garantir $ME \leq m$ (exemple : $m=0,03$), on résout :

$$n \geq z_c^2 \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{m^2}$$

Exemples :

À retenir : L'intervalle de confiance pour une proportion s'obtient par $\hat{p} \pm z_c \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ et la taille d'échantillon nécessaire pour une marge d'erreur donnée est $n \geq z_c^2 \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{m^2}$.

1. Tests de comparaison d'une moyenne à un standard

a) Hypothèses du test

• H0 (hypothèse nulle) : $\mu_D = 0$ (pas de différence moyenne)
• H1 (hypothèse alternative) : $\mu_D \neq 0$ (test bilatéral) ou $\mu_D < 0$ / $\mu_D > 0$ (test unilatéral)

b) Conditions d'application

• Échantillon de petite taille ($n < 30$)
• Données issues d'une population normale
• Échantillons dépendants (test apparié) ou indépendants selon le contexte

c) Statistique de test

Pour un test sur la moyenne des différences dans un échantillon apparié :

$$t = \frac{\bar{D}}{s_D / \sqrt{n}}$$

• $\bar{D}$ : moyenne des différences $d_i = X_i^{\text{après}} - X_i^{\text{avant}}$
• $s_D$ : écart-type des différences, calculé par

$$s_D = \sqrt{\frac{\sum d_i^2 - n \bar{D}^2}{n-1}}$$

• $n$ : taille de l'échantillon
• Sous $H_0$, $t$ suit une loi de Student à $n-1$ degrés de liberté

d) Seuil critique et décision

• Choisir un seuil de signification $\alpha$ (ex. 5%)
• Trouver la valeur critique $t_{\alpha}$ dans la table de Student selon le type de test (bilatéral ou unilatéral)
• Règle de décision :

e) Exemple résumé : Test apparié sur 10 étudiants

2. Comparaison d'une moyenne à une norme

• Test bilatéral sur une moyenne $\bar{X}$ avec écart-type $s$ et taille $n$ :

$$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

• Sous $H_0$, $t$ suit une loi de Student à $n-1$ degrés de liberté
• Décision selon seuil critique $t_{\alpha}$

3. Comparaison de deux moyennes indépendantes

• Hypothèses :

  • $H_0 : \mu_1 = \mu_2$
  • $H_1 : \mu_1 \neq \mu_2$ (bilatéral) ou unilatéral

• Statistique de test :

$$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{S_c \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$$

avec

$$S_c^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$$

• $s_1, s_2$ : écarts-types des deux échantillons

• $n_1, n_2$ : tailles des échantillons

• Degrés de liberté : $n_1 + n_2 - 2$

• Décision selon seuil critique $t_{\alpha}$

4. Résumé des étapes pour un test de moyenne

1. Formuler les hypothèses $H_0$ et $H_1$
2. Choisir le seuil de signification $\alpha$
3. Vérifier les conditions (normalité, taille, indépendance/dépendance)
4. Calculer la statistique de test $t$
5. Déterminer la valeur critique $t_{\alpha}$
6. Prendre la décision : rejeter ou non $H_0$
7. Interpréter le résultat au regard du contexte

Le test de Student sur la moyenne permet de comparer une moyenne observée à un standard ou entre deux groupes, en tenant compte de la variabilité et de la taille de l'échantillon.

1. Tests de comparaison de deux moyennes

a) Trois situations principales

2. Situation 3 : Comparaison de deux moyennes pour échantillons appariés

• Définition : Les individus des deux échantillons forment des paires (ex. même personne avant/après traitement).
• Objectif : Tester si la moyenne des différences entre paires est significativement différente de zéro.

a) Test t pour échantillons appariés

Soit $n$ le nombre de paires, et pour chaque paire $i$ :

$$d_i = x_{a,i} - x_{b,i}$$

• Moyenne des différences :

$$\bar{D} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d_i$$

• Écart-type des différences :

$$S_D = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n d_i^2 - n \bar{D}^2}{n-1}}$$

• Statistique de test :

$$t = \frac{\bar{D}}{S_D / \sqrt{n}}$$

• Degrés de liberté : $df = n - 1$

b) Décision statistique

• Choisir un seuil de signification $\alpha$ (ex. 0.01 ou 0.05).
• Trouver la valeur critique $t_{\text{théorique}}$ dans la table de Student à $df$ degrés de liberté.
• Comparer $|t|$ à $t_{\text{théorique}}$ :
  • Si $|t| > t_{\text{théorique}}$, rejeter $H_0$ (différence significative).
  • Sinon, ne pas rejeter $H_0$ (pas de différence significative).

3. Exemple résumé : Score d’anxiété chez patients migraineux (n=12)

Le score moyen d’anxiété n’est pas significativement différent entre T1 et T2 au seuil 1%.

4. Exemple résumé : Qualité de vie avant/après prise en charge (n=12)

La qualité de vie est significativement différente avant et après la prise en charge (p < 0.05).

5. Résumé des étapes pour un test de comparaison de moyennes appariées

1. Formuler les hypothèses

   • $H_0$: $\mu_D = 0$ (pas de différence moyenne)
   • $H_1$: $\mu_D \neq 0$ (différence moyenne significative)

2. Choisir le seuil de signification $\alpha$ (ex. 0.05 ou 0.01)

3. Calculer la statistique de test $t$ avec les différences $d_i$

4. Comparer $t$ à la valeur critique $t_{\text{théorique}}$ issue de la loi de Student à $n-1$ degrés de liberté

5. Décider

   • Rejeter $H_0$ si $|t| > t_{\text{théorique}}$
   • Sinon, ne pas rejeter $H_0$

À retenir : Pour deux échantillons appariés, on teste la moyenne des différences avec un test t de Student à $n-1$ degrés de liberté.