Statistiques

1. Introduction aux statistiques descriptives

Les statistiques descriptives permettent de résumer et d'analyser un ensemble de données. Deux mesures centrales sont la moyenne et la médiane, qui caractérisent la tendance centrale d'une série statistique.

1. Définition

La moyenne d'une série statistique est la valeur qui représente le centre de gravité des données. Elle correspond à la somme des valeurs divisée par le nombre total d'observations.

2. Calcul de la moyenne

• Pour une série non groupée (valeurs individuelles) :

$$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$

où $x_i$ sont les valeurs et $n$ le nombre total de valeurs.

• Pour une série avec effectifs :

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^p n_i x_i}{\sum_{i=1}^p n_i}$$

où $x_i$ sont les valeurs distinctes, $n_i$ leurs effectifs, et $p$ le nombre de valeurs distinctes.

3. Propriétés de la moyenne

• La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (outliers).
• Elle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
• La somme des écarts à la moyenne est nulle :

$$\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0$$

1. Définition

La médiane est la valeur qui partage la série statistique en deux parties égales : 50 % des données sont inférieures ou égales à la médiane, et 50 % sont supérieures ou égales.

2. Calcul de la médiane

• Étape 1 : Ordonner les données par ordre croissant.
• Étape 2 :
  • Si $n$ est impair, la médiane est la valeur située en position $\frac{n+1}{2}$.
  • Si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs en positions $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2} + 1$.

3. Propriétés de la médiane

• La médiane est robuste aux valeurs extrêmes.
• Elle est toujours une valeur de la série (ou la moyenne de deux valeurs consécutives).
• Elle divise la série en deux groupes égaux en effectif.

1. Exemple 1 : Calcul de la moyenne

Données : 3, 5, 7, 9, 11

$$\bar{x} = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 11}{5} = \frac{35}{5} = 7$$

2. Exemple 2 : Calcul de la médiane

Données ordonnées : 3, 5, 7, 9, 11 (n=5 impair)
Médiane = valeur en position $\frac{5+1}{2} = 3$ → 7

Données ordonnées : 3, 5, 7, 9 (n=4 pair)
Médiane = moyenne des valeurs en positions 2 et 3 → $\frac{5 + 7}{2} = 6$