Statistiques

1. Vocabulaire des statistiques

Lors d'une enquête ou d'une étude, on réalise un relevé statistique.

2. Effectifs et fréquences

• Effectif d’une donnée : nombre de fois où cette donnée apparaît dans la série.
• Effectif total : somme des effectifs de toutes les données, c’est-à-dire le nombre total de valeurs dans la série.

À retenir : La population est l’ensemble étudié, la série statistique est l’ensemble des données collectées, et l’effectif compte combien de fois chaque donnée apparaît.

1. Formes de la fréquence

• La fréquence peut s’exprimer sous forme :
  • fraction (ex : $\frac{3}{5}$)
  • nombre décimal (ex : 0,6)
  • pourcentage (ex : 60 %)

2. Exemple

Dans un groupe de 25 poussins :

• Effectif des joueurs de 10 ans : 7
• Effectif des joueurs de 11 ans : 15

La fréquence des joueurs de 11 ans est :

$$f(\text{joueur de 11 ans}) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6 = 60\%$$

3. Propriétés des fréquences

La fréquence traduit la proportion d’une donnée dans l’ensemble de la série.

1. Regroupement en classes

• Regroupement en classes : méthode utilisée lorsque les valeurs d'une série sont trop nombreuses pour être étudiées individuellement.
• On regroupe les données en classes, c’est-à-dire en intervalles de valeurs.
• Les classes ont souvent la même amplitude (largeur).

a) Exemple

Pour la taille des élèves d’une classe de 5e, on peut regrouper les tailles par classes d’amplitude 5 cm, par exemple :

• De 1,40 m à 1,45 m
• De 1,45 m à 1,50 m
• etc.

À retenir : Le regroupement en classes facilite la lecture et l’analyse des données quand il y a trop de valeurs différentes.

1. Tableaux et diagrammes en barres

• Tableau : organise les données en lignes et colonnes pour une lecture claire.
• Diagramme en barres (ou en bâtons) : représente chaque valeur par une barre verticale ou horizontale dont la longueur est proportionnelle à la valeur.
• Utilité : facilite la comparaison visuelle des résultats.

Exemple : Résultats d’un lancer de dé 12 fois

Chaque barre du diagramme correspond au nombre de fois où chaque face est sortie.

2. Diagramme circulaire (ou semi-circulaire)

• Principe : chaque effectif ou fréquence est représenté par un angle proportionnel dans un cercle.
• Propriété clé :
  $\text{Angle} = \frac{\text{Effectif ou fréquence}}{\text{Total}} \times 360^\circ$
• Méthode de construction :
  1. Calculer la somme totale des effectifs ou la somme des fréquences (qui vaut 1).
  2. Calculer l’angle correspondant à chaque catégorie avec la formule ci-dessus.
  3. Tracer les secteurs du cercle avec ces angles.

Pour construire un diagramme circulaire, il faut associer à chaque donnée un angle proportionnel à sa fréquence ou son effectif.

1. Diagrammes circulaires

Un diagramme circulaire représente une série statistique sous forme de parts d’un cercle, où chaque part correspond à une catégorie proportionnelle à son effectif ou sa fréquence.

2. Étapes pour construire un diagramme circulaire

1. Construire un tableau de proportionnalité
   Relier les effectifs (ou fréquences) aux mesures d’angles.

   • La somme des effectifs = total
   • La somme des angles = 360°

2. Calculer les mesures d’angles
   Utiliser le produit en croix :

   $$\text{Angle} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}} \times 360^\circ$$

3. Tracer le diagramme

   • Dessiner un cercle.
   • Avec un rapporteur, mesurer et tracer chaque angle correspondant aux effectifs.

3. Exemple de tableau pour un diagramme circulaire

Pour chaque catégorie, l’angle du diagramme circulaire est proportionnel à son effectif ou sa fréquence.

1. Histogramme

• Histogramme : graphique utilisé pour représenter une série statistique lorsque les valeurs sont regroupées en classes.
• Les rectangles de l'histogramme sont placés côte à côte, sans espace, et leur base correspond aux valeurs extrêmes des classes.
• La hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à la fréquence ou à l'effectif de la classe correspondante.

Un histogramme permet de visualiser la répartition des données regroupées en classes, en montrant clairement la fréquence de chaque intervalle.

1. Moyenne simple

La moyenne simple se calcule en faisant la somme de toutes les valeurs, puis en divisant par le nombre total de valeurs (effectif total).

Formule :

$$\text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}$$

Exemple :
Pour les notes 16, 11, 9, 14 et 12, la moyenne est

$$m = \frac{16 + 11 + 9 + 14 + 12}{5} = \frac{62}{5} = 12,4$$

2. Moyenne pondérée

La moyenne pondérée prend en compte un coefficient (ou poids) pour chaque valeur, reflétant son importance relative.

Formule :

$$\text{moyenne} = \frac{\sum (\text{valeur} \times \text{coefficient})}{\sum \text{coefficients}}$$

Exemple :

$$m = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 11 \times 3 + 14 \times 2}{1 + 2 + 3 + 2} = \frac{7 + 18 + 33 + 28}{8} = \frac{86}{8} = 10,75$$

À retenir : La moyenne pondérée reflète mieux la réalité quand certaines valeurs ont plus d'importance que d'autres.