Statistiques à Deux Variables

1. Série statistique à deux variables

• Définition : Une série statistique à deux variables est un ensemble de couples $(x_i ; y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ sont des variables quantitatives mesurées simultanément.

2. Représentation graphique

• Le nuage de points est la représentation graphique d'une série statistique à deux variables.
• Chaque point du nuage a pour coordonnées $(x_i ; y_i)$.
• Ce nuage permet de visualiser la relation entre les deux variables.

3. Ajustement affine (à connaître pour la suite)

• Si le nuage de points est allongé, on peut chercher une droite d'ajustement affine.
• Cette droite est une fonction affine $y = ax + b$ qui "représente" la tendance générale du nuage.
• L'ajustement se fait par la méthode des moindres carrés (détaillée dans un autre chapitre).

Une série statistique à deux variables se représente par un nuage de points, et si ce nuage est allongé, on peut l'ajuster par une droite affine.

1. Ajustement de nuages de points

a) Ajustement par la méthode des moindres carrés

• Principe : Trouver la droite qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite.
• Cette droite est appelée droite d’ajustement affine.

b) Équation de la droite d’ajustement affine

• Forme générale :
  $y = ax + b$
• Les coefficients $a$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont déterminés à l’aide d’outils numériques ou calculs statistiques.

c) Autres types d’ajustements

• Si le nuage de points présente une forme courbe, l’ajustement affine n’est pas adapté.
• On cherche alors une courbe de tendance plus appropriée (exemple : parabole, exponentielle, etc.) pour mieux modéliser la relation entre les variables.

L’ajustement consiste toujours à minimiser la somme des carrés des écarts entre les points et la courbe choisie.

1. Coefficient de détermination $R^2$

Le coefficient de détermination $R^2$ mesure la qualité de l'ajustement d'une courbe ou d'une droite aux données observées. Il indique dans quelle mesure l'équation d'ajustement explique la répartition des points.

• Valeurs possibles : $0 \leq R^2 \leq 1$
• Interprétation :
  • $R^2$ proche de 1 : l'ajustement est très bon, la courbe explique bien la variation des données.
  • $R^2$ proche de 0 : l'ajustement est mauvais, la courbe ne décrit pas bien les données.

Le coefficient $R^2$ quantifie la proportion de la variance des données expliquée par le modèle d'ajustement.

2. Qualité de l'ajustement

• Un $R^2$ élevé signifie un pouvoir de prédiction fort de l'équation d'ajustement.
• Le choix du modèle (linéaire, exponentiel, logarithmique, polynomial) doit viser à maximiser $R^2$ pour une meilleure description des données.

3. Interpolation et extrapolation

• Interpolation : utiliser l'équation d'ajustement pour estimer une valeur à l'intérieur de l'intervalle des données observées.
• Extrapolation : utiliser l'équation pour estimer une valeur en dehors de l'intervalle des données, ce qui est plus risqué car moins fiable.

L'équation d'ajustement la plus pertinente, avec un $R^2$ élevé, permet d'interpoler ou d'extrapoler des valeurs avec une meilleure confiance.

1. Interpolation et extrapolation

• Interpolation : estimation d’une valeur inconnue à l’intérieur du domaine des données observées.
• Extrapolation : estimation d’une valeur inconnue en dehors du domaine des données observées.

L’interpolation est généralement plus fiable que l’extrapolation, car elle repose sur des données proches. L’extrapolation comporte plus de risques d’erreur car elle s’appuie sur des hypothèses au-delà des données disponibles.

1. Notions clés

• Univers ($\Omega$) : ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
• Événement élémentaire : événement constitué d’un seul résultat possible.
• Événement : partie de l’univers, c’est-à-dire un ensemble de résultats possibles.
• Probabilité : nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu’un événement se réalise.
  • $P(A) = 0$ signifie que l’événement $A$ est impossible.
  • $P(A) = 1$ signifie que l’événement $A$ est certain.
• Équiprobabilité : situation où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

2. Opérations sur les événements

À retenir : La probabilité de l'événement contraire est $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

1. Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles si leur réalisation simultanée est impossible, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucune issue en commun.

2. Probabilité d’un événement dans un univers fini

a) Probabilité d’un événement

La probabilité d’un événement $A$ est le rapport entre le nombre de résultats favorables à $A$ et le nombre total de résultats possibles dans l’univers.

$$p(A) = \frac{\text{nombre de résultats favorables à } A}{\text{nombre total de résultats possibles}}$$

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

b) Événement contraire

L’événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, correspond à la réalisation de tous les résultats qui ne sont pas favorables à $A$.

• Relation fondamentale :

$$p(A) + p(\overline{A}) = 1$$

3. Opérations sur les événements

Pour deux événements incompatibles, la probabilité de leur union est la somme de leurs probabilités :

$$p(A \cup B) = p(A) + p(B)$$

1. Fréquences et probabilités conditionnelles

a) Événements incompatibles

• Deux événements A et A̅ (son contraire) sont incompatibles :
  $p(A \cap \overline{A}) = 0$
• La probabilité de l'événement contraire est :
  $p(A) = 1 - p(\overline{A})$

b) Tableau croisé d’effectifs

Permet d’étudier deux caractères simultanément sur une même population.

c) Réunion (∪) et intersection (∩) d’événements

• La probabilité de la réunion de deux événements A et B est donnée par :
  $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$
• Si A et B sont incompatibles (ne peuvent pas se produire en même temps), alors :
  $p(A \cap B) = 0$
  et donc
  $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$

d) Fréquences conditionnelles

• La fréquence conditionnelle de l'événement A sachant B est la proportion de cas où A se produit parmi ceux où B se produit.
• Elle se calcule par :
  $f(A|B) = \frac{f(A \cap B)}{f(B)}$
  où $f(A \cap B)$ est la fréquence conjointe de A et B, et $f(B)$ la fréquence de B.

e) Probabilités conditionnelles

• La probabilité conditionnelle de A sachant B est la probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé.
• Elle se calcule par :
  $p(A|B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} \quad \text{avec } p(B) > 0$
• Cette notion permet d’étudier la dépendance entre événements.

À retenir :
La probabilité conditionnelle $p(A|B)$ mesure la probabilité de A sachant que B est réalisé, et se calcule par
$p(A|B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$ avec $p(B) > 0$.

1. Arbre de probabilités

Un arbre de probabilités est un outil graphique qui représente une expérience aléatoire en plusieurs étapes, permettant de calculer facilement des probabilités composées.

a) Construction de l'arbre

• Chaque branche correspond à un événement possible à une étape donnée.
• Les branches partent d'un nœud (point de départ ou résultat d'une étape précédente).
• On place sur chaque branche la probabilité de l'événement correspondant.
• Les probabilités sur les branches issues d'un même nœud forment une partition (leur somme est égale à 1).

b) Calcul des probabilités avec l'arbre

• La probabilité d'une issue finale (chemin complet dans l'arbre) est le produit des probabilités sur les branches parcourues.

  $$p(\text{issue}) = p(\text{branche 1}) \times p(\text{branche 2}) \times \cdots$$

• La probabilité d'un événement composé (réunion de plusieurs issues) est la somme des probabilités des issues correspondantes.

c) Utilisation avec la probabilité conditionnelle

• La probabilité conditionnelle $p_B(A)$ se lit sur l'arbre comme la probabilité de $A$ sachant $B$, c’est-à-dire la probabilité sur la branche partant du nœud correspondant à $B$.

  $$p_B(A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$$

• Sur l'arbre, $p(A \cap B)$ est la probabilité du chemin passant par $B$ puis $A$.

À retenir : L'arbre de probabilités facilite le calcul des probabilités composées en multipliant les probabilités sur les branches successives et en utilisant la somme pour les événements regroupant plusieurs issues.

1. Événements indépendants

Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.

a) Propriété clé

$$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$$

Cela signifie que la probabilité que A et B se produisent simultanément est le produit de leurs probabilités individuelles.

b) Conséquences

• La probabilité de A sachant que B est réalisé est égale à la probabilité de A :

  $$p_B(A) = p(A)$$

• La probabilité de B sachant que A est réalisé est égale à la probabilité de B :

  $$p_A(B) = p(B)$$

À retenir : Deux événements sont indépendants si et seulement si $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.