Statistiques à Deux Variables

1. Nuage de points

• Le nuage de points est l'ensemble des points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ représentant une série statistique à deux variables quantitatives.
• Il permet de visualiser la relation entre les deux variables.

Le nuage de points sert à observer la tendance générale et la dispersion des données.

2. Point moyen

• Le point moyen $G$ est un point représentatif du nuage, dont les coordonnées sont les moyennes des $x_i$ et des $y_i$.
• Formule des coordonnées du point moyen :

$$G \left( \bar{x} ; \bar{y} \right) \quad \text{avec} \quad \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \quad \text{et} \quad \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$$

• $n$ est le nombre de points de la série.

Le point moyen synthétise la position centrale du nuage de points.

1. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

L’ajustement affine consiste à modéliser un nuage de points par une droite d’équation $y = ax + b$ qui « ajuste » au mieux ces points.

a) Détermination de la droite d’ajustement

• On cherche la droite $y = ax + b$ qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite (méthode des moindres carrés).
• Sur calculatrice :
  • Entrer les valeurs $x$ dans List 1, les valeurs $y$ dans List 2.
  • Régler les listes (CALC SET 2Var).
  • Calculer la droite par REG X (forme $ax + b$).
  • Tracer la droite avec DRAW.
• Sur Excel :
  • Clic droit sur un point du nuage → Ajouter une courbe de tendance → Linéaire.
  • Cocher « afficher l’équation » et « afficher le coefficient de détermination ».

Exemple d’équation obtenue :

$$y = 6,78x - 13647$$

b) Utilisation de la droite d’ajustement

• Interpolation : calculer $y$ pour une valeur $x$ à l’intérieur du nuage.
  Exemple : $$y = 6,78 \times 2032 - 13647 = 129,96$$
• Extrapolation : calculer $x$ pour une valeur $y$ en dehors du nuage.
  Exemple : $$100 = 6,78x - 13647 \implies x = \frac{13747}{6,78} \approx 2027,6$$

c) Coefficient de détermination $R^2$

• Mesure la qualité de l’ajustement.
• $R^2$ proche de 1 signifie que les points sont presque alignés, donc forte corrélation entre $x$ et $y$.
• Exemple : $$R^2 = 0,995$$

À retenir : La droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts et permet d’interpoler ou extrapoler des valeurs. Le coefficient de détermination $R^2$ évalue la qualité de cet ajustement.

1. Interpolation et extrapolation

a) Ajustement affine d’un nuage de points

• Ajustement affine : modéliser un nuage de points par une fonction affine $f(x) = ax + b$, représentée par une droite, pour décrire la tendance des données.
• Objectif : prédire ou estimer une valeur $y$ pour un $x$ donné, en se basant sur les données observées.

b) Méthode pour déterminer la droite d’ajustement

• Utiliser la méthode des moindres carrés pour trouver les coefficients $a$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) qui minimisent la somme des carrés des écarts entre les points et la droite.
• Sur calculatrice ou logiciel (Excel) :
  • Entrer les données $(x_i, y_i)$.
  • Calculer la droite d’ajustement affine $y = ax + b$.
  • Afficher l’équation de la droite et le coefficient de détermination $R^2$.

c) Coefficient de détermination $R^2$

• $R^2$ mesure la qualité de l’ajustement :
  • $R^2$ proche de 1 signifie que la droite ajuste très bien les points.
  • $R^2$ faible indique un mauvais ajustement.
• $R^2$ est toujours compris entre 0 et 1.

d) Interpolation et extrapolation

e) Exemple d’extrapolation

• Données : CA e-commerce de 2016 à 2025.
• Ajustement affine trouvé : $y = ax + b$ (avec $x$ l’année).
• Pour prédire le CA en 2032, on calcule $y(2032) = a \times 2032 + b$.
• Si $y(2032) \geq 100$ millions €, le projet est jugé pertinent.

À retenir :
L’interpolation est une estimation à l’intérieur de la plage de données, fiable si le modèle est bon.
L’extrapolation est une estimation au-delà des données, plus incertaine et à utiliser avec prudence.

1. Coefficient de détermination $R^2$

• Définition : Le coefficient de détermination $R^2$ mesure la qualité de l'ajustement d'une droite de régression aux données.
• Valeur : $R^2$ est compris entre 0 et 1.
  • $R^2$ proche de 1 signifie que les points sont presque alignés, donc forte corrélation entre les variables.
  • $R^2$ proche de 0 signifie peu ou pas de corrélation.
• Exemple : Pour l'étude du chiffre d'affaires, $R^2 = 0,995$ indique une très bonne adéquation de la droite d'ajustement.

Le coefficient de détermination $R^2$ quantifie la proportion de la variance expliquée par la droite d'ajustement.

2. Corrélation linéaire

• La corrélation exprime la relation linéaire entre deux variables.
• Une forte corrélation signifie que la droite d'ajustement modélise bien la tendance des données.

3. Droite d’ajustement

• Forme générale : $y = ax + b$
• Permet de modéliser la relation linéaire entre $x$ et $y$.
• Utilisée pour :
  • Interpolation : estimer une valeur de $y$ pour un $x$ à l’intérieur de l’intervalle des données.
  • Extrapolation : estimer une valeur de $y$ pour un $x$ en dehors de l’intervalle des données.

4. Exemple d’application

• Droite d’ajustement :
  $y = 6,78x - 13647$

• Extrapolation pour $x=2032$ :
  $y = 6,78 \times 2032 - 13647 = 129,96 \text{ millions d'euros}$

• Calcul de $x$ pour $y=100$ :
  $100 = 6,78x - 13647 \implies x = \frac{13747}{6,78} \approx 2027,6$

5. Analyse et interprétation

• Le projet d’investissement est pertinent car la prévision du chiffre d’affaires en 2032 est d’environ 130 millions d’euros, supérieur au seuil de 100 millions.
• La droite d’ajustement modélise une croissance régulière et fiable, confirmée par un $R^2$ très proche de 1.
• Le taux d’augmentation entre 2016 et 2025 est de 25 %, ce qui confirme la tendance à la hausse.

6. Synthèse

Pour valider un projet basé sur des données statistiques, il faut un $R^2$ élevé et une droite d’ajustement cohérente avec l’objectif fixé.