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Caractéristiques générales de la fonction du second degré

La fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
avec $a \neq 0$.

1. Concavité de la parabole

• Si $a > 0$, la parabole est concave vers le haut (forme en U : $\cup$).
• Si $a < 0$, la parabole est concave vers le bas (forme en ∩).

2. Sommet de la parabole

• Le sommet est le point le plus bas (minimum) si $a > 0$, ou le plus haut (maximum) si $a < 0$.
• Coordonnées du sommet :
  $$S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$

Ensembles de nombres et intervalles de R

1. Principaux ensembles de nombres

Ensemble	Notation	Description	Exemple
N	$\mathbb{N}$	Nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...)	$5 \in \mathbb{N}$
Z	$\mathbb{Z}$	Nombres entiers relatifs (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)	$-5 \in \mathbb{Z}$
R	$\mathbb{R}$	Nombres réels (tous les nombres connus)	$3.14 \in \mathbb{R}$
R*	$\mathbb{R}^*$	Nombres réels non nuls	$0 \notin \mathbb{R}^*$

Définition et coefficients d'une fonction polynôme du second degré

1. Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$

avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$.

• $a$, $b$ et $c$ sont appelés les coefficients du polynôme.
• Cette fonction est aussi appelée fonction trinôme du second degré.

Exemple de fonction	Coefficients $a$, $b$, $c$
$f(x) = x^2 + 12x - 1$	$a=1$, $b=12$, $c=-1$

Ensembles de nombres

1. Ensembles de nombres

Les nombres sont regroupés en différents ensembles, chacun contenant le précédent.

Ensemble	Description	Notation	Exemple
Entiers naturels	Nombres entiers positifs ou nuls	$\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, \ldots}$	$5, 0, 3$
Entiers relatifs	Nombres entiers positifs, nuls ou négatifs	$\mathbb{Z} = {\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots}$	$-7, 0, 4$

Définition et notions de base des suites

Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ou un sous-ensemble) à valeurs dans un ensemble (souvent ℝ). On note une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où $u_n$ est le terme d'indice $n$.

• Terme général : $u_n$ désigne le terme de rang $n$.
• Définition explicite : $u_n$ est donné directement en fonction de $n$.
• Définition par récurrence : $u_0$ (ou $u_1$) est donné, puis $u_{n+1}$ est défini en fonction de $u_n$.

Probabilités : notions fondamentales

Les probabilités permettent de quantifier la chance qu’un événement se produise dans une expérience aléatoire. Elles sont exprimées par un nombre compris entre 0 et 1.

1. Expérience aléatoire

• Définition : expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude.
• Exemple : lancer de dé, tirage d’une carte.

2. Univers et événements

• Univers ($\Omega$) : ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience.
• Événement : sous-ensemble de $\Omega$.

Proportions

1. Définitions

a) Proportion

• Proportion d'une partie dans un ensemble =
  $$p = \frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$$
• Valeurs : $p \in [0,1]$
• Formes : fraction ou décimale (arrondie si besoin)

Exemple :
Dans une classe de 25 élèves (24 filles, 1 garçon) :

• Proportion garçons = $\frac{1}{25} = 0,04$
• Proportion filles = $\frac{24}{25} = 0,96$

b) Propriétés sur proportions emboîtées

Soient trois ensembles emboîtés : $C \subset B \subset A$ avec effectifs $n_C$, $n_B$, $n_A$.

Suites numériques

1. Définitions et notions clés

• Suite : fonction définie sur $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, notée $(u_n)$.
• Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$, avec raison $r$.
• Suite géométrique : $u_{n+1} = q u_n$, avec raison $q$.
• Monotonie : croissante, décroissante, constante.
• Limite : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ (finie ou infinie).

2. Méthodes de démonstration

• Récurrence :
  1. Initialisation : vérifier la propriété pour $n=0$ ou $n=1$.
  2. Hérédité : supposer vraie pour $n$, démontrer pour $n+1$.

Le cercle trigonométrique et les définitions du sinus et du cosinus

1. Cercle trigonométrique

• Le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ est un cercle de rayon 1.
• Le sens de parcours positif (ou sens direct) est le sens contraire des aiguilles d’une montre.
• Le point $A$ est un point de référence sur $\mathcal{C}$, associé à l’angle $0$.

2. Mesure d’un angle en radians

• On considère une droite graduée $(t't)$ d’origine $A$, tangente en $A$ au cercle $\mathcal{C}$.
• L’unité de longueur sur $(t't)$ est 1, égale au rayon du cercle.