Entdecke die Community

Les quatre opérations

1. Les quatre opérations

a) Addition

• Astuce : arrondir puis ajuster.
  Exemple :
  $$198 + 47 = (200 + 47) - 2 = 245$$

b) Soustraction

• Astuce : décomposer ou compléter.
  Exemple :
  $$812 - 467 = (812 - 400) - 67$$

c) Multiplication

• Méthode sur papier (exemple : $234 \times 12$) :
  1. Aligner les chiffres : $234$ en haut, $12$ en dessous.
  2. Multiplier par les unités (ici $2$) :
     $$2 \times 4 = 8, \quad 2 \times 3 = 6, \quad 2 \times 2 = 4 \quad \Rightarrow 468$$

Unités de mesures

1. Unités de mesures : principes généraux

• Passage entre unités :
  • Descendre l’échelle (vers une unité plus petite) → multiplier par 10 à chaque cran.
  • Monter l’échelle (vers une unité plus grande) → diviser par 10 à chaque cran.

Exemple :
1 m = 100 cm car on descend de 2 crans → ×10 ×10 = ×100
1 000 g = 1 kg car on monte de 3 crans → ÷10 ÷10 ÷10 = ÷1 000

2. Longueurs

Unité de base	Équivalences clés

Notion de dérivée et tangente

1. Notion de dérivée

• Coefficient directeur d'une droite (AB) :
  $$G = \frac{y_b - y_a}{x_b - x_a} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

• Définition de la dérivée en un point $x=a$ :
  La dérivée $f'(a)$ est la limite du coefficient directeur de la droite passant par $(a, f(a))$ et $(x, f(x))$ quand $x \to a$ :
  $$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{dy}{dx} $$

• Interprétation géométrique :

Taux instantané de variation et nombre dérivé

Lorsque le point $B$ se rapproche du point $A$ sur le graphe de la fonction $f$, la distance $h$ tend vers 0 et la sécante $AB$ devient la tangente en $A(a; f(a))$.

1. Taux instantané de variation

• Définition : Le taux instantané de variation de $f$ en $a$ est la limite du taux de variation moyen quand $h \to 0$ :

  $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$

• Cette limite, si elle existe, est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.

2. Interprétation géométrique

Le nombre dérivé et la tangente

1. Le nombre dérivé et la tangente

La dérivation permet d’étudier les variations d’une fonction en établissant un lien entre la pente de la tangente à sa courbe et son comportement local.

a) Tangente à une courbe et variations de la fonction

• La tangente à la courbe d’une fonction $f$ en un point d’abscisse $a$ est la droite qui touche la courbe en ce point sans la couper localement.
• La pente (coefficient directeur) de cette tangente renseigne sur la variation de la fonction en $a$ :

Suites arithmétiques : définition et formule générale

1. Suites arithmétiques (SA) : définition

• Une suite arithmétique est une suite $(U_n)$ où chaque terme est obtenu en ajoutant une raison constante $r$ au terme précédent.
• Formellement :
  $$U_{n+1} = U_n + r \quad \Longleftrightarrow \quad U_{n+1} - U_n = r$$

2. Formule générale du terme $U_n$

• À partir d'un terme quelconque $U_k$, on calcule $U_n$ par :
  $$U_n = U_k + (n - k) \times r$$
• En particulier, à partir du premier terme $U_1$ :
  $$U_n = U_1 + (n - 1) \times r$$

Rayon de convergence

1. Série entière

Une série entière est une série de fonctions de la forme

$$ \sum_{n \geq 0} a_n z^n $$

où $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite réelle ou complexe, et $z$ est une variable complexe.

2. Lemme d’Abel

Si pour un $r > 0$, la suite $(a_n r^n){n \in \mathbb{N}}$ est bornée, alors la série entière $\sum{n \geq 0} a_n z^n$ converge absolument pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z| < r$.

À retenir : La convergence absolue est garantie à l’intérieur du disque de rayon $r$ si $(a_n r^n)$ est bornée.

3. Rayon de convergence

I. La Loi Binomiale Ou Loi De Bernoulli BTS CG II I

A) 📜 Définitions

1) Épreuve De Bernoulli (Binomiale)

• Une épreuve de Bernoulli de paramètre p a deux issues :
  • Succès (S) : probabilité p
  • Échec (E) : probabilité 1 - p

Exemple :

• Une usine teste 100 pièces.
• Probabilité qu'une pièce soit défectueuse : 0.01.
• Variable aléatoire X : nombre de pièces défectueuses.
• Cas de Bernoulli : X suit une loi binomiale car chaque pièce a 2 issues possibles.

2) 📊 Schéma De Bernoulli

I. Les Probabilités Dans Un Cursus CPGE ECT

A) 📚 Introduction Aux Probabilités

1) Concepts Fondamentaux

• La probabilité est une mesure de la certitude d'un événement.
• Notation : $P(A)$ représente la probabilité de l'événement $A$.
• Événements complémentaires : $P(A') = 1 - P(A)$.

B) 📊 Espaces Probabilistes

1) Définition

• Un espace probabiliste est un triplet $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ où :
  • $\Omega$ est l'ensemble des résultats possibles.
  • $\mathcal{F}$ est une $\sigma$-algèbre d'événements.