Fonctions Affines

1. Ordonnée à l'origine

• C'est la valeur de $f(x)$ lorsque $x = 0$.
• Graphiquement, c'est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (axe vertical).
• Ordonnée à l'origine : $b = f(0)$.

2. Pente (coefficient directeur)

• La pente $a$ mesure la variation de $y$ par rapport à $x$.

• Graphiquement, elle correspond au rapport entre la variation verticale et la variation horizontale entre deux points de la droite.

• Si on prend deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ sur la droite, alors :

  $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$

• La pente indique si la droite monte ($a > 0$), descend ($a < 0$) ou est horizontale ($a = 0$).

3. Résumé visuel

Pour déterminer la pente et l'ordonnée à l'origine d'une fonction affine, il suffit de lire sur le graphique l'intersection avec l'axe des ordonnées et de calculer le coefficient directeur à partir de deux points.

1. Représentation graphique d'une fonction affine

Une fonction affine est définie par une expression de la forme

$$f(x) = ax + b$$

où $a$ est la pente (coefficient directeur) et $b$ est l'ordonnée à l'origine.

2. Interprétation graphique

• La pente $a$ correspond à la direction de la droite :

  • Si $a > 0$, la droite monte (fonction croissante).
  • Si $a < 0$, la droite descend (fonction décroissante).
  • Si $a = 0$, la fonction est constante (droite horizontale).

• L'ordonnée à l'origine $b$ est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (axe $y$), c’est-à-dire le point de coordonnées $(0, b)$.

3. Méthode pour tracer la droite d'une fonction affine

1. Placer le point d'ordonnée à l'origine : $(0, b)$ sur le repère.
2. Utiliser la pente $a$ pour trouver un second point :
   • La pente $a$ s'interprète comme le rapport de la variation de $y$ sur la variation de $x$.
   • Par exemple, si $a = \frac{2}{3}$, à partir du point $(0, b)$, on monte de 2 unités en $y$ et on avance de 3 unités en $x$ pour obtenir un second point.
3. Tracer la droite passant par ces deux points.

4. Exemple

Pour la fonction

$$f(x) = 2x + 1$$

• $a = 2$ : la droite monte de 2 unités en $y$ quand $x$ augmente de 1 unité.
• $b = 1$ : la droite coupe l'axe des ordonnées en $(0,1)$.

À retenir :
La droite représentant une fonction affine $f(x) = ax + b$ passe par le point $(0, b)$ et a une pente $a$ qui indique son inclinaison.